Recherches arithmétiques/Section sixième

Carl Friedrich Gauss

Recherches arithmétiques

Traduction par A.-C.-M. Poullet-Delisle.
Courcier, 1807 (p. 388-428).

SECTION SIXIÈME.

Applications des différentes Recherches précédentes.

308. Nous avons déjà indiqué en différens endroits combien l’arithmétique transcendante peut être utile dans les autres parties des mathématiques. Mais nous ne croyons pas inutile de traiter à part quelques applications qui méritent d’être exposées avec plus de détail, non dans la vue d’épuiser ce sujet, qui suffirait pour remplir plusieurs volumes, mais pour l’éclaircir par quelques exemples.

Dans cette Section, nous parlerons d’abord de la décomposition des fractions en fractions plus simples ; ensuite, de la conversion des fractions ordinaires en fractions décimales ; nous exposerons une nouvelle méthode d’exclusion, qui sert à la résolution des équations indéterminées du second degré ; enfin, nous donnerons de nouvelles méthodes abrégées, pour distinguer les nombres premiers des nombres composés, et trouver les facteurs de ces derniers.

Dans la Section suivante, nous établirons la théorie générale d’une espèce particulière de fonctions, qui s’étend très-loin dans toute l’analyse, et qui est intimement liée à l’arithmétique transcendante ; nous nous attacherons surtout à agrandir la théorie des sections du cercle, dont jusqu’à présent on n’a connu que les premiers élémens.

309. Problème. Décomposer la fraction $\mathrm {\frac {m}{n}} ,$ dont le dénominateur $\mathrm {n}$ est le produit de deux nombres $\mathrm {a}$ et $\mathrm {b}$ premiers entre eux, en deux autres dont les dénominateurs soient $\mathrm {a}$ et $\mathrm {b} .$

Soient ${\frac {x}{a}}$, ${\frac {y}{b}}$ les fractions cherchées ; on doit avoir $bx+ay=m$ ; donc $x$ sera racine de la congruence $bx\equiv a$, et par-conséquent peut se trouver par la Section II : on aura d’ailleurs $y={\frac {m-bx}{a}}$.

Au reste, on sait que la congruence $bx\equiv m$ a une infinité de racines, mais toutes congrues suivant $a$, et il peut arriver que $y$ acquière une valeur négative. Il est à peine nécessaire de dire que l’on peut aussi trouver $y$ par la congruence $ay\equiv m{\pmod {b}}$, et $x$ par l’équation $x={\frac {m-ay}{b}}$.

Par exemple, étant proposée la fraction $x={\frac {58}{77}}$, $4$ sera valeur de l’expression ${\frac {58}{11}}{\pmod {7}}$ ; donc ${\frac {58}{77}}$ se décompose en ${\frac {4}{7}}+{\frac {2}{11}}$.

310. Si l’on propose une fraction ${\frac {m}{n}}$ dont le dénominateur $n$ soit le produit de tant de facteurs $a$, $b$, $c$, $d$, etc. qu’on voudra, qui soient premiers entre eux, on pourra, par le n^o précédent, la décomposer d’abord en deux fractions dont les dénominateurs soient $a$ et $bcd$, etc., ensuite la dernière en deux dont les dénominateurs soient $b$ et $cd$, etc., et ainsi de suite, desorte que la fraction proposée sera mise sous la forme

${\frac {m}{n}}={\frac {\alpha }{a}}+{\frac {\beta }{b}}+{\frac {\gamma }{c}}+{\frac {\delta }{d}}+\,{\text{etc}}.$

Il est évident que l’on pourra toujours prendre les numérateurs $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, etc. positifs et plus petits que leurs dénominateurs respectifs, excepté le dernier, qui n’est plus arbitraire, lorsque les autres sont déterminés, et peut être négatif et plus grand que son dénominateur (si du moins nous ne supposons pas $m<n$) Alors, le plus souvent, il sera avantageux de mettre la dernière fraction sous la forme ${\frac {\epsilon }{e}}+k$, de manière que $\epsilon$ soit positif et moindre que $e$, et que $k$ soit un entier.

Exemple. La fraction ${\frac {391}{924}}$, dont le dénominateur $=4.3.7.11$, se décompose de cette manière en ${\frac {1}{4}}+{\frac {40}{231}}$ ; ${\frac {40}{231}}$ en ${\frac {2}{3}}-{\frac {38}{77}}$ ; $-{\frac {38}{77}}$ en ${\frac {1}{7}}-{\frac {7}{11}}$ ; donc mettant ${\frac {4}{11}}-1$ pour $-{\frac {7}{11}}$, il vient enfin

${\frac {391}{924}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {4}{11}}-1.$

311. La fraction ${\frac {m}{n}}$ ne peut se mettre que d’une seule manière sous la forme ${\frac {\alpha }{a}}+{\frac {\beta }{b}}+{\frac {\gamma }{c}}\,+\ {\text{etc}}.\ \mp k$, de manière que $\alpha$, $\beta$, etc. soient positifs et moindres que $a$, $b$, etc., c’est-à-dire que si l’on supposait

${\frac {m}{n}}={\frac {\alpha }{a}}+{\frac {\beta }{b}}+{\frac {\gamma }{c}}+\ {\text{etc}}.\ \mp k={\frac {\alpha '}{a}}+{\frac {\beta '}{b}}+{\frac {\gamma '}{c}}+\ {\text{etc}}.\ \mp k',$

on aurait nécessairement $\alpha =\alpha '$, $\beta =\beta ',$ etc. \ $k=k'$, tant que $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, etc. seront positifs et plus petits que $a$, $b$, $c$, etc. En effet, en multipliant par $n=abcd$, etc., on a $m\equiv abcd$, etc., $\equiv \alpha 'bcd,\ {\text{etc}}.\ {\pmod {a}}$, et comme $bcd$ etc. est premier avec $a$, il s’ensuit nécessairement $\alpha =\equiv \alpha '$, et partant $\alpha =\alpha '$ ; de même $\beta =\beta '$, etc., et parconséquent $k=k'$. Or comme il est absolument arbitraire par quel dénominateur commence le calcul, il est évident que tous les numérateurs peuvent être cherchés comme $\alpha$ dans le n^o précédent, par exemple, $\beta$ par la congruence $\beta acd$, etc. ${\pmod {b}}$, $\gamma$ par la congruence $\gamma abd$, etc. $\equiv m\,{\pmod {c}}$, etc. La somme de toutes les fractions ainsi calculées, sera égale à la proposée, ou la différence sera un nombre entier $=k$, ce qui nous donne un moyen de confirmer le calcul.

Ainsi dans l’exemple du n^o précédent, les valeurs des expressions

$\textstyle {\frac {391}{231}}{\pmod {4}},\,{\frac {391}{308}}{\pmod {3}},\,{\frac {391}{132}}{\pmod {7}},\,{\frac {391}{84}}{\pmod {11}},$

donnent les numérateurs $1$, $2$, $1$, $4$, qui répondent aux dénominateurs $4$, $3$, $7,$ $11,$ et l’on trouve que la somme de ces fractions surpasse d’une unité la fraction proposée.

312. Définition. Si l’on convertit une fraction ordinaire en fraction décimale, la suite de figures décimales^[1] (en excluant la partie entière, s’il y en a), soit finie, soit infinie, s’appellera mantisse de la fraction, en prenant ici dans une acception plus générale une expression qui n’était jusqu’à présent usitée que pour les logarithmes. Ainsi, par exemple, la mantisse de la fraction ${\frac {1}{8}}$ est $125$, la mantisse de la fraction ${\frac {35}{16}}$ est $1875$, celle de la fraction ${\frac {2}{37}}$ est $054054......$ à l’infini.

Il suit de là sur-le-champ, que deux fractions ${\frac {l}{n}}$, ${\frac {m}{n}}$ de même dénominateur ont des mantisses égales ou différentes, suivant que les numérateurs $l$, $m$ sont congrus ou incongrus suivant $n$. Une mantisse finie ne change pas lorsqu’on ajoute plusieurs zéros à sa droite. La mantisse de la fraction ${\frac {10m}{n}}$ s’obtient en retranchant la première figure de la mantisse de la fraction ${\frac {m}{n}}$, et généralement, la mantisse de la fraction ${\frac {10^{\nu }m}{n}}$ se trouve en retranchant les $\nu$ premières figures de la mantisse de la fraction ${\frac {m}{n}}$. La mantisse de la fraction ${\frac {m}{n}}$ commence par un chiffre significatif, si $n<10$ ou $=10$ ; mais si $n>10$, et que le nombre de ses chiffres soit $k$, les $k-1$ premières figures de la mantisse seront des zéros, et la $k$^ième un chiffre significatif. Il suit de là que si ${\frac {l}{n}}$ et ${\frac {m}{n}}$ ont des mantisses différentes, c’est-à-dire, si $l$ et $m$ sont incongrus suivant $n$, ces mantisses ne peuvent avoir les $k$ premiers chiffres égaux, et qu’elles diffèrent au moins dans le $k$^ième.

313. Problème. Étant donné le dénominateur d’une fraction $\mathrm {\frac {m}{n}} ,$ et les $\mathrm {k}$ premières figures de sa mantisse, trouver le numérateur $\mathrm {m} ,$ que nous supposons plus petit que $\mathrm {n} .$

Considérons ces $k$ figures comme un nombre entier ; multiplions-le par $n$ et divisons le produit par $10^{k}$ en en retranchant les $k$ premières figures ; si le quotient est entier, c’est-à-dire, si les chiffres retranchés sont des zéros, ce sera évidemment le numérateur cherché, et la mantisse donnée sera complète, sinon le numérateur cherché sera l’entier immédiatement plus grand, ou ce quotient augmenté de l’unité, lorsqu’on en aura retranché la partie décimale. La raison de cette règle se tire si facilement des observations que nous avons faites à la fin du n^o précédent, qu’il n’y a pas besoin de plus grands développemens.

Exemple. Si l’on sait que $69$ sont les deux premières figures de la mantisse de la fraction dont le dénominateur est $23$, on a le produit $23.69=1587$ ; retranchant les deux derniers chiffres, et ajoutant l’unité, on trouve $16$ pour le numérateur cherché.

314. Considérons d’abord les fractions dont les dénominateurs sont des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers ; nous ferons voir ensuite comment on peut y ramener les autres. Nous commencerons par observer que la mantisse d’une telle fraction ${\frac {a}{p^{\mu }}}$, dans laquelle nous supposons que le numérateur $a$ ne soit pas divisible par le nombre premier $p$, est toujours finie lorsque $p=2$, ou $=5$, et qu’elle est composée de $\mu$ chiffres. Dans le premier cas, cette mantisse, considérée comme un nombre entier, sera $5^{\mu }a$ ; dans le second, $2^{\mu }a$. Ces vérités sont si évidentes, qu’il est inutile de s’y arrêter.

Mais si $p$ est un autre nombre premier, $10^{r}a$ ne sera jamais divisible par $p^{\mu },$ quel que grand que l’on prenne $r$ ; d’où il suit que la mantisse de la fraction $F={\frac {a}{p^{\mu }}}$ est nécessairement infinie. Supposons que $10^{e}$ soit la plus petite puissance de $10$ qui soit congrue à l’unité, suivant le module $p^{\mu }$ (V. Section III, où nous avons fait voir que $e$ est égal à $(p-1)p^{\mu -1}$, ou à une partie aliquote de ce nombre), on voit facilement que $10^{e}a$ est le premier nombre de la suite $10a$, $100a$, $1000a$, etc. qui soit congru avec $a$, suivant le même module. Or comme, par le n^o 312, les mantisses des tractions ${\frac {10a}{p^{\mu }}}$, ${\frac {100a}{p^{\mu }}}$, ${\frac {1000a}{p^{\mu }}}$, etc. ${\frac {10^{e}a}{p^{\mu }}}$ resultent de celle de la fraction $F$ en supprimant le premier chiffre, les deux, trois, etc. $e$ premiers chiffres, il est évident que dans cette mantisse, après les $e$ premiers chiffres, et non auparavant, les mêmes chiffres reparaîtront dans le même ordre. Ces $e$ premiers chiffres qui, répétés à l’infini, forment la mantisse, peuvent être nommés période de cette mantisse ou de la fraction, et il est clair que la grandeur de la période, c’est-à-dire le nombre des chiffres qui la composent, qui est $=e$, est tout-à-fait indépendant du numérateur $a,$ et que le dénominateur seul le détermine. Ainsi, par exemple, la période de la fraction ${\frac {1}{11}}$ est $09$, celle de la fraction ${\frac {3}{7}}$ est $428571$^[2].

