Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XII

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 27-28).

XII.

Comme on a

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=\mathrm {E} dp^{2}+2\mathrm {F} dp.dq+\mathrm {G} dq^{2},$

on voit que ${\sqrt {\mathrm {E} dp^{2}+2\mathrm {F} dp.dq+\mathrm {G} dq^{2}}}$ est l’expression générale de l’élément linéaire sur une surface courbe. L’analyse développée dans l’article précédent nous apprend ainsi que, pour trouver la mesure de la courbure, on n’a pas besoin des formules finies, qui donnent les coordonnées $x,\ y,\ z$ comme des fonctions des indéterminées $p,\ q,$ mais qu’il suffit de l’expression générale de la grandeur d’un élément linéaire quelconque. Procédons à quelques applications de cet important théorème.

Supposons que notre surface courbe puisse être développée sur une autre surface, courbe ou plane, de façon qu’à chaque point de la première surface, déterminé par les coordonnées $x,\ y,\ z,$ réponde un point déterminé de la seconde surface, dont les coordonnées soient $x',\ y',\ z'.$ Évidemment $x',\ y',\ z'$ pourront aussi être considérées comme des fonctions des indéterminées $p,\ q,$ d’où viendra, pour l’élément ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},$ l’expression

${\sqrt {\mathrm {E'} dp^{2}+2\mathrm {F'} dp.dq+\mathrm {G'} dq^{2}}},$

$\mathrm {E',\ F',\ G'}$ désignant aussi des fonctions de $p,\ q.$ Mais on voit, par la notion même du développement d’une surface sur une surface, que les éléments correspondants sur les deux surfaces sont nécessairement égaux, et qu’ainsi on a identiquement

$\mathrm {E} =\mathrm {E'} ,\qquad \mathrm {F} =\mathrm {F'} ,\qquad \mathrm {E} =\mathrm {G'} \ ;$

donc la formule de l’article précédent conduit spontanément à ce beau théorème :

Théorème. Si une surface courbe est développée sur une autre surface quelconque, la mesure de la courbure en chaque point reste invariable.

Évidemment aussi, une partie quelconque finie d’une surface courbe, après son développement sur une autre surface courbe, conservera la même courbure totale.

Le cas spécial, auquel les géomètres ont restreint jusqu’ici leurs recherches, consiste dans les surfaces développables sur un plan. Notre théorie apprend spontanément que la mesure de la courbure de telles surfaces en un point quelconque est zéro ; par conséquent, si leur nature est exprimée suivant la troisième méthode, on aura partout

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}.{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}-\left({\frac {d^{2}z}{dx.dy}}\right)^{2}=0.$

Ce critérium, quoique bien connu, n’est pas démontré la plupart du temps, à notre avis du moins, avec la rigueur qu’on pourrait désirer.