Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre IX

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 21-22).

IX.

La formule générale pour la mesure de la courbure donnée à la fin de l’art. VII est de toutes la plus simple, puisqu’elle implique seulement cinq éléments ; nous serons conduits à une formule plus compliquée, renfermant neuf éléments, si nous voulons employer la première manière d’exprimer la nature d’une surface^[1]. En conservant les notations de l’art. IV, nous poserons, de plus,

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d^{2}\mathrm {W} }{dx^{2}}}=\mathrm {P} ',&\quad {\frac {d^{2}\mathrm {W} }{dy^{2}}}=\mathrm {Q} ',&\quad {\frac {d^{2}\mathrm {W} }{dz^{2}}}=\mathrm {R} ',\\{\frac {d^{2}\mathrm {W} }{dydz}}=\mathrm {P} '',&\quad {\frac {d^{2}\mathrm {W} }{dxdz}}=\mathrm {Q} '',&\quad {\frac {d^{2}\mathrm {W} }{dxdy}}=\mathrm {R} '',\end{alignedat}}$

de sorte qu’on ait

${\begin{alignedat}{4}d\mathrm {P} \ &=\ \mathrm {P} 'dx\ &&+\ \mathrm {R} ''dy\ &&+\ \mathrm {Q} ''dz,\\d\mathrm {Q} \ &=\ \mathrm {R} ''dx\ &&+\ \mathrm {Q} 'dy\ &&+\ \mathrm {P} ''dz,\\d\mathrm {R} \ &=\ \mathrm {Q} ''dx\ &&+\ \mathrm {P} ''dy\ &&+\ \mathrm {R} 'dz.\end{alignedat}}$

Comme on a déjà $t=-{\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {R} }},$ nous trouvons, par la différentiation,

${\begin{aligned}\mathrm {R} ^{2}dt=&-\mathrm {RdP+PdR} =(\mathrm {PQ''-RP'} )dx+(\mathrm {PP''-RR''} )dy\\&+(\mathrm {PR'-RQ''} )dz,\end{aligned}}$

ou, en éliminant $dz$ à l’aide de l’équation $\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz=0,$

${\begin{aligned}\mathrm {R} ^{3}dt&=(-\mathrm {R} ^{2}\mathrm {P} '+2\mathrm {P} \mathrm {R} \mathrm {Q} ''-\mathrm {P} ^{2}\mathrm {R} ')dx\\&+(\mathrm {PRP} ''+\mathrm {QRQ} ''-\mathrm {PQR} '-\mathrm {R} ^{2}\mathrm {R} '')dy.\end{aligned}}$

On obtient, en outre, de la même manière,

${\begin{aligned}\mathrm {R} ^{3}du&=(\mathrm {PRP''+QRQ''-PQR'-R^{2}R''} )dx\\&+(\mathrm {-R^{2}Q'+2QRP''-Q^{2}R'} )dy.\end{aligned}}$

Nous tirons de là,

$\mathrm {R^{3}T} =$		$\mathrm {-R^{2}P'+2PRQ''-P^{2}R'} ,$
$\mathrm {R^{3}U} =$		$\mathrm {PRP''+QRQ''+PQR'-R^{2}R''} ,$
$\mathrm {R^{3}V} =$		$\mathrm {-R^{2}Q'+2QRP''-Q^{2}R'} .$

En substituant ces valeurs dans la formule de l’art. VII, nous obtenons, pour la mesure de la courbure $k$, l’expression symétrique suivante,

$(\mathrm {P^{2}+Q^{2}+R^{2}} )^{2}k=$		$\mathrm {P^{2}(Q'R'-P''^{2})}$	$\mathrm {+Q^{2}(P'R'-Q''^{2})}$
	$+$	$\mathrm {R^{2}(P'Q'-R''^{2})}$	$\mathrm {+2QR(Q''R''-P'P'')}$
	$+$	$\mathrm {2PR(P''R''-Q'Q'')}$	$\mathrm {+2PQ(P''Q''-R'R'')}$

1. Voir page 9.