315. Ainsi, dès que l’on connaît la période d’une fraction, on peut obtenir la mantisse avec autant de figures qu’on voudra ; d’ailleurs il est clair que si l’on a $b\equiv 10^{\lambda }a{\pmod {p^{\mu }}}$, on obtient la période de la fraction ${\frac {b}{p^{\mu }}}$, si (en supposant, comme il est toujours permis, que $\lambda <e$) on écrit les $\lambda$ premiers chiffres de la période de la fraction $F$ après les $e-\lambda$ qui restent, et parconséquent lorsqu’on a la période de la fraction $F$, on a en même temps celles de toutes les fractions dont les numérateurs sont congrus aux nombres $10a$, $100a$, $1000a$, etc., suivant le module $p^{\mu }$. Ainsi, par exemple, comme $6\equiv 3.10^{2}{\pmod {7}}$, la période de la fraction ${\frac {6}{7}}$ se trouve au moyen de la période de la fraction ${\frac {3}{7}}$ ; elle est $857142$.

Donc toutes les fois que, pour le module $p^{\mu }$, le nombre $10$ est une racine primitive (n^os 57 et 89), on peut, de la période de la fraction ${\frac {1}{p^{\mu }}}$, déduire sur-le-champ la période de toute autre fraction ${\frac {m}{p^{\mu }}}$, $m$ n’étant pas divisible par $p$, en retranchant à gauche pour écrire à droite, autant de chiffres qu’il y a d’unités dans l’indice du nombre $m$, $10$ étant pris pour base. On voit par là pourquoi, dans la Table I, nous avons toujours pris $10$ pour base, quand la chose était possible.

Mais quand $10$ n’est pas racine primitive, on ne peut tirer de la période de la fraction ${\frac {1}{p^{\mu }}}$ que celles des fractions dont les dénominateurs sont congrus, suivant $p^{\mu }$, à quelque puissance de $10$. Soit $10^{e}$ la plus petite puissance de $10$ congrue à l’unité, suivant le module $p^{\mu }$, faisons $(p-1)p^{\mu -1}=ef$ et prenons (n^o 71) pour base une racine primitive $r$ telle que $f$ soit l’indice du nombre $10$. Dans ce système, les numérateurs des fractions dont les périodes peuvent se tirer de la période de la fraction ${\frac {1}{p^{\mu }}}$, auront pour indices

$f,\,2f,\,3f\,\dots {\text{etc.}},\,(e-1)f.$

De la même manière, on peut déduire de la période de la fraction ${\frac {r}{p^{\mu }}}$, celles des fractions dont les numérateurs répondent aux indices

$f+1,\;2f+1,\;3f+1,\;{\text{etc.}}$

De la période de la fraction dont le numérateur est $r^{2}$ (l’indice en est $2$), on déduira celles des fractions dont les numérateurs ont pour indices

$f+2,\;2f+2,\;3f+2,\;{\text{etc.}}$

Et généralement, de la période de la fraction dont le numérateur est $r^{i}$, on déduira celles des fractions dont les numérateurs ont pour indices

$f+i,\;2f+i,\;3f+i,\;{\text{etc.}}$

On conclura facilement de là que si l’on connaît seulement les périodes des fractions qui ont pour numérateurs

$1,\;r,\;r^{2},\;r^{3},\;\dots r^{f-1},$

on peut tirer toutes les autres par la seule transposition, à l’aide de la règle suivante : Soit $i$ l’indice du numérateur $m$ de la fraction proposée ${\frac {m}{p^{\mu }}}$, dans le système où $r$ est pris pour base, nous supposons $i<(p-1)p^{\mu -1}$ ; on fera, en divisant par $f$, $i=\alpha f+\beta$, de manière que $\alpha$, $\beta$ soient des entiers positifs, ou même $=0$, et qu’on ait $\beta <f$. Cela posé, la période de la fraction ${\frac {m}{p^{\mu }}}$ naîtra de celle de la fraction dont le numérateur est $r^{\beta }$ (et partant $1$, quand $\beta =0$) en plaçant les $\alpha$ premiers chiffres après les autres (et conservant parconséquent cette période elle-même, quand $\alpha =0$). Ce qui précède suffit pour faire voir pourquoi, en formant la Table I, nous avons suivi la règle exposée n^o 72.

316. Nous avons construit, d’après ces principes, pour tous les dénominateurs de la forme $p^{\mu }$ au-dessous de $1000$, une Table des périodes nécessaires, que nous donnerons en entier, et même continuée plus loin à la première occasion qui se présentera. Nous plaçons ici la Table III, pour en donner une idée ; elle ne va que jusqu’à $100$, et elle a à peine besoin d’explication.

Pour les dénominateurs à l’égard desquels $10$ est racine primitive, elle donne les périodes des fractions dont le numérateur est $1$, par exemple pour les nombres :

$7,\,17,\,19,\,23,\,29,\,47,\,59,\,61,\,97\,;$

pour les autres, les $f$ périodes qui répondent aux numérateurs $1$, $r$, $r^{2}$, …$r^{f-1}$, périodes qui sont distinguées par les nombres $(0)$, $(1)$, $(2)$, etc. ; on a toujours pris la même base que dans la Table I. À l’aide de cette Table et de ce qui a été enseigné dans le n^o précédent, on peut trouver la période d’une fraction quelconque, pourvu que son dénominateur soit contenu dans cette Table, et que l’on ait calculé l’indice du numérateur au moyen de la Table I. Au reste, pour des dénominateurs aussi petits, on peut se passer de la Table I, en calculant par la division arithmétique autant de chiffres de la mantisse cherchée, qu’il est nécessaire, d’après le n^o 313, pour la distinguer de toute autre du même dénominateur (pour la Table III, il n’en faut jamais plus de deux), et en parcourant les différentes périodes qui répondent au dénominateur donné, jusqu’à ce que nous soyons parvenus à ces chiffres initiaux, qui indiqueront sûrement le commencement de la période. Il faut cependant avertir que ces chiffres peuvent être séparés de manière que le premier, ou plusieurs, forment la fin de la période, et l’autre ou les autres la commencent.

Exemple. On demande la période de la fraction ${\frac {12}{19}}$. La Table I donne, pour la base $19$, $\operatorname {ind.} 12=2.\operatorname {ind.} 2+\operatorname {ind.} 3=39\equiv 3{\pmod {18}}$ (n^o 57). Donc, comme dans ce cas il n’y a qu’une seule période qui répond au numérateur, il faut transporter à la fin les trois premiers chiffres, ce qui donne $631578947368421052$. Les deux premiers chiffres $63$ auraient fait trouver aussi facilement le commencement de la période.

Si l’on demande la période de la fraction ${\frac {45}{53}}$, on trouve pour le module $53$, $\operatorname {ind.} 45=2\operatorname {ind.} 3+\operatorname {ind.} 5=49$ ; le nombre des périodes est ici, $4=f$, et l’on a $49=12f+1$ ; donc il faut à la période désignée par $(1)$ transposer les douze premiers chiffres, et l’on trouve $8490566037735$ pour la période cherchée. Les chiffres initiaux $84$ sont dans ce cas séparés dans la Table.

Nous observerons encore, qu’à l’aide de la Table III on peut trouver un nombre qui, pour un module donné, contenu dans cette Table, dans la colonne des dénominateurs, réponde à un indice donné, ainsi que nous l’avons promis n^o 59 : il suit en effet de ce que nous avons dit plus haut, que l’on peut trouver la période d’une fraction au numérateur de laquelle réponde un indice donné, quoique ce numérateur soit inconnu ; il suffit de prendre de cette période autant de chiffres initiaux qu’il y a de chiffres au dénominateur, et par le n^o 313, on trouvera, à l’aide de ces chiffres, le numérateur, ou le nombre cherché qui répond à l’indice donné.

317. On peut par ce qui précède trouver sans calcul la mantisse d’une fraction quelconque, dont le dénominateur est un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier compris entre les limites de la Table. Mais, à l’aide des recherches que nous avons faites au commencement de cette Section, l’usage de cette Table devient bien plus étendu, et elle renferme même les fractions dont les dénominateurs sont des produits de nombres premiers ou de puissances de nombres premiers. En effet, une pareille fraction peut se décomposer en d’autres dont les dénominateurs soient ces facteurs, et ces dernières peuvent être converties en fractions décimales, avec tel degré d’approximation qu’on voudra ; ainsi il ne reste qu’à les réunir par l’addition. Il est à peine nécessaire d’observer que le dernier chiffre de la somme pourra se trouver un peu plus petit qu’il ne devrait être ; mais il est évident que l’erreur ne peut monter à autant d’unités qu’il y a de fractions à ajouter ; ainsi il conviendra de calculer ces dernières avec quelques figures de plus qu’on n’en veut avoir à la fraction proposée.

Considérons, comme exemple, la fraction

$F={\frac {6099380351}{1271808710}}$^[3],

dont le dénominateur est le produit des nombres $16$, $9$, $5$, $49$, $13$, $47$, $59$.

On trouve par ce qui précède

$F=1+{\frac {11}{16}}+{\frac {4}{9}}+{\frac {4}{5}}+{\frac {22}{49}}+{\frac {5}{13}}+{\frac {7}{47}}+{\frac {52}{59}}\,;$

ces fractions particulières réduites en décimales, donnent

$1$	$=$	$1$
${\frac {11}{16}}$	$=$	$0,6875$
${\frac {4}{5}}$	$=$	$0,8$
${\frac {4}{9}}$	$=$	$0,4444444444$_	$4444444444$_	$44$
${\frac {22}{49}}$	$=$	$0,4489795918$	$3673469387$	$75$
${\frac {5}{13}}$	$=$	$0,3846153846$	$1538461538$	$46$
${\frac {7}{47}}$	$=$	$0,1489361702$	$1276595744$	$68$
${\frac {52}{59}}$	$=$	$0,8813559322$	$0338983050$	$84$
_______________________________________
$F$	$=$	$4,7958315233$	$1271954166$	$17$

L’erreur en moins de cette somme, comparée, à la valeur exacte, est moindre que cinq unités du vingt-deuxième ordre, donc les vingt premiers chiffres sont exacts. En poussant le calcul à un plus grand nombre de décimales, au lieu des deux derniers chiffres $17$, on trouve $1893936$. Au reste, chacun sentira bien, même sans que nous en avertissions, que cette méthode de réduire les fractions ordinaires en fractions décimales, est principalement applicable au cas où l’on veut avoir un grand nombre de chiffres ; car, s’il suffit d’un petit nombre, la division ou les logarithmes peuvent être souvent employés avec autant d’avantage.

318. Comme nous avons ramené les fractions dont le dénominateur est composé de plusieurs nombres premiers différens, au cas où le dénominateur est un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier, il ne nous reste qu’à ajouter quelque chose sur la mantisse de ces fractions. Si le dénominateur ne renferme ni le facteur $2$ ni le facteur $5$, la mantisse sera encore composée de périodes, parceque, pour ce cas, on parviendra aussi à un terme de la suite $10$, $100$, $1000$, etc. qui soit congru à l’unité, suivant le dénominateur, et l’exposant de ce terme, que l’on peut déterminer par le n^o 92, indiquera la grandeur de la période, qui est indépendante du numérateur, tant que la fraction est irréductible.

Mais si le dénominateur est de la forme $2^{\alpha }5^{\beta }N$, $N$ étant un nombre premier avec $10$, ${\alpha }$ et ${\beta }$ des nombres qui ne peuvent être zéro à-la-fois, la mantisse deviendra périodique après les ${\alpha }$ ou ${\beta }$ premiers chiffres, suivant que ${\alpha }$ ou ${\beta }$ est le plus grand ; ces périodes seront composées d’autant de chiffres que celles des fractions dont le dénominateur est $N$. Ceci se déduit facilement de ce que la fraction proposée peut se décomposer en deux autres dont les dénominateurs soient $2^{\alpha }5^{\beta }$ et N, et dont la première sera interrompue après les ${\alpha }$ ou ${\beta }$ premiers chiffres.

Au reste, nous pourrions ajouter encore beaucoup d’autres observations sur ce sujet, surtout à l’égard des artifices au moyen desquels on peut construire avec une grande facilité la Table III ; mais, forcés d’abréger, nous les omettons d’autant plus volontiers qu’une grande partie a été publiée tant par Robertson que par Bernoulli (Nouv. Mém. de l’Acad. de Berlin, 1771).

319. Nous avons traité (n^o 146) de la possibilité de la congruence $x^{2}\equiv A{\pmod {m}}$, qui revient à l’équation indéterminée $x^{2}=A+my$, de manière à ce qu’il semble qu’on ait rien à desirer ; mais pour la recherche de l’inconnue elle-même, nous avons déjà observé (n^o 151) que les méthodes indirectes étaient de beaucoup préférables aux méthodes directes. Si $m$ est un nombre premier, cas auquel les autres se ramènent facilement, la Table des indices I, combinée avec la Table III, suivant l’observation du n^o 316, peut être employée à cette fin, comme nous l’avons fait voir plus généralement (n^o 60) ; mais cette méthode ne s’étendrait qu’aux nombres compris dans les Tables ; c’est pourquoi nous espérons que la méthode suivante, par sa généralité et sa brièveté, ne déplaira pas aux amateurs de l’Arithmétique.

