Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre X

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 22-24).

X.

On obtiendra une formule encore plus compliquée, composée de quinze éléments, en suivant la seconde méthode générale^[1] pour exprimer la nature des surfaces courbes. Il est cependant très-important de l’élaborer aussi. En conservant les signes de l’art. IV, posons, en outre,

${\frac {d^{2}x}{dp^{2}}}=$	$\alpha ,$	$\qquad {\frac {d^{2}x}{dpdq}}=$	$\alpha ',\qquad$	${\frac {d^{2}x}{dq^{2}}}=$	$\alpha '',$
${\frac {d^{2}y}{dp^{2}}}=$	$\beta ,$	$\qquad {\frac {d^{2}y}{dpdq}}=$	$\beta ',\qquad$	${\frac {d^{2}y}{dq^{2}}}=$	$\beta '',$
${\frac {d^{2}z}{dp^{2}}}=$	$\gamma ,$	$\qquad {\frac {d^{2}z}{dpdq}}=$	$\gamma ',\qquad$	${\frac {d^{2}z}{dq^{2}}}=$	$\gamma ''.$

Faisons encore, pour abréger,

$bc'-cb'$		$=\mathrm {A} ,$
$ca'-ac'$		$=\mathrm {B} ,$
$ab'-ba'$		$=\mathrm {C} .$

On a d’abord

$\mathrm {A} dx\ +\ \mathrm {B} dy\ +\ \mathrm {C} dz\ =\ 0,$

ou

$dz\ =\ -{\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {C} }}dx\ -\ {\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {C} }}dy\ ;$

mais aussi, quand $z$ est considérée comme fonction de $x,\ y,$ on a

${\frac {dz}{dx}}=t$		$=-{\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {C} }},$
${\frac {dz}{dy}}=u$		$=-{\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {C} }}.$

Nous tirons de $dx=adp+a'dq,\,dy=bdp+b'dq,$

$\mathrm {C} dp=$		$b'dx-a'dy,$
$\mathrm {C} dq=$	$-$	$b\ dx+ady,$

Les différentielles complètes de $t$ et de $u$ sont donc

$\mathrm {C} ^{3}dt=$		$\left(\mathrm {A} {\frac {d\mathrm {C} }{dp}}-C{\frac {d\mathrm {A} }{dp}}\right)(b'dx-a'dy)$	$+\left(\mathrm {C} {\frac {d\mathrm {A} }{dq}}-\mathrm {A} {\frac {d\mathrm {C} }{dq}}\right)(bdx-ady),$
$\mathrm {C} ^{3}du=$		$\left(\mathrm {B} {\frac {d\mathrm {C} }{dp}}-\mathrm {C} {\frac {d\mathrm {B} }{dp}}\right)(b'dx-a'dy)$	$+\left(\mathrm {C} {\frac {d\mathrm {B} }{dq}}-\mathrm {B} {\frac {d\mathrm {C} }{dq}}\right)(bdx-ady).$

Si maintenant, dans ces formules, nous substituons

${\frac {d\mathrm {A} }{dp}}=$	$c'\beta$	$+\ b\gamma '$	$-\ c\beta '$	$-\ b'\gamma ,$
${\frac {d\mathrm {A} }{dq}}=$	$c'\beta '$	$+\ b\gamma ''$	$-\ c\beta ''$	$-\ b'\gamma ',$
${\frac {d\mathrm {B} }{dp}}=$	$a'\gamma$	$+\ c\alpha '$	$-\ a\gamma '$	$-\ c'\alpha ,$
${\frac {d\mathrm {B} }{dq}}=$	$a'\gamma '$	$+\ c\alpha ''$	$-\ a\gamma ''$	$-\ c'\alpha ',$
${\frac {d\mathrm {C} }{dp}}=$	$b'\alpha$	$+\ a\beta '$	$-\ b\alpha '$	$-\ a'\beta ,$
${\frac {d\mathrm {C} }{dq}}=$	$b'\alpha '$	$+\ a\beta ''$	$-\ b\alpha ''$	$-\ a'\beta ',$

et si nous considérons que les valeurs des différentielles $dt,\ du,$ ainsi obtenues, doivent être respectivement égales, indépendamment des différentielles $dx,\ dy,$ aux quantités $\mathrm {T} dx+\mathrm {U} dy,\;\mathrm {U} dx+\mathrm {V} dy,$ nous trouverons, après quelques transformations qui se présentent assez naturellement,

$\mathrm {C^{3}T}$	$=$		$\ \alpha \mathrm {A} b'^{2}+\beta \mathrm {B} b'^{2}+\gamma \mathrm {C} b'^{2}$
		$-$	$2\alpha '\mathrm {A} bb'-2\beta '\mathrm {B} bb'-2\gamma '\mathrm {C} bb'$
		$+$	$\alpha ''A\mathrm {A} b^{2}+\beta ''\mathrm {B} b^{2}+\gamma ''\mathrm {C} b^{2},$
$\mathrm {C^{3}U}$	$=$	$-$	$\alpha \mathrm {A} a'b'-\beta \mathrm {B} a'b'-\gamma Ca'b'$
		$+$	$\alpha '\mathrm {A} (ab'+ba')+\beta '\mathrm {B} (ab'+ba')+\gamma '\mathrm {C} (ab'+ba'),$
		$-$	$\alpha ''\mathrm {A} ab-\beta ''\mathrm {B} ab-\gamma '\mathrm {C} ab,$
$\mathrm {C^{3}V}$	$=$		$\ \alpha \mathrm {A} a'^{2}+\beta \mathrm {B} a'^{2}+\gamma \mathrm {C} a'^{2}$
		$-$	$2\alpha '\mathrm {A} aa'-2\beta '\mathrm {B} aa'-2\gamma '\mathrm {C} aa'$
		$+$	$\alpha ''\mathrm {A} a^{2}+\beta ''\mathrm {B} a^{2}+\gamma ''\mathrm {C} a^{2}.$

Si donc, pour abréger, nous posons

(1)	$\mathrm {A} \alpha$	$+\ \mathrm {B} \beta$	$+\,\mathrm {C} \gamma$	$=\mathrm {D} ,$
(2)	$\mathrm {A} \alpha '$	$+\ \mathrm {B} \beta '$	$+\,\mathrm {C} \gamma '$	$=\mathrm {D'} ,$
(3)	$\mathrm {A} \alpha ''$	$+\,\mathrm {B} \beta ''$	$+\ \mathrm {C} \gamma ''$	$=\mathrm {D''} ,$

on a

$\mathrm {C^{3}T}$	$=$	$\mathrm {D} b'^{2}-2\mathrm {D'} bb'+\mathrm {D''} b^{2},$
$\mathrm {C^{3}U}$	$=-$	$\mathrm {D} a'b'+\mathrm {D'} (ab'+ba')-\mathrm {D''} ab,$
$\mathrm {C^{3}V}$	$=$	$\mathrm {D} a'^{2}-2\mathrm {D'} aa'+\mathrm {D''} a^{2}.$

De là , en faisant le développement,

$\mathrm {C^{6}(TV-U^{2})} =\mathrm {(DD''-D'^{2})} (ab'-ba')^{2}=\mathrm {(DD''-D'^{2})C^{2},}$

et, par conséquent, la formule, pour la mesure de la courbure,

$k=\mathrm {{\frac {DD''-D'^{2}}{(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}}}.}$

1. Cette seconde méthode est un système de coordonnées, longitudes et latitudes, généralisé.