Observons avant tout qu’il suffit de connaître les valeurs de $x$ qui sont positives et non plus grandes que ${\frac {m}{2}}$, puisque toute autre valeur sera congrue à l’une de celles-là, prise positivement ou négativement. Or, pour une telle valeur de $x$, celle de $y$ est nécessairement contenue entre les limites $-{\frac {A}{m}}$ et ${\frac {1}{4}}m-{\frac {A}{m}}$. Ainsi une méthode qui s’offre d’elle-même, consisterait à calculer la valeur de $A+my$…$V$, pour toutes les valeurs de $y$ comprises entre ces limites, et dont nous désignerons l’ensemble par $\omega$, en ne retenant que celles qui rendraient $V$ un quarré. Quand $m$ est petit, le nombre des essais est si peu considérable qu’il n’est presque pas nécessaire de chercher à l’abréger ; mais quand $m$ est grand, on peut diminuer le travail autant qu’on voudra, par la méthode d’exclusion suivante.

320. Soit $E$ un nombre entier arbitraire et plus grand que $2$ soient aussi $a,$ $b,$ $c,$ etc. tous ses non-résidus quadratiques différents, c’est-à-dire, incongrus suivant $E$ ; enfin $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ etc. les racines des congruences

$A+my\equiv a$,——$A+my\equiv b$, ——$A+my\equiv c$, etc. ${\pmod {E}},$

que l’on peut prendre toutes positives et plus petites que $E$ ; si l’on donne à $y$ une valeur congrue, suivant le module $E$, à l’un des nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., la valeur de $N=A+my$ qui en résultera sera congrue à l’un des nombres $a$, $b$, $c$, etc., et sera parconséquent non-résidu de $E$ ; partant elle ne pourra être un quarré. Par là, on peut donc rejeter sur-le-champ, de $\omega$, tous les nombres inutiles qui sont contenus sous les formes

$Et+\alpha$,——$Et+\beta$, ——$Et+\gamma$, etc.,

et il suffira d’essayer les autres, dont nous représenterons l’ensemble par $\omega '$. Dans cette opération, nous pouvons donner au nombre $E$ le nom d’excluant.

En prenant pour excluant un autre .nombre convenable $E'$, on trouvera de la même manière autant de nombres $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, etc. qu’il y a de non-résidus différens, et auxquels $y$ ne peut être congru suivant le module $E'$. On peut donc encore rejeter de $\omega '$ tous les nombres compris sous les formes

$E't+\alpha '$,——$E't+\beta '$, ——$E't+\gamma '$, etc.

On peut continuer de cette manière les exclusions, jusqu’à ce que le nombre des valeurs $\omega$ soit tellement diminué, qu’il ne paraisse pas plus difficile d’essayer directement celles qui restent, que d’entreprendre de nouvelles exclusions.

Exemple. Soit proposée l’équation $x^{2}=22+97y$ ; les limites des valeurs de $y$ sont ${\frac {22}{97}}$ et $24+{\frac {1}{4}}-{\frac {22}{97}}$ ; donc, comme la valeur zéro est évidemment inutile, $\omega$ comprendra les nombres $1$, $2$, $3$…$24$. Pour $E=3$, il n’y a qu’un non-résidu $a=2$, qui donne $\alpha =1$ ; il faut donc exclure de $\omega$ les nombres de la forme $3t+1$, et il en reste $16$ ; de même pour $E=4$, on a $a=2$, $b=3$, d’où $\alpha =0$, $\beta =1$ ; on doit donc rejeter les nombres de la forme $4t$ et $4t+1$, ceux qui restent sont au nombre de huit : $2,$ $3,$ $6,$ $11,$ $14,$ $15,$ $18,$ $23.$ Ensuite pour $E=5,$ on doit rejeter tous les nombres $5t$ et $5t+3,$ et il reste $2$, $6$, $11$, $14$. L’excluant $6$ ferait rejeter les nombres de la forme $6t+1,$ $6t+4,$ qui ont déjà disparu, comme étant de la forme $3t+1.$ L’excluant $7$ fait rejeter les nombres des formes $7t+2,$ $7t+3,$ $7t+5,$ et laisse $6,$ $11,$ $14.$ En les substituant pour $y$, ces nombres donnent $V=604$, $1089,$ $1380,$ valeurs dont la seconde seule est un quarré. Ainsi $x=\pm 33.$

321. Puisque l’opération entreprise avec l’excluant $E$ rejette des valeurs de $V$ correspondantes aux valeurs de $y$ comprises dans $\omega$, toutes celles qui sont non-résidus quadratiques de $E$, tandis qu’elle n’atteint pas les résidus, on voit facilement que l’usage des excluans $E$ et $2E$ ne présente aucune différence, lorsque $E$ est un nombre impair, car dans ce cas $E$ et $2E$ ont les mêmes résidus et les mêmes non-résidus. Il suit de là que si l’on emploie successivement les nombres $3$, $4$, $5$, etc., les nombres impairement pairs, tels que $6$, $10$, $14$, etc. doivent être négligés comme superflus. Il est encore évident que la double opération entreprise avec les excluans $E$ et $E'$ rejette les valeurs de $N$ qui sont non-résidus des deux excluans ou de l’un d’eux seulement, desorte que celles qui sont résidus de l’un et de l’autre restent seules. Or comme dans le cas où $E$ et $E'$ sont premiers entre eux, tous les nombres rejetés sont non-résidus de $EE'$, et tous les nombres conservés en sont résidus ; il est clair que l’usage de l’excluant $EE'$ est le même que celui des deux excluans $E$ et $E',$ et que parconséquent il est superflu. On peut donc passer tous les excluans qui peuvent se décomposer en deux facteurs premiers entre eux, et parconséquent n’employer que ceux qui sont des nombres premiers, non-diviseurs de $m$, ou des puissances dénombrés premiers. Enfin, après avoir employé l’excluant $p^{\mu }$, $p$ étant un nombre premier, l’emploi de l’excluant $p$ ou $p^{\nu }$, $\nu$ étant $<\mu$, devient superflu ; car $p^{\mu }$ ne conservant des valeurs de $V$ que celles qui sont ses propres résidus, on est sûr, à plus forte raison, qu’il ne restera plus de non-résidus de $p$, ni d’aucune autre puissance moindre que $p^{\nu }$. Mais si $p$ ou $p^{\nu }$ a été employé avant $p^{\mu }$, ce dernier ne peut rejeter que les valeurs de $V$ qui seraient résidus de $p^{\nu }$ et non-résidus de $p^{\mu }$ ; donc il suffirait de prendre pour $a$, $b$, $c$, etc. ces non-résidus de $p^{\mu }$.

322. Le calcul des nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. qui répondent à un excluant quelconque donné $E$, s’abrège beaucoup par les observations suivantes. Soient $M$, $N$, $P$, etc. les racines des congruences $my\equiv a$, $my\equiv b$, $my\equiv c$, etc. ${\pmod {E}}$, et $k$ la racine de la congruence $my\equiv -A$, on aura $\alpha \equiv M+k,$ $\beta \equiv N+k$, $\gamma \equiv P+k$, etc. S’il fallait effectivement trouver $M$, $N$, $P$, etc. par la résolution de ces congruences, ce procédé ne serait pas plus abrégé que celui que nous avons indiqué plus haut ; mais cela n’est point nécessaire. En effet, si d’abord $E$ est un nombre premier, et que $m$ soit résidu quadratique de $E$, il est clair, par le n^o 98, que $M$, $N$, $P$, etc., qui sont les valeurs des expressions ${\frac {a}{m}}$, ${\frac {b}{m}}$, ${\frac {c}{m}}$, etc. ${\pmod {E}}$, sont les non-résidus différents de $E$, et par conséquent coïncident avec $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., abstraction faite de l’ordre, qui n’est ici d’aucune importance ; mais si, dans la même hypothèse, $m$ est non-résidu de $E$, les nombres $M$, $N$, $P$, etc. coïncideront avec les résidus quadratiques de $E$, zéro excepté.

Si E est le quarré d’un nombre premier impair $=p^{2}$, et que $p$ ait déjà été employé comme excluant, il suffit, par le n^o précédent, de prendre pour $a$, $b$, $c$, etc. les non-résidus de $p^{2}$ qui sont résidus de $p$, c’est-à-dire, les nombres $p$, $2p$, $3p$, … $(p-1)p$, (ou tous les nombres au-dessous de $p^{2}$ qui sont divisibles par $p$, zéro excepté) ; on voit par-là qu’on doit trouver pour $M$, $N$, $P$, etc. absolument les mêmes nombres, disposés seulement d’une autre manière. De même, si après l’emploi des excluans $p$ et $p^{2}$ on fait $E=p^{3}$ il suffira de prendre pour $a$, $b$, $c$, etc. les produits de chaque non-résidu de $p$ par $p^{2}$, et de là on tirera pour $M$, $N$, $P$, etc., ou les mêmes nombres, ou les produits de $p^{2}$ par chacun des résidus de $p$, zéro excepté, suivant que $m$ est résidu ou non-résidu de $p$. Généralement, si l’on prend $E=p^{\mu }$, toutes les puissances inférieures de $p$ ayant été employées, on trouvera pour $M$, $N$, $P$, etc. les produits de $p^{\mu -1}$, par tous les nombres moindres que $p$, zéro toujours excepté, quand $\mu$ est pair, ou par tous les non-résidus de $p$ moindres que $p$, quand $\mu$ est impair et $mRp$, ou par tous les résidus, quand $mNp$.

Si $E=4$ partant $a=2$, $b=3$, on a pour $M$ et $N$, $2$ et $5$ ou $2$ et $1$, suivant que $m\equiv 1$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$. Si après avoir employé $4$, on fait $E=8$, on a $a=5$ ; donc $M$ est $5$, $7$, $1$, $3$, suivant que $m\equiv 1$, $3$, $5$, $7{\pmod {8}}$. Généralement, si $E=2^{\mu }$, les puissances inférieures étant déjà employées, on doit poser $a=2^{\mu -1}$, $b=3.2^{\mu -2}$, quand $\mu$ est pair, d’où il résulte $M=2^{\mu -1}$, $N=3.2^{\mu -2}$ ou $=2^{\mu -2}$ suivant que $m\equiv 1$ ou $\equiv 3$ ; mais quand $\mu$ est impair, on doit poser $a=5.2^{\mu -3}$, d’où il vient $M$ égal au produit de $2^{\mu -3}$ par $5$, $7$, $1$ ou $3$, suivant que $m\equiv 1$, $3$, $5$ ou $7{\pmod {8}}$.

Au reste, les gens instruits trouveront facilement la manière de rejeter mécaniquement les valeurs inutiles de $y$, après qu’on aura calculé les valeurs de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. pour tant d’excluans qu’il paraîtra nécessaire; mais nous ne pouvons nous y arrêter, ni aux autres artifices par lesquels on peut abréger le travail.

323. Toutes les représentations d’un nombre donné $A$ par la forme binaire $mx^{2}+ny^{2}$, où les solutions de l’équation indéterminée $mx^{2}+ny^{2}=A$, peuvent être trouvées par la méthode exposée Section V, qui semble ne rien laisser à desirer du côté de la brièveté, si l’on a les différentes valeurs de l’expression ${\sqrt {-mn}}$, suivant le module $A$ et suivant $A$ divisé par ses différens facteurs quarrés. Mais nous allons donner ici, pour le cas où mn est positif, une solution beaucoup plus abrégée que la solution directe, lorsqu’il faut pour cette dernière calculer les valeurs dont nous venons de parler. Nous supposerons que les nombres $m$, $n$, $A$ soient positifs et premiers entre eux, parceque les autres cas se ramènent facilement à celui-là. Il suffit encore évidemment de trouver les valeurs positives de $x$, $y$, puisque les autres s’en déduisent par un simple changement de signe.

Il est clair que $x$ doit être tel que ${\frac {A-mx^{2}}{n}}$, que nous désignerons par $V$ soit positif, entier et quarré. La première condition exige que $x$ ne soit pas plus grand que ${\sqrt {\frac {A}{m}}}$ ; la seconde a lieu par elle-même quand $n=1$, autrement elle exige que la valeur de l’expression ${\frac {A}{m}}{\pmod {n}}$ soit résidu quadratique de $n,$ et qu’en désignant les diverses valeurs de l’expression ${\sqrt {\frac {A}{m}}}{\pmod {n}}$ par $\pm r$, $\pm r'$, etc., $x$ soit compris sous une des formes :

$nt+r$,——$nt-r$, ——$nt+r'$,——$nt-r$, ——etc.

Ainsi, il serait très-simple de substituer à la place de $x$ tous les nombres de ces formes et moindres que ${\sqrt {\frac {A}{m}}}$ nombres dont nous représenterons l’ensemble par $\omega$, et de ne retenir que ceux qui rendraient $V$ un quarré. Nous allons donner dans le n^o suivant le moyen d’abréger le nombre de ces essais autant que l’on voudra.

324. La méthode d’exclusion à l’aide de laquelle nous y parviendrons, consiste, comme la précédente, à prendre à volonté plusieurs nombres, que nous appellerons encore excluans, à chercher quelles sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $V$ devient non-résidu quadratique de ces excluans, et à rejeter de $\omega$ ces valeurs de $x$. On verra absolument de la même manière qu’au n^o 321, que l’on ne doit employer pour excluans que des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers, et que, pour un excluant du dernier genre, il n’y a plus à rejeter des valeurs de $V$ que les non-résidus qui sont résidus de toutes les puissances inférieures du même nombre premier, si toutefois on a déjà employé ces différentes puissances.

Soit donc l’excluant $E=p^{\mu }$ ($\mu$ pouvant être $=1$), où $p$ est un nombre premier qui ne divise pas $m$, et supposons que $p^{\nu }$ soit la plus haute puissance de $p$ qui puisse diviser $n$^[4]. Soient $a$, $b$, $c$, etc. les non-résidus quadratiques de $E$ (tous, quand $\mu =1$, mais ceux seulement qui sont résidus des puissances inférieures, quand $\mu >1$). On cherchera les racines des congruences $mz\equiv A-na$, $mz\equiv A-nb$, $mz\equiv A-nc$, etc. ${\pmod {Ep^{\nu }=p^{\mu +\nu }}}$, que nous désignerons par $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. ; et l’on voit facilement que si, pour une valeur de $x$ ; on a $x^{2}\equiv \alpha {\pmod {Ep^{\nu }}}$, la valeur correspondante de $V$ sera $\equiv a{\pmod {E}}$, c’est-à-dire, non-résidu de $E$, et de même pour $\beta$, $\gamma$, etc. On voit aussi facilement, que si une valeur de $x$ rend $V\equiv a{\pmod {E}}$, la même valeur rendra $x^{2}\equiv \alpha {\pmod {Ep^{\nu }}}$, et que parconséquent toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $x^{2}$ n’est congru à aucun des nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc., suivant le module $Ep^{\nu }$, produisent des valeurs de $V$ qui ne sont congrues à aucun des nombres $a$, $b$, $c$, etc., suivant le module $E$. Cela posé, on choisira parmi les nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. tous ceux qui sont résidus quadratiques de $Ep^{\nu }$, et les nommant $g$, $g'$, $g''$, etc. on calculera les valeurs des expressions ${\sqrt {g}}$, ${\sqrt {g'}}$, ${\sqrt {g''}}$, etc. ${\pmod {Ep^{\nu }}}$, que nous désignerons par $h$, $h'$, $h''$, etc. Il est évident que l’on peut rejeter de $/omega$ toutes les formes

$Ep^{\nu }t\pm h$,——$Ep^{\nu }t\pm h'$, ——$Ep^{\nu }t\pm h''$,——etc.

et qu’aucune des valeurs de $x$ qui resteront ne peuvent répondre à une valeur de $V$ qui soit de la forme

$Eu+a$,——$Eu+b$, ——$Eu+c$,——etc.

Au reste il est manifeste qu’aucune valeur de $x$ ne peut donner de telles valeurs de $V$, quand aucun des nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. n’est résidu quadratique de $Ep^{\nu }$, et que, dans ce cas, le nombre $E$ ne peut pas être employé comme excluant.

On peut employer ainsi autant d’excluans qu’on voudra, et parconséquent diminuer à volonté le nombre des valeurs de $x$ à essayer.

Examinons maintenant si l’on ne pourrait pas employer comme excluans des nombres premiers diviseurs de $m$, et des puissances de ces nombres. Soit $B$ la valeur de l’expression ${\frac {A}{n}}{\pmod {m}}$, il est clair que l’on a toujours $V\equiv B{\pmod {m}}$, quelque valeur que l’on prenne pour $x$ et que parconséquent pour que l’équation proposée soit possible, il est nécessaire que $B$ soit résidu quadratique de $m$. Ainsi, $p$ désignant un diviseur quelconque premier impair de $m$, qui, par hypothèse, ne doit diviser ni $n$, ni $A$, ni parconséquent $B$ ; $V$ sera résidu de $p$ pour une valeur quelconque de $x$, et partant, $p$ ni ses puissances ne peuvent être pris pour excluans.

Par une raison semblable, quand $m$ est divisible par $8$, il est nécessaire que l’on ait $B\equiv 1{\pmod {8}}$, pour que l’équation proposée soit possible ; donc pour une valeur quelconque de $x$, on aura $V\equiv 1{\pmod {8}}$, et partant, les puissances de $2$ ne peuvent servir d’excluans.

Quand $m$ est divisible par $4$ et non par $8$, on doit par la même raison avoir $B\equiv 1{\pmod {8}}$, et parconséquent la valeur de l’expression ${\frac {A}{n}}{\pmod {8}}$ est $1$ ou $5$ ; désignons-la par $C$. Il est facile de voir que, pour une valeur paire de $x$ on a $V\equiv C$ et $V\equiv C+4{\pmod {8}}$ pour une valeur impaire ; d’où il suit que l’on doit rejeter les valeurs paires quand $C=5$, et les valeurs impaires quand $C=1$.

Enfin, quand $m$ est divisible par $2$ et non par $4$, soit encore $C$ la valeur de l’expression ${\frac {A}{n}}{\pmod {8}}$, qui sera $1$, $3$, $5$ ou $7$, et $D$ la valeur de l’expression ${\frac {{\frac {1}{2}}m}{n}}{\pmod {4}}$, qui sera $1$ ou $3$. Comme la valeur de $V$ est toujours $\equiv C-2Dx^{2}{\pmod {8}}$, et partant $\equiv C$, si $x$ est pair, et $\equiv C-2D$, si $x$ est impair ; il est clair qu’on doit rejeter toutes les valeurs impaires de $x$, lorsque $C=1$ ; toutes les valeurs paires, quand $C=3$ et $D=1$, et quand $C=7$ et $D=3$, et que les valeurs conservées donnent toutes $V\equiv 1{\pmod {8}}$, c’est-à-dire, $V$ résidu de toute puissance de $2$. Quant aux autres cas, savoir, lorsque $C=5$ ou $3$ et $D=3$, lorsque $C=7$ et $D=1$, on trouve $V\equiv 3$, $5$ ou $7{\pmod {8}}$, soit que $x$ soit pair, soit qu’il soit impair, d’où il résulte évidemment que, dans ces cas, l’équation proposée n’admet aucune solution.

Au reste, comme après les changemens convenables, on peut chercher la valeur de $y$ de la même manière que nous avons cherché celle de $x$, on peut appliquer de deux manières la méthode d’exclusion au problème proposé (excepté dans le cas où $m=n=1$) ; on doit préférer celle pour laquelle $\omega$ contient un moindre nombre de termes, circonstance dont on peut facilement juger a priori.

Enfin, il est à peine nécessaire d’observer, que si après quelques exclusions, tous les nombres de $\omega$ disparaissent, on en doit conclure que l’équation proposée est impossible.

325. Exemple. Soit l’équation

$3x^{2}+455y^{2}=10857362,$

que nous résoudrons de deux manières, en cherchant d’abord les valeurs de $x$, et ensuite celles de $y$.

1^o . La limite des valeurs de $x$ est, dans ce cas, ${\sqrt {\left(3619120+{\frac {2}{3}}\right)}}$, qui tombe entre $1902$ et $1903$ : la valeur de l’expression ${\frac {A}{3}}{\pmod {455}}$ est $354,$ et les valeurs de l’expression ${\sqrt {354}}{\pmod {455}}$ sont

$\pm 82$,——$\pm 152$, ——$\pm 173$, ——$\pm 212\,;$

d’où il résulte que $\omega$ contient les trente-trois nombres suivans :

$82,152,173,212,243,282,303,373,537,607,628,667,$

$698,737,758,828,992,1062,1083,1122,1153,1192,$

$1213,1283,1447,1517,1538,1577,1608,1647,1668,$

$1738,1902.$

Le nombre $3$ ne peut être employé ici comme excluant, parcequ’il divise $m$.

Pour l’excluant $4$, on a $a=2$, $b=3$, d’où $\alpha =0$, $\beta =3$, $g=0$ ; les valeurs de ${\sqrt {g}}{\pmod {4}}$ sont $0$ et $2$ ; il suit de là que tous les nombres des formes $4t$ et $4t+2$, c’est-à-dire, tous les nombres pairs, doivent être rejetés. Désignons par $\omega '$ les seize qui restent.

Pour $E=5$, les racines des congruences $mz\equiv A-2n$, $mz\equiv A-3n{\pmod {25}}$ sont $9$ et $24$, qui sont toutes deux résidus de $25$ ; les valeurs des expressions ${\sqrt {g}}$ et ${\sqrt {24}}{\pmod {25}}$ sont $\pm 3$ et $\pm 7$ ; ainsi rejetant les nombres des formes $25t\pm 3$, $25t\pm 7$, ceux qui restent sont au nombre de dix :

$173,\,373,\,537,\,667,\,737,\,1083,\,1213,\,1283,\,1517,\,1577$…(ω'')

Pour $E=7$, les racines des congruences

$mz\equiv A-3n$,—$mz\equiv A-5n$, —$mz\equiv A-6n{\pmod {49}}$

sont $32,$ $39,$ $18,$ qui sont toutes résidus de $49$ ; les valeurs des expressions ${\sqrt {32}},$ ${\sqrt {39}},$ ${\sqrt {18}}{\pmod {49}}$ sont $\pm 9,$ $\pm 23,$ $\pm 19$ ; en rejetant de $\omega ''$ les nombres de la forme

$49t\pm 9$,——$49t\pm 19$, ——$49t\pm 23,$

il reste les cinq suivans :

$537,\,737,\,1083,\,1213,,1517,$…………(ω''')

Pour $E=8$, on a $a=5$, d’où $\alpha =5$ qui est non-résidu de $8$ ; ainsi l’excluant $8$ ne peut être employé. Le nombre $9$ doit être passé, par la même raison que le nombre $3$.

Pour $E=11$, les nombres $a$, $b$, etc. sont $2$, $6$, $7$, $8$, $10$, et $\nu =0$ ; donc les nombres $\alpha$, $\beta$, etc. sont $8$, $10$, $5$, $0$, $1$, parmi lesquels $0$, $1$ et $5$ sont seuls résidus de $11$ ; de là on conclut que l’on doit rejeter de ωα les nombres de la forme

$11t$,——$11t\pm 1$, ——$11t\pm 4.$

Il reste $537$, $1083$, $1213$ ; en essayant ces nombres, ils donnent pour $V$ les valeurs

$21961$,——$16129$, ——$14161,$

dont le second et le troisième seuls sont des quarrés. Donc l’équation proposée admet deux solutions par des valeurs positives de $x$, $y$.

$x=1083$,——$y=127$ ; ——$x=1213$,——$y=119.$

2^o . Si l’on veut chercher par exclusion l’autre inconnue de cette équation, on la mettra sous la forme

$455x^{2}+3y^{2}=10857362,$

en échangeant $x$ et $y,$ afin de conserver la notation des n^os 323, 324.

La limite des valeurs de $x$ tombe ici entre $154$ et $155$ ; la valeur de l’expression ${\frac {A}{m}}{\pmod {n}}$ est $1$, et les valeurs de ${\sqrt {1}}{\pmod {3}}$ sont $1$ et $-1$ ; donc $\omega$ contient tous les nombres des formes $3t+1$ et $3t-1$, c’est-à-dire tous les nombres non-divisibles par $3$, jusqu’à $154$ exclusivement ; il y en a cent trois. En appliquant les règles données précédemment, on trouve que

pour les excluans	——	on doit rejeter les nombres de la forme
$3$		$9t\pm 4$
$4$		$4t,\;4t+2$, c’est-à-dire les nombres pairs,
$9$		$27t\pm 1,\;27t\pm {10}$
$11$		$11t,\;11t\pm 1,\;11t\pm 3$
$17$		$17t\pm 3,\;17t\pm 4,\;17t\pm 5,\;17t\pm 7$
$19$		$19t\pm 2,\;19t\pm 3,19t\pm 8,\;19t\pm 9$
$23$		$23t,\;23t\pm 5,\;23t\pm 7,23t\pm 9,\;23t\pm {10}.$

Après avoir effacé ces différens nombres, il reste $119$, $127$, $137$, dont les deux premiers seuls rendent $V$ un quarré, et donnent les mêmes solutions que la première méthode.

326. La méthode précédente est déjà si expéditive en elle-même, qu’elle laisse à peine quelque chose à desirer ; cependant elle peut encore être beaucoup abrégée par un grand nombre d’artifices, sur lesquels nous ne pouvons nous arrêter que légèrement. Ainsi nous réduirons nos recherches au cas où l’excluant est un nombre premier impair qui ne divise pas $A$, ou une puissance d’un tel nombre, d’autant plus que les autres cas peuvent se ramener à celui-ci, ou être traités d’une manière analogue.

Supposons d’abord que l’excluant $E=p$ soit un nombre premier qui ne divise ni $m$ ni $n$, et représentons par $k$, $M$, $N$, $P$, etc. les valeurs des expressions

${\frac {A}{m}}$,——$-{\frac {na}{m}}$, ——$-{\frac {nb}{m}}$, ——$-{\frac {nc}{m}}$, ——etc.——${\pmod {p}}$ ;

respectivement : les nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. se trouveront par les congruences

$\alpha \equiv k+M$,——$\beta \equiv k+N$, ——$\gamma \equiv k+P$, ${\pmod {p}}$.

Or les nombres $M$, $N$, $P$, etc. peuvent être déterminés par un artifice absolument semblable à celui dont nous nous sommes servis au n^o 322, sans résoudre les congruences, et ils coïncideront, soit avec tous les non-résidus, soit avec les résidus de $p$ (zéro excepté), suivant que la valeur de l’expression $-{\frac {m}{n}}{\pmod {p}}$, ou, ce qui revient au même, suivant que le nombre $-mn$ est résidu ou non-résidu de $p$. Ainsi, dans l’exemple 2 du n^o précédent, pour $E=17$, on a $k=7$ ; $-mn=-1365\equiv 12$ est non-résidu de $17$ ; donc les nombres $M$, $N$, etc. sont $1$, $2$, $4$, $8$, $9$, $13$, $15$, $16$, et partant, les nombres $\alpha$, $\beta$, etc. sont $8$, $9$, $11$, $15$, $16$, $3$, $5$, $6$. Parmi ces derniers, $8$, $9$, $15$ et $16$ sont résidus, d’où l’on tire $\pm h$, $h'$, etc. $\pm 5$, $3$, $7$, $4.$

Ceux qui auront fréquemment occasion de résoudre ce problème, gagneront beaucoup à calculer pour plusieurs nombres premiers $p$, les valeurs de $h$, $h'$, etc. correspondantes aux différentes valeurs de $k(1,2,3....p-1)$, dans la double supposition où $-mn$ est résidu, et où il est non-résidu de $p$. Au reste, nous observerons encore qu’il y a toujours ${\frac {1}{2}}(p-1)$ nombres $h,$ $-h,$ $h',$ etc. quand $k$ et $-mn$ sont tous deux résidus, ou tous deux non-résidus de $p$ ; ${\frac {1}{2}}(p-3)$, quand le premier est résidu et le second non-résidu ; ${\frac {1}{2}}(p+1)$, quand le premier est non-résidu et le second résidu. Mais, pour éviter la prolixité, nous supprimons la démonstration de ce théorème.

Quant à ce qui regarde les cas où $E$ est un nombre premier qui divise $n$, ou une puissance d’un nombre premier impair qui divise ou ne divise pas $n$, nous allons voir qu’ils peuvent être employés d’une manière encore plus expéditive. Nous traiterons tous ces cas ensemble, et conservant la notation du n^o 324, nous ferons $n=n'p^{\nu }$, desorte que $n'$ ne soit plus divisible par $p^{\mu -1}$. Les nombres $a,$ $b,$ $c,$ etc. seront les produits du nombre $p$ par tous les nombres moindres que $p$, zéro excepté, et par tous les non-résidus de $p$ plus petits que $p,$ suivant que $\mu$ est pair ou impair ; exprimons les indéfiniment par $up^{\mu -1}$. Soit $k$ une valeur de l’expression ${\frac {A}{m}}{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$, il ne sera pas divisible par $p$, puisque $A$ ne l’est pas ; en outre il est clair que $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. sont congrus à $k$ suivant le module $p$, et que partant $p^{\mu }$ n’exclut aucun des nombres $\omega$, si $kNp\ ;$ mais si $kRp$ et partant $kRp^{\mu +\nu }$, soit $\alpha$ la valeur de l’expression ${\sqrt {k}}{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$, qui ne sera pas divisible par $p$, et $e$ la valeur de l’expression $-{\frac {n'}{2mr}}{\pmod {p}}$ on aura $\alpha \equiv r^{2}+2erap^{\nu }{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$, d’où l’on conclut facilement que $\alpha$ est résidu de $p^{\mu +\nu }$, et que les valeurs de l’expression ${\sqrt {\alpha }}{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$ sont $\pm (r+eap^{\nu })$ ; donc tous les nombres $h,$ $h',$ $h'',$ etc, seront exprimés par la formule $r+eup^{\mu +\nu -1}$^[5].

Il est facile de conclure de là que les nombres $h$, $h'$, $h''$, etc. se composent de $r$ ajouté aux produits du nombre $p^{\mu +\nu -1}$ par tous les nombres au-dessous de $p$, zéro excepté, quand $\mu$ est pair ; ou par tous les non-résidus de $p$, quand $\mu$ est impair et que $eRp$, ou, ce qui est la même chose, que $-2mrn'Rp$ ; ou par tous les résidus de $p$, quand $\mu$ est impair, et que $-2mrn'Np$.

Au reste, à mesure que l’on aura trouvé les nombres $h$, $h'$, $h''$, etc. pour chacun des excluans que l’on voudra employer, on pourra exécuter l’exclusion par des opérations mécaniques, qu’on découvrira facilement de soi-même, avec un peu d’habitude, si on le trouve avantageux.

Nous devons observer enfin que toute équation $ax^{2}+2bxy+cy^{2}=M$, dans laquelle $b^{2}-ac$ est négatif et $=-D$, peut être facilement ramenée à la forme que nous avons considérée dans ce qui précède. Désignons en effet par $m$ le plus grand commun diviseur des nombres $a$ et $b$, et posons

$a=ma'$,——${\frac {D}{m}}=a'c-mb'^{2}$, ——$a'x+b'y=x'\,;$

il en résulte l’équation $mx'^{2}+ny'^{2}=a'M$, des solutions desquelles on ne doit conserver que celles dans lesquelles $x'-by'$ est divisible par $a'$, ou qui donnent des valeurs entières de $x$.

327. La solution directe de l’équation $ax^{2}+2bxy+cy^{2}=M$, contenue dans la Section V, suppose que l’on connaisse les valeurs de l’expression ${\sqrt {(b^{2}-ac)}}{\pmod {M}}$ ; mais réciproquement, pour le cas où $b^{2}-ac$ est négatif, la solution indirecte exposée dans les n^os précédens fournit, pour trouver ces valeurs, une méthode très-expéditive, qui est bien préférable à celle du n^o  322, surtout quand $M$ est un très-grand nombre. Nous supposerons que $M$ est nombre premier, ou du moins, s’il est composé, que ses facteurs sont encore inconnus ; en effet, si l’on savait que $M$ fût divisible par un nombre premier $p$, et que l’on eût $M=p^{\mu }M'$, de manière que $M'$ ne renfermât plus le facteur $p$, il serait bien plus commode de chercher séparément les valeurs de ${\sqrt {(b^{2}-ac)}}$ pour les modules $p^{\mu }$ et $M'$ (en déduisant les premières des valeurs pour le module $p$ (n^o 101)), et d’en conclure, par la combinaison, les valeurs pour le module $M$ (n^o 105).

Il faut donc chercher les valeurs de ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$, où $D$ et $M$ sont supposés positifs, et $M$ contenu sous la forme des diviseurs de $x^{2}+D$ (n^o 147 et suivans) ; en effet, autrement il serait évident qu’aucun nombre ne satisferait à l’expression proposée. Soient $\pm r$, $\pm r'$, $\pm r''$, etc. les valeurs cherchées qui seront toujours opposées deux à deux, et

$D+r^{2}=Mh$,——$D+r'^{2}=Mh'$, ——$D+r''^{2}=Mh'',$

désignons par $K$, $-K$, $K'$, $-K'$, $K''$, $-K''$, etc. les classes auxquelles appartiennent les formes $(M,r,h)$, $(M,-r,h)$, $(M,r',h')$, $(M,-r',h')$, $(M,r'',h'')$, $(M,-r'',h'')$, etc., et par Γ l’ensemble de ces classes. Généralement parlant, ces classes doivent être regardées comme inconnues ; cependant il est clair, 1^o . qu’elles sont toutes positives et proprement primitives ; 2^o . qu’elles appartiennent toutes à un même genre, dont le caractère peut facilement se conclure de la nature du nombre $M$, c’est-à-dire, de ses relations avec les différens diviseurs premiers de $D$, et de plus avec $4$ ou $8$, quand il y a lieu (n^o 230). Puisque nous avons supposé que $M$ est contenu sous une forme de diviseurs de $x^{2}+D$, nous sommes sûrs d’avance qu’il répond à ce caractère un genre positif proprement primitif de formes de déterminant $-D$, quand bien même l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$ ne pourrait être satisfaite. Donc, puisque ce genre est connu , on peut trouver toutes les classes qui y sont contenues ; désignons-les par $C$, $C'$, $C''$, etc., et leur ensemble par G, Les différentes classes $K$, $-K$, etc. doivent être identiques avec quelque classe comprise dans G ; il peut arriver aussi que plusieurs classes de Γ soient identiques entre elles et qu’elles le soient parconséquent avec une même de G, et quand G n’en contient qu’une seule, il est certain que toutes les classes de Γ coïncident avec elle. Donc si des classes $C$, $C'$, $C''$, etc., on tire les formes les plus simples $f$, $f'$, $f''$, etc. respectivement, une forme de chaque classe de Γ se trouvera parmi elles. Or si $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ est une forme contenue dans la classe $K$, il y aura deux représentations du nombre $M$, par cette forme, appartenantes à la valeur $r$, et si l’une est $x=m$, $y=n$, l’autre sera $x=-m$, $y=-n$. On doit excepter le seul cas où $D=1$, dans lequel il y aurait quatre représentations (n^o 180).

Il suit de là que si on cherche toutes les représentations du nombre $M$ par les différentes formes $f$, $f'$, $f''$, etc., par la méthode indirecte exposée précédemment, et qu’on en tire les valeurs de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}},$ auxquelles chacune d’elles appartient (n^o 154 et suivans), on aura toutes les valeurs de cette expression et même chacune d’elles deux fois, ou quatre fois si $D=1$. Si parmi les formes $f$, $f'$, etc., il s’en trouve quelques-unes par lesquelles M ne puisse pas être représenté, il s’ensuit qu’elles n’appartiennent à aucune classe de Γ, et que parconséquent elles doivent être négligées ; et si $M$ ne pouvait être représenté par aucune de ces formes, alors $D$ serait certainement non-résidu quadratique de $M.$

Nous ajouterons encore sur ces opérations les observations suivantes, qui sont essentielles.

1^o. Les représentations du nombre $M$ par les formes $f$, $f',$ etc. que nous employons, sont supposées avoir lieu par des valeurs premières entre elles des indéterminées $x$, $y\ ;$ s’il s’en présente d’autres dans lesquelles ces valeurs aient un commun diviseur $\mu ,$ (ce qui ne peut arriver que lorsque $\mu ^{2}$ divise $M,$ et qui arrivera nécessairement si $-DR{\frac {M}{\mu ^{2}}}$ elles doivent être négligées dans nos Recherches, quoique, sous un autre aspect, elles puissent être utiles.

2^o. Toutes choses d’ailleurs égales, le travail sera évidemment d’autant plus facile, que le nombre des classes $f,\ f',\ f'',$ etc. sera moins grand, et il est parconséquent le plus court possible quand $D$ est un des soixante-cinq nombres consignés au n^o 303, pour lesquels il n’y a qu’une seule classe dans chaque genre.

3^o. Puisqu’il y a toujours deux de ces représentations, $x=m,\ y=n\ \ ;\ \ x=-m,\ y=-n$ qui appartiennent à la même valeur, on voit qu’il suffit de considérer celles dans lesquelles $y$ est positif ; et de cette manière les représentations différentes correspondent à des valeurs différentes de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}},$ et le nombre de toutes les valeurs est égal au nombre des représentations, en exceptant toujours le cas où $D=1,$ dans lequel le premier nombre n’est que la moitié du second.

4^o. Comme il suffit de connaître l’une des deux valeurs $r$, $-r$, pour avoir l’autre, les opérations peuvent encore s’abréger ; si la valeur $r$ s’obtient par la représentation du nombre $M$ par une forme contenue dans la classe $C,$ la valeur opposée $-r$ se tirera évidemment de la représentation par une forme contenue dans la classe opposée, qui sera différente de la classe $C,$ si celle-ci n’est pas ambiguë. Il suit de là que, quand toutes les classes de $G$ ne sont pas ambiguës, il ne faut considérer que la moitié des autres, c’est-à-dire, que de deux opposées, on prendra l’une et l’on négligera l’autre, que l’on voit d’avance et sans calcul devoir fournir des valeurs opposées à celle que donne la première. Mais quand $C$ est une classe ambiguë, elle donnera à-la-fois les deux valeurs $r$ et $-r$ : si l’on a choisi dans $C$ la forme ambiguë $ax^{2}+2bxy+cy^{2}$, et que la valeur $r$ résulte de la représentation $x=m$, $y=n$, la valeur $-r$ résultera de la représentation $x=-m-{\frac {2nb}{a}}$, $y=n$.

5^o . Dans le cas où $D=1$, il n’y a qu’une seule classe dans laquelle on peut supposer qu’on ait choisi la forme $x^{2}+y^{2}$ ; et si la valeur ${\displaystyle }$ résulte de la représentation $x=m$, $y=n$, la même résultera des représentations

$x=$	$m$,	———	$y=-$	$n$ ;
$x=$	$n$,		$y=-$	$m$ ;
$x=-$	$n$,		$y=$	$n$,

et la valeur opposée $-r$, des représentations

$x=$	$m$,	———	$y=-$	$n$ ;
$x=-$	$m$,		$y=$	$n$ ;
$x=$	$n$,		$y=$	$m$ ;
$x=-$	$n$,		$y=-$	$m$,

ainsi de ces huit représentations, qui ne forment qu’une seule décomposition, une suffit, pourvu qu’à la valeur résultante nous joignions la valeur opposée.

6^o . La valeur de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$, à laquelle appartient la représentation $M=am^{2}+2bmn+cn^{2}$, est (n^o 155)

$\mu (mb+nc)-\nu (ma+nb),$

ou un nombre quelconque congru à celui-là, suivant le module $M$, $\mu$ et $\nu$ étant tels qu’on ait $\mu m+\nu n=1$ ; désignons cette valeur par $v$, on aura

$mv$	$\equiv \mu m(mb+nc)-\nu (M-mnb-n^{2}c)$
	$\equiv (\mu m+\nu n)(mb+nc)$
	$\equiv mb+nc{\pmod {M}}$ ;

donc $v$ est la valeur de l’expression ${\displaystyle }$ ; on trouve de même que $v$ est la valeur de l’expression $-{\frac {ma+nb}{n}}{\pmod {M}}$.

Ces formules sont souvent préférables à celle dont on les a déduites.

328. Exemples. 1^o. Soit proposé de trouver les valeurs de l’expression ${\sqrt {-1365}}{\pmod {5428681=M}}$. On a ici

$M\equiv 1,\,1,\,1,6,\,11\,{\pmod {4,\,3,\,5,\,7,\,13}},$

et partant il est compris sous la forme des diviseurs de $x^{2}+1$, $x^{2}+3,$ $x^{2}+5,$ et sous la forme des non-diviseurs de $x^{2}+7,$ $x^{2}-13,$ et partant (n^o 150) sous la forme des diviseurs de $x^{2}+1365.$ Le caractère du genre dans lequel se trouvent les classes Γ est

$1,4\,;\qquad R3\,;\qquad R5\,;\qquad N7\,;\qquad N13.$

Il n’y a qu’une classe dans ce genre ; nous prendrons dans cette classe la forme $6x^{2}+6xy+229y^{2}.$ Afin de trouver toutes les représentations du nombre $M,$ nous ferons $2x+y=x',$ d’où il résultera $3x'^{2}+455y^{2}=2M\,;$ cette équation admet quatre solutions dans lesquelles $y$ est positif,

$y=127\,;\qquad x'=\pm 1083\,;\qquad y=119\,;\qquad x'=\pm 1213\,;$

d’où il résulte quatre solutions de l’équation $6x^{2}+6xy+229y^{2}=M,$ dans lesquelles y est positif,

$x=478$,	——	$-605$,	——	$547$,	——	$-666$
$y=127$,		$127$,	——	$119$,		$119$.

la première solution donne pour $v$ la valeur de l’expression ${\frac {30517}{478}}$ ou $-{\frac {3249}{127}}{\pmod {M}},$ d’où l’on tire $2350978\,;$ la seconde donne la valeur opposée ; la troisième, la valeur $2600262,$ et la quatrième, la valeur opposée.

2^o. Si l’on doit chercher les valeurs de l’expression ${\sqrt {-286}}{\pmod {4272943=M}},$ le caractère du genre dans lequel sont les classes Γ se trouve être $1$ et $7,8\,;$ $R11\,;$ $R13.$ C’est donc le genre principal, qui contient trois classes représentées par les formes

$(1,0,286),\quad (14,6,23),\quad (14,-6,23).$

On doit négliger la troisième, comme opposée à la seconde. On trouve deux représentations du nombre $M$ par la forme $x^{2}+286y^{2},$ dans lesquelles $y$ est positif, savoir, $y=103,$ $x=\pm 1113,$ qui donnent pour l’expression proposée les valeurs $\pm 1493445\,:$ et comme $M$ n’est pas représentable par la forme $(14,6,23),$ il s’ensuit qu’il n’y a que les deux valeurs que nous venons de trouver.

3^o . Étant proposée l’expression ${\sqrt {-70}}{\pmod {997331}},$ les classes Γ devront être contenues dans le genre dont le caractère est $3$ et $5,8\,;$ $R5$ ; $N7$. Ce genre ne renferme qu’une classe dont la représentante est $(5,0,14)$ ; or on trouve, en entreprenant le calcul, que $997331$ n’est pas représentable par cette forme ; donc $-70$ est nécessairement non-résidu de ce nombre.

329. Le problème où l’on se propose de distinguer les nombres premiers des nombres composés, et de décomposer ceux-ci en leurs facteurs premiers, est connu comme un des plus importans et des plus utiles de toute l’Arithmétique ; tout le monde sait qu’il a été l’objet des recherches des géomètres tant anciens que modernes, et il serait inutile de donner des détails à cet égard. Cependant on ne peut s’empêcher de convenir que toutes les méthodes proposées jusqu’à présent sont restreintes à des cas très-particuliers, ou sont si longues et si pénibles, que même pour ceux de ces nombres qui ne dépassent pas les limites des Tables dont on est redevable à quelques mathématiciens, c’est-à-dire, pour les nombres à l’égard desquels ces méthodes sont inutiles, elles fatiguent la patience du calculateur le plus exercé, et qu’elles ne sont pour ainsi dire pas applicables à de plus grands nombres. Quoique ces Tables, qui sont dans les mains de tout le monde, et que l’on doit espérer devoir accroître encore par la suite, suffisent dans la plupart des cas qui se présentent ordinairement ; il n’est cependant pas rare qu’un calculateur habile tire de la décomposition des grands nombres en facteurs, des avantages qui compensent au-delà l’emploi du temps. En outre, la dignité de la science semble demander que l’on recherche avec soin tous les secours nécessaires pour parvenir à la solution d’un problème si élégant et si célèbre. Aussi nous ne doutons pas que les deux méthodes suivantes, dont nous pouvons affirmer la brièveté et l’efficacité d’après une longue expérience, ne plaisent aux amateurs de l’Arithmétique. Au reste, il est dans la nature du problème, que les méthodes, quelles qu’elles soient, deviennent d’autant plus longues, que les nombres auxquels on les applique sont plus considérables ; cependant, pour les méthodes suivantes, les difficultés ne s’accroissent qu’avec beaucoup de lenteur, et les nombres de sept, de huit et même d’un plus grand nombre de chiffres, ont toujours été traités, surtout par la seconde, avec un succès très-heureux, et avec toute la célérité que l’on peut attendre pour de si grands nombres, qui, suivant les méthodes connues jusqu’à présent, exigeraient un travail intolérable, même pour le calculateur le plus infatigable.

Avant de se servir des méthodes suivantes, il est toujours très-utile d’essayer la division du nombre proposé , par quelques-uns des plus petits nombres premiers, comme $2$, $3$, $5$, $7$, etc. jusqu’à $19$, ou encore plus loin, non-seulement afin de ne pas s’exposer à regretter d’avoir employé des méthodes recherchées et des artifices délicats pour trouver des nombres que la seule division aurait pu donner^[6], mais encore parceque dans le cas où aucune division ne réussit, la seconde méthode emploie avec beaucoup de succès les restes qui en résultent. Ainsi, par exemple, si l’on doit décomposer en facteurs le nombre $314159265$, la division par $5$ réussit deux fois, et ensuite la division par $5$ et par $7$, d’où l’on tire

$314159265=9.5.7.997331,$

et il suffit de soumettre à un examen plus méthodique le nombre $997331$, qu’on trouve n’être divisible ni par $11$, ni par $13$, ni par $17$, ni par $19$. De même, étant proposé le nombre $43429448$, nous supprimerons le facteur $8$, et nous appliquerons les méthodes au quotient $5428681$.

330. Le principe qui sert de base à la première méthode est le théorème suivant lequel tout nombre positif ou négatif qui est résidu quadratique d’un autre nombre $M$, est aussi résidu de tout diviseur de $M$. On sait que si $M$ n’est divisible par aucun nombre premier plus petit que ${\sqrt {M}}$, $M$ est certainement un nombre premier ; donc si tous les nombres premiers au-dessous de cette limite, qui divisent $M$ sont $p$, $q$, etc., le nombre $M$ sera composé des seuls nombres $p,$ $q,$ etc. ou de leurs puissances, ou bien il renfermera un seul facteur premier plus grand que ${\sqrt {M}}$, qui se trouve en divisant $M$ par $p$, $q$ etc. autant de fois qu’il est possible. Désignant donc par $\omega$ l’ensemble de tous les nombres premiers au-dessous de $M$, il suffit évidemment d’avoir tous les diviseurs premiers de $M$ qui sont contenus dans $\omega$. Or si l’on sait d’une manière quelconque qu’un certain nombre $r$, non-quarré, est résidu de $M$, on pourra être sûr que tout nombre premier, dont $r$ est non-résidu, ne peut être diviseur de $M$, et parconséquent rejeter de $\omega$ tous les nombres qui se trouveront dans ce cas (ils composent le plus souvent presque la moitié de tous les nombres de $\omega$). Si l’on sait encore qu’un autre nombre $r'$ est résidu de $M$ on pourra rejeter des nombres que la première exclusion a laissés dans $\omega$, tous ceux dont $r'$ est non-résidu, qui composent encore presque la moitié, du moins si les résidus $r$ et $r'$ sont indépendans, c’est-à-dire, si l’un n’est pas par lui-même et nécessairement résidu de tous les nombres dont l’autre est résidu, ce qui arriverait quand $rr'$ serait un quarré. Si l’on connaît encore d’autres résidus de $M$, $r''$, $r'''$, etc. qui soient tous indépendans de ceux qui précèdent^[7], on peut faire avec chacun d’eux des exclusions semblables, au moyen desquelles les nombres contenus dans ω décroissent avec tant de rapidité que bientôt, ou ils sont tous effacés, auquel cas le nombre $M$ est premier, ou il en reste si peu que la division peut être essayée sans peine ; dans ce dernier cas, parmi les nombres qui restent se trouvent nécessairement les diviseurs de $M$ s’il en existe. Pour un nombre qui ne surpasse pas beaucoup $1\,000\,000$, il suffit le plus souvent de six ou sept exclusions ; et de neuf ou dix, pour un nombre de huit ou neuf chiffres. Il nous reste maintenant deux choses à faire, 1^o. à trouver des résidus de $M$ qui soient convenables et en assez grand nombre ; 2^o. à effectuer l’exclusion de la manière la plus commode. Mais nous intervertirons l’ordre de ces questions, d’autant plus que la seconde nous apprendra quels sont les résidus qui conviennent le mieux.

331. Nous avons enseigné avec assez de détails dans la Section IV, à distinguer les nombres premiers dont un nombre donné $r$ est résidu ($r$ n’étant divisible par aucun quarré), d’avec ceux dont il est non-résidu, c’est-à-dire, les diviseurs de $x^{2}-r$ d’avec les non-diviseurs ; on a vu que les premiers étaient contenus sous des formes de cette espèce :

$rz+a$,—$rz+b$, —etc.——$4rz+a$,—$4rz+b$, —etc.

et les derniers sous des formules semblables. Toutes les fois que $r$ est un nombre assez petit, les exclusions pourront s’exécuter très-commodément, à l’aide de ces formules ; ainsi, par exemple, quand $r=1$, il faut exclure tous les nombres de la forme $4z+3$ ; tous les nombres de la forme $8z+3$ et $8z+5$, quand $r=2$, etc. Mais comme on n’est pas toujours maître de trouver de tels résidus du nombre proposé, et que l’application des formules n’est plus assez commode quand $r$ est un grand nombre, on gagne beaucoup et l’on diminue prodigieusement le travail des exclusions, si pour une assez grande quantité de nombres ($r$) non-divisibles par des quarrés, pris positivement et négativement, on construit une table dans laquelle on ait distingué les nombres premiers qui sont résidus des différens nombres ($r$), d’avec ceux qui en sont non-résidus. Cette table pourra être disposée comme la petite table II qu’on trouve à la fin de cet ouvrage, et dont nous avons déjà donné la description (n^o 99) ; mais pour qu’elle présente toute l’utilité convenable au but que nous nous proposons, les nombres premiers placés en marge, ou les modules, doivent être continués bien plus loin, par exemple, jusqu’à $1\,000$ ou $10\,000$ ; et en outre, on obtiendra un grand avantage, si l’on place en tête même les nombres composés et les nombres négatifs, quoique cela ne soit pas absolument nécessaire, comme on peut le voir par la Section IV. On atteindrait le plus haut point d’utilité, si les colonnes verticales dont elle est composée étaient détachées et rassemblées sur des lames ou bâtons semblables à ceux de Neper ; desorte que l’on pût considérer séparément celles qui sont nécessaires dans chaque cas, c’est-à-dire, celles qui répondent aux nombres $r$, $r'$, $r''$, etc. qui sont résidus du nombre à décomposer. En supposant ces bâtons convenablement placés auprès de la première colonne qui renferme les modules, c’est-à-dire, de manière que les parties de ces bâtons qui correspondent à un même nombre premier de la colonne des modules, soient dans une même ligne horizontale, il est évident que les nombres premiers qui restent dans $\omega$ après les exclusions faites avec les résidus $r$, $r'$, $r''$, etc. se reconnaîtront immédiatement à l’inspection : en effet, ce sont ceux de la première colonne auxquels répond dans chaque colonne le petit trait indicateur, tandis que l’on doit rejeter tous ceux auxquels répond un espace vide dans un quelconque des bâtons. Un exemple éclaircira suffisamment cette explication.

Si l’on sait, d’une manière quelconque, que les nombres

$-6$,——$+13$, ——$-14$,——$+17$, ——$+37$, ——$-53$

sont résidus de $997331$, on doit rassembler la première colonne, qui, dans ce cas, doit être continuée jusqu’à $997$, c’est-à-dire, jusqu’au nombre immédiatement moindre que ${\sqrt {997331}}$, et les bâtons en tête desquels sont inscrits les nombres $-6$, $+13$, etc. Voici une partie du tableau que l’on forme de cette manière

	———	———	———	———	———	———
		$-$	$+$	$-$	$+$	$+$	$-$
		$6$	$13$	$14$	$17$	$37$	$53$
$3$		$-$	$-$	$-$		$-$	$-$
$5$		$-$		$-$
$7$		$-$		$-$		$-$
$11$		$-$				$-$
$13$			$-$	$-$	$-$		$-$
$17$			$-$		$-$		$-$
$19$				$-$	$-$		$-$
$23$			$-$	$-$			$-$
etc.				etc.			etc.
$113$			$-$	$-$			$-$
$127$		$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
$131$		$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
etc.				etc.			etc.

De la même manière qu’on reconnaît ici à l’inspection, que des nombres premiers contenus dans ce tableau, $127$ est le seul qui reste dans $\omega$, après l’exclusion faite avec les nombres $-6$, $13$, etc., on reconnaîtra, en achevant le travail jusqu’à $997$, qu’il n’en reste effectivement pas d’autre. En essayant la division par $127$, elle réussit, et l’on a

$997331=127\times 7853$^[8].

Au reste, il suit de ce que nous venons d’exposer, qu’il faut employer surtout des résidus qui ne soient pas très-grands, ou du moins qui puissent se décomposer en facteurs premiers de grandeur moyenne, puisque l’usage immédiat de la table auxiliaire ne s’étend pas au-delà des nombres placés en tête, et que l’usage médiat ne s’étend qu’aux nombres qui peuvent se décomposer en facteurs premiers contenus dans la table.

332. Nous donnerons trois méthodes différentes pour trouver des résidus du nombre $M$ ; mais avant de les exposer, nous présenterons deux observations à l’aide desquelles on pourra déduire des résidus plus simples, lorsque ceux que l’on aura obtenus ne paraîtront pas convenables.

1^o. Si le nombre $ak^{2}$, divisible par le quarré $k^{2}$, que nous supposons premier avec $M$, est résidu de $M$, $a$ sera aussi résidu ; ainsi les résidus divisibles par de grands quarrés sont aussi utiles que les petits, et nous supposerons que les résidus trouvés par les méthodes suivantes aient été délivrés de leurs facteurs quarrés.

2^o. Si deux ou plusieurs nombres sont résidus, leur produit le sera aussi. En combinant cette observation avec la précédente, on peut très-souvent déduire de plusieurs résidus qui ne sont pas tous assez simples, un autre qui le soit beaucoup, pourvu qu’ils aient un grand nombre de facteurs communs. C’est pourquoi il est utile d’avoir des résidus composés de plusieurs facteurs qui ne soient pas trop grands, et il convient de les décomposer sur-le-champ en leurs facteurs. La force de ces observations se reconnaîtra mieux par des exemples et par un usage fréquent, que par des préceptes.

I. La méthode la plus simple et la plus commode pour ceux à qui l’habitude a donné quelque dextérité, consiste à décomposer le nombre $M$, ou plus généralement, un multiple quelconque de ce nombre en deux parties quelconques, ensorte qu’on ait $kM=a+b$, $a$ et $b$ étant tous deux positifs, ou l’un positif et l’autre négatif ; le produit pris avec un signe contraire sera résidu de $M$ ; en effet, on aura $-ab\equiv a^{2}\equiv b^{2}{\pmod {M}}$, et partant $-abRM$. On doit prendre les nombres $a$ et $b$ de manière que le produit soit divisible par un grand quarré, et que la division donne un quotient assez petit, ou du moins décomposable en facteurs qui ne soient pas trop grands, ce qu’on peut toujours faire sans peine. On doit surtout recommander de prendre pour $a$ un quarré, ou le double, ou le triple d’un quarré, dont la différence avec $M$ soit petite ou du moins décomposable en facteurs qui puissent être employés commodément.

Ainsi, par exemple, on trouve

$997331$	$=(999)^{2}-2.5.67$	$=(994)^{2}+5.11.13^{2}$
	$=2.(706)^{2}+3.17.3^{2}$	$=3.(575)^{2}+11.31.4$
	$=3.(577)^{2}-7.13.4^{2}$	$=3.(578)^{2}-7.19.37$
	$=11.(299)^{2}+2.3.5.29.4^{2}$	$=11.(301)^{2}+5.11^{2}$, etc.

On tire de là les résidus :

$2.5.67,\,-5.11,\,-2.3.17,\,-3.11.31,\,3.7.13,\,3.7.19,37,\,-2.3.5.11.29\,;$

la dernière décomposition donne le résidu $-5.11$, que nous avons déjà. Au lieu des résidus $-3.11.31$ et $2.5.5.11.29$, on peut tirer de leur combinaison avec $-5.11$, les résidus $3.5.31,2.3.29$.

II. La seconde et la troisième méthode se déduisent de ce que, si deux formes binaires $(A,B,C)$, $(A',B',C')$ de même déterminant $M$ ou $-M$, ou plus généralement $\pm kM$, appartiennent au même genre, les nombres $AA'$, $AC'$, $A'C$ sont résidus de $kM$, ainsi qu’il est aisé de le conclure de ce que le nombre caractéristique de l’une des formes est également celui de l’autre, et que parconséquent, si l’on représente ce nombre par $m$, les nombres $mA,$ $mC,$ $mA',$ $mC'$ sont tous résidus de $kM.$ Si donc $(a,b,a')$ est une forme réduite de déterminant positif $M$, ou plus généralement, de déterminant $kM$, et que $(a',b',c')$, $(a'',b'',c''),$ etc. soient des formes de sa période, qui sont parconséquent équivalentes à $(a,b,a')$ et du même genre qu’elle, les nombres $aa',$ $aa'',$ $aa''',$ etc. sont tous résidus de $M$. On calcule avec facilité un grand nombre de formes d’une pareille période, à l’aide de l’algorithme du n^o 187. On obtient ordinairement les résidus les plus simples en faisant $a=1$ ; on rejettera ceux qui seraient composés de trop grands facteurs.

Nous joignons le commencement des périodes des formes

${\begin{array}{lrrrclrrr}(&1,&998,&-1327)&\,et\,&(&1,&1412,&-918)\\\end{array}}$

dont les déterminans sont $997331$ et $1994662$ respectivement ; c’est-à-dire, $M$ et $2M$ :

${\begin{array}{lrrrclrrr}(&1,&998,&-1327)&\,&(&1,&1412,&-918)\\(&-1327,&329,&670)&\,&(&-918,&1342,&211)\\(&670,&341,&-1315)&\,&(&211,&1401,&-151)\\(&-1315,&974,&37)&\,&(&-151,&1317,&1723)\\(&37,&987,&-626)&\,&(&1723,&406,&-1062)\\(&-626,&891,&325)&\,&(&-1062,&656,&1473)\\(&325,&734,&-1411)&\,&(&1473,&817,&-901)\\(&-1411,&677,&382)&\,&(&-901,&985,&1137)\\(&382,&851,&-715)&\,&&&etc.&\\\end{array}}$

Ainsi tous les nombres : $-1327$, $670$, etc. sont des résidus de $997331$ ; et en négligeant ceux qui renferment de trop grands facteurs, il reste les suivans :

$2.5.67,37,13,-17.83,-5.11.13,-2.3.17,-2.59,-17.53$

Nous avions déjà trouvé le résidu $2.5.67$, ainsi que $-5.11$, qui résulte de la combinaison du troisième et du cinquième.

III. Si $C$ est une classe quelconque de déterminant négatif $-M$ ou $-kM$ différente de la classe principale, et que sa période (n^o 307) soit $C^{2}$, $C^{3}$, etc. ; les classes $C^{2}$, $C^{4}$, etc. appartiendront au genre principal, et les classes $C^{3}$, $C^{5}$, etc. appartiendront au même genre que $C$. Si donc $(a,b,c)$ est la forme la plus simple de $C$ et $(a',b',c')$ une forme d’une classe de cette période, de $C^{n}$, par exemple, on aura $a'RM$, ou $aa'RM$, suivant que $n$ sera pair ou impair ; $c',$ dans le premier cas, $ac'$, $a'c$ et $cc'$, dans le second, seront encore résidus. Le calcul de la période, c’est-à-dire celui des formes les plus simples, s’exécute avec une facilité étonnante, quand $a$ est très-petit, et surtout quand $a=3$, ce que l’on peut toujours obtenir si $kM\equiv 2{\pmod {3}}$^[9]. Voici le commencement de la période de la classe dans laquelle est contenue la forme $(3,1,332444)$ :

${\begin{array}{lrrrrl}C&=\ (&3,&1,&332444&),\\C^{2}&=\ (&9,&-2,&210815&),\\C^{3}&=\ (&27,&7,&36940&),\\C^{4}&=\ (&81,&34,&12327&),\\C^{5}&=\ (&243,&34,&4109&),\\C^{6}&=\ (&729,&-209,&1428&),\\C^{7}&=\ (&476,&209,&2487&),\\C^{8}&=\ (&1027,&342,&1085&),\\C^{9}&=\ (&932,&-437,&1275&),\\C^{10}&=\ (&425,&12,&2347&),\\{\text{etc}}.&&&&&\\\end{array}}$

On tire de là les résidus suivans, en rejetant ceux qui sont inutiles,

${\begin{array}{cccc}3.476,&1027,&1085,&425,\\\end{array}}$

ou, en supprimant les facteurs quarrés,

${\begin{array}{cccc}3.7.17,&13.79,&5.7.31,&17.\\\end{array}}$

Si l’on combine convenablement ces nombres avec les huit qu’a donnés la méthode II, on obtient facilement les douze suivans :

${\begin{array}{rrrrrr}-2.3,&13,&-2.7,&17,&37,&-53,\\-5.11,&79,&-83,&-2.59,&-2.5.31,&2.5.67.\\\end{array}}$

Les six premiers sont ceux dont nous nous sommes servis n^o 331. Nous aurions pu ajouter les résidus $19$ et $-29$, si nous avions Voulu nous servir de ceux qu’a fournis la méthode I ; quant aux autres trouvés par cette méthode, ils sont dépendans des résidus que nous venons de déterminer.

333. La seconde méthode, pour décomposer en facteurs un nombre donné, se tire de la considération des valeurs de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$, et repose sur les observations suivantes :

I. Quand $M$ est un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier, impair et non-diviseur de $D$, $-D$ est résidu ou non-résidu de $M$, suivant que $M$ est compris dans une forme de diviseurs ou de non-diviseurs de $x^{2}+D,$ et dans le premier cas, l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$ n’aura que deux valeurs qui seront opposées.

II. Mais quand $M$ est composé et $=pp'p''$ etc., $p,$ $p',$ $p'',$ etc. désignant des nombres premiers impairs et non-diviseurs de $D,$ ou des puissances de tels nombres, $-D$ ne sera résidu de $M$ que quand il le sera des nombres $p,$ $p',$ $p'',$ etc., c’est-à-dire, quand tous ces nombres seront contenus dans des formes de diviseurs de $x^{2}+D.$ Or en désignant toutes les valeurs de l’expression ${\sqrt {-D}}$ suivant les modules $p,$ $p',$ $p'',$ etc., par $r,$ $r',$ $r'',$ etc. respectivement, on trouvera toutes les valeurs de la même expression, suivant le module $M,$ en déterminant des nombres qui soient $\equiv \pm r{\pmod {p}},$ $\equiv \pm r'{\pmod {p'}},$ etc. ; ainsi le nombre de ces valeurs sera $2^{\mu },$ si l’on exprime par $\mu$ le nombre des facteurs $p,$ $p',$ $p'',$ etc. Si donc ces valeurs sont $R,$ $-R,$ $R',$ $-R',$ $R'',$ etc., la congruence $R\equiv R$ a évidemment lieu par elle-même, suivant tous les modules de $p,$ $p',$ $p'',$ etc., et la congruence $R\equiv -R$ n’a lieu suivant aucun de ces nombres ; donc le plus grand commun diviseur de $R-R$ et de $M$ est $M,$ et celui de $R+R$ et de $M$ est $1\,;$ mais deux valeurs telles que $R$ et $R'$ qui ne sont ni identiques, ni opposées, seront nécessairement congrues, suivant un ou plusieurs des nombres $p,$ $p',$ $p'',$ etc. mais ne le seront pas suivant tous, et l’on aura, suivant les autres, $R\equiv -R'\,;$ donc le produit des premiers est le plus grand commun diviseur des nombres $M$ et $R-R',$ tandis que le produit des derniers est le plus grand commun diviseur des nombres $M$ et $R+R'.$ Il est facile de conclure de là que si l’on cherche les plus grands communs diviseurs entre $M$ et les différences d’une valeur donnée de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$ à toutes les autres, l’ensemble de ces communs diviseurs contiendra les nombres $1,$ $p,$ $p',$ $p'',$ etc. et les produits de ces nombres pris deux à deux, trois à trois, etc. On parviendra donc de cette manière à déterminer les nombres $p,$ $p'$, $p'',$ etc., à l’aide des valeurs de cette expression.

Au reste, comme la méthode du n^o 327 réduit la recherche des valeurs de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$ à celle des valeurs qui sont de la forme ${\frac {m}{n}}{\pmod {M}},$ dans lesquelles le dénominateur $n$ est premier avec $M$, il n’est pas nécessaire, pour parvenir à notre but, de trouver ces valeurs ; car le plus grand commun diviseur du nombre $M$ et de la différence $R-R'$, $R$ et $R'$ correspondant à ${\frac {m}{n}}$ et ${\frac {m'}{n'}}$, sera évidemment le plus grand commun diviseur des nombres $M$ et $nn'(R-R')$, ou des nombres $M$ et $mn'-m'n$, puisque ce dernier est congru à $nn'(R-R')$ suivant le module $M$.

334. L’application des observations précédentes au problème dont il s’agit, peut se faire de deux manières ; la première non-seulement décide si le nombre proposé $M$ est premier ou composé, mais encore donne dans le dernier cas les facteurs eux-mêmes ; la seconde a l’avantage de l’emporter le plus souvent par la brièveté des calculs, mais quelquefois elle ne donne pas les facteurs des nombres composés, à moins qu’on ne la répète plusieurs fois ; au reste elle distingue avec autant de facilité que la première, les nombres premiers des nombres composés.

I. On cherchera un nombre négatif $-D$ qui soit résidu quadratique de $M$, et l’on peut employer à cette recherche les méthodes exposées n^o 332,1 et II. Il est indifférent en soi de prendre tel ou tel résidu, et il n’est pas nécessaire, comme dans la solution précédente, que $D$ soit un petit nombre ; mais comme le calcul deviendra d’autant plus simple, qu’il y aura moins de classes de formes binaires, dans chaque genre proprement primitif de déterminant $-D$, on trouvera de l’avantage à choisir, s’il est possible, un des soixante-cinq nombres cités au n^o 305. Ainsi pour $M=997331$, parmi tous les résidus déterminés plus haut, le plus avantageux est $-102$. On cherchera toutes les valeurs de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$, et s’il n’y en a que deux qui soient opposées, $M$ sera certainement un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier ; s’il y en a un plus grand nombre, $2^{\mu }$, par exemple, $M$ sera composé de $\mu$ facteurs qui sont des nombres premiers, ou des puissances de nombres premiers. Or il sera extrêmement facile de reconnaître si ces nombres sont premiers, ou des puissances de nombres premiers, et dans ce dernier cas, la méthode par laquelle on trouve les valeurs de ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}}$ indique d’elle-même tous les nombres premiers dont une certaine puissance divise le nombre $M\,;$ savoir, si $M$ est divisible par le quarré d’un nombre premier $\pi$, le calcul conduira certainement à une ou plusieurs représentations du nombre $M$, telles que $M=am^{2}+2bmn+cn^{2},$ dans lesquelles le plus grand commun diviseur des nombres $m$ et $n$ est $\pi ,$ et cela arrive parcequ’alors $-D$ est aussi résidu de ${\frac {M}{\pi ^{2}}}\,;$ mais quand il n’y a aucune représentation dans laquelle $m$ et $n$ aient un diviseur commun, c’est un indice certain que $M$ n’est divisible par aucun quarré, et que parconséquent $p,$ $p',$ $p'',$ etc. sont des nombres premiers.

Exemple. Par la méthode exposée plus haut, on trouve quatre valeurs de l’expression ${\sqrt {-408}}{\pmod {997331}}$ qui coïncident avec celle des expressions $\pm {\frac {1664}{113}},$ $\pm {\frac {2824}{3}}\,;$ les plus grands communs diviseurs du nombre $997331,$ avec

$3.1664-113.2824\,\;{\text{et}}\,\;3.1664+113.2824$,

ou avec $314120$ et $324104$ sont $7853$ et $127,$ d’où l’on tire, comme ci-dessus, $997331=7853.127.$

II. On prendra un nombre négatif $-D,$ tel que $M$ soit contenu dans une des formes de diviseurs de $x^{2}+D\,;$ quoiqu’on puisse choisir ce nombre de telle grandeur qu’on voudra, il est avantageux de chercher à rendre le plus petit possible le nombre des classes contenues dans les genres de déterminant $-D.$ Au reste on ne rencontre aucune difficulté dans la recherche de ce nombre ; en effet, parmi une quantité considérable de nombres essayés, il y en a presque autant pour lesquels $M$ soit dans une forme de diviseurs, qu’il y en a pour lesquels $M$ soit dans une forme de non-diviseurs. Il sera donc convenable de commencer les essais par les soixante-cinq nombres du n^o 303, à partir des plus grands, et s’il se trouvait qu’aucun d’eux ne fut convenable (ce qui n’arrive, généralement parlant, qu’une fois sur $\left.16384\right),$ on passerait à d’autres pour lesquels il n’y eût que deux classes dans chaque genre.

On cherchera alors les valeurs de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {M}},$ et si l’on en trouve, les facteurs de $M$ se déduiront absolument de la même manière que plus haut ; mais si l’on n’obtient aucunes valeurs, c’est-à-dire, si $-D$ n’est pas résidu de $M,$ $M$ ne sera certainement ni un nombre premier, ni une puissance d'un nombre premier. Quand, dans ce cas, on voudra connaître les facteurs eux-mêmes, il faudra recommencer l’opération avec une autre valeur de D, ou recourir à une autre méthode.

Ainsi, par exemple, on trouve que $997331$ est contenu dans une forme de non-diviseurs pour $x^{2}+1848,$ $x^{2}+1365,$ $x^{2}+1320,$ mais dans une forme de diviseurs de $x^{2}+840.$ On parvient pour les valeurs de l’expression ${\sqrt {-840}}{\pmod {997331}}$ aux expressions $\pm {\frac {1272}{163}},$ $\pm {\frac {3288}{125}},$ d’où l’on tire les facteurs déjà connus.

Ceux qui désireraient un plus grand nombre d’exemples, peuvent consulter le n^o 328, où le premier prouve que $5428681=307.17683\,;$ le second, que $4272$ est un nombre premier ; le troisième, que $997331$ est sûrement un nombre composé.

Au reste, les limites de cet ouvrage ne nous permettent d’insérer ici que les bases les plus importantes des deux méthodes qui servent à la décomposition en facteurs. Nous réservons pour une autre occasion l’exposition plus détaillée, ainsi que plusieurs tables auxiliaires.

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1. Pour abréger, nous ne nous arrêtons qu’au système décimal vulgaire, quoique nos recherches pussent s’étendre à un système quelconque.
2. Robertson marque le commencement et la fin de la période, en plaçant un point sur le premier et le dernier chiffre (Theory of circulating fractions, Philos, trans., 1764), mais nous ne l’avons pas jugé nécessaire.
3. Cette fraction est une de celles qui approchent le plus de la racine quarrée de 23, et l’excès est moindre que sept unités du vingtième ordre décimal.
4. Pour abréger, nous traitons à-la-fois le cas où $n$ est divisible par $p$, et celui où il ne l’est pas ; dans le second, on doit faire $\nu =0$.
5. On a

   $mk\equiv A$, $m\alpha \equiv A-n\alpha$, $r^{2}\equiv k{\pmod {p^{\mu +\nu }}}$ et d’ailleurs $na=n'up^{\mu +\nu -1}\,;$ on en déduit sur-le-champ, par les deux premières congruences, $mk-m\alpha \equiv n'up^{\mu +\nu -1}$ ; multipliant la troisième par $m$, qui n’est pas divisible par $p,$ on obtient $mr^{2}-m\alpha \equiv {\pmod {p^{\mu +\nu \,;}}}$ or en prenant un nombre $e$ tel qu’on ait $2mer\equiv -n'{\pmod {p}}$, il en résulte $na\equiv -2merup^{\mu +\nu -1}{\pmod {p^{\mu +\nu }}},$ et partant on tire facilement de là et de la congruence précédente, après avoir divisé par $m,$

   	$\alpha$	$\equiv r^{2}+2er\mu p^{\mu +\nu -1}$	${\pmod {p^{\mu +\nu }}}$
   ou enfin	$\alpha$	$\equiv \left(r+eup^{\mu +\nu -1}\right)^{2}-e^{2}u^{2}p^{2\mu +2\nu -2}$
   		$\equiv \left(r+p^{\mu +\nu -1}\right)^{2}$	${\pmod {p^{\mu +\nu }}}$

   (Note du traducteur.)
6. D’autant plus que, généralement parlant, de six nombres il y en a à peine un qui soit non-divisible par tous les nombres $2$, $3$, $5$,……$19$.
7. Si le produit de tant de nombres $r$, $r'$, $r''$, etc. qu’on voudra est un quarré, un quelconque d’entre eux, $r$ par exemple, sera résidu de tout nombre dont les autres seront résidus. Ainsi, pour que les résidus soient indépendans, il faut que leurs produits ne puissent être des quarrés, soit quon les prenne deux à deux, ou trois à trois, ou quatre à quatre, etc.
8. L’auteur a construit pour son propre usage une grande partie de l’appareil de cette table, et il l’aurait publié volontiers, si le petit nombre de ceux auxquels elle serait utile, suffisait aux frais d’une telle entreprise ; cependant si quelque amateur, après s’être bien pénétré des principes, desirait se construire une pareille table, l’auteur se ferait un grand plaisir de lui communiquer, par lettres, les différens procédés et les artifices que l’on peut employer.
9. Comme le cas où $M$ est divisible par $3$, ne peut se présenter (n^o 329), il est aisé de voir que l’on est même toujours maître de prendre $k$ tel que $kM$ soit $\equiv 2{\pmod {3}}$. (Note du traducteur).