Recherches arithmétiques/Section sixième



SECTION SIXIÈME.


Applications des différentes Recherches précédentes.


308. Nous avons déjà indiqué en différens endroits combien l’arithmétique transcendante peut être utile dans les autres parties des mathématiques. Mais nous ne croyons pas inutile de traiter à part quelques applications qui méritent d’être exposées avec plus de détail, non dans la vue d’épuiser ce sujet, qui suffirait pour remplir plusieurs volumes, mais pour l’éclaircir par quelques exemples.

Dans cette Section, nous parlerons d’abord de la décomposition des fractions en fractions plus simples ; ensuite, de la conversion des fractions ordinaires en fractions décimales ; nous exposerons une nouvelle méthode d’exclusion, qui sert à la résolution des équations indéterminées du second degré ; enfin, nous donnerons de nouvelles méthodes abrégées, pour distinguer les nombres premiers des nombres composés, et trouver les facteurs de ces derniers.

Dans la Section suivante, nous établirons la théorie générale d’une espèce particulière de fonctions, qui s’étend très-loin dans toute l’analyse, et qui est intimement liée à l’arithmétique transcendante ; nous nous attacherons surtout à agrandir la théorie des sections du cercle, dont jusqu’à présent on n’a connu que les premiers élémens.

309. Problème. Décomposer la fraction dont le dénominateur est le produit de deux nombres et premiers entre eux, en deux autres dont les dénominateurs soient et

Soient , les fractions cherchées ; on doit avoir  ; donc sera racine de la congruence , et par-conséquent peut se trouver par la Section II : on aura d’ailleurs .

Au reste, on sait que la congruence a une infinité de racines, mais toutes congrues suivant , et il peut arriver que acquière une valeur négative. Il est à peine nécessaire de dire que l’on peut aussi trouver par la congruence , et par l’équation .

Par exemple, étant proposée la fraction , sera valeur de l’expression  ; donc se décompose en .

310. Si l’on propose une fraction dont le dénominateur soit le produit de tant de facteurs , , , , etc. qu’on voudra, qui soient premiers entre eux, on pourra, par le no précédent, la décomposer d’abord en deux fractions dont les dénominateurs soient et , etc., ensuite la dernière en deux dont les dénominateurs soient et , etc., et ainsi de suite, desorte que la fraction proposée sera mise sous la forme


Il est évident que l’on pourra toujours prendre les numérateurs , , , , etc. positifs et plus petits que leurs dénominateurs respectifs, excepté le dernier, qui n’est plus arbitraire, lorsque les autres sont déterminés, et peut être négatif et plus grand que son dénominateur (si du moins nous ne supposons pas ) Alors, le plus souvent, il sera avantageux de mettre la dernière fraction sous la forme , de manière que soit positif et moindre que , et que soit un entier.

Exemple. La fraction , dont le dénominateur , se décompose de cette manière en  ; en  ; en  ; donc mettant pour , il vient enfin


311. La fraction ne peut se mettre que d’une seule manière sous la forme , de manière que , , etc. soient positifs et moindres que , , etc., c’est-à-dire que si l’on supposait


on aurait nécessairement , etc. \ , tant que , , , etc. seront positifs et plus petits que , , , etc. En effet, en multipliant par , etc., on a , etc., , et comme etc. est premier avec , il s’ensuit nécessairement , et partant  ; de même , etc., et parconséquent . Or comme il est absolument arbitraire par quel dénominateur commence le calcul, il est évident que tous les numérateurs peuvent être cherchés comme dans le no précédent, par exemple, par la congruence , etc. , par la congruence , etc. , etc. La somme de toutes les fractions ainsi calculées, sera égale à la proposée, ou la différence sera un nombre entier , ce qui nous donne un moyen de confirmer le calcul.

Ainsi dans l’exemple du no précédent, les valeurs des expressions


donnent les numérateurs , , , , qui répondent aux dénominateurs , , et l’on trouve que la somme de ces fractions surpasse d’une unité la fraction proposée.

312. Définition. Si l’on convertit une fraction ordinaire en fraction décimale, la suite de figures décimales[1] (en excluant la partie entière, s’il y en a), soit finie, soit infinie, s’appellera mantisse de la fraction, en prenant ici dans une acception plus générale une expression qui n’était jusqu’à présent usitée que pour les logarithmes. Ainsi, par exemple, la mantisse de la fraction est , la mantisse de la fraction est , celle de la fraction est à l’infini.

Il suit de là sur-le-champ, que deux fractions , de même dénominateur ont des mantisses égales ou différentes, suivant que les numérateurs , sont congrus ou incongrus suivant . Une mantisse finie ne change pas lorsqu’on ajoute plusieurs zéros à sa droite. La mantisse de la fraction s’obtient en retranchant la première figure de la mantisse de la fraction , et généralement, la mantisse de la fraction se trouve en retranchant les premières figures de la mantisse de la fraction . La mantisse de la fraction commence par un chiffre significatif, si ou  ; mais si , et que le nombre de ses chiffres soit , les premières figures de la mantisse seront des zéros, et la ième un chiffre significatif. Il suit de là que si et ont des mantisses différentes, c’est-à-dire, si et sont incongrus suivant , ces mantisses ne peuvent avoir les premiers chiffres égaux, et qu’elles diffèrent au moins dans le ième.

313. Problème. Étant donné le dénominateur d’une fraction et les premières figures de sa mantisse, trouver le numérateur que nous supposons plus petit que

Considérons ces figures comme un nombre entier ; multiplions-le par et divisons le produit par en en retranchant les premières figures ; si le quotient est entier, c’est-à-dire, si les chiffres retranchés sont des zéros, ce sera évidemment le numérateur cherché, et la mantisse donnée sera complète, sinon le numérateur cherché sera l’entier immédiatement plus grand, ou ce quotient augmenté de l’unité, lorsqu’on en aura retranché la partie décimale. La raison de cette règle se tire si facilement des observations que nous avons faites à la fin du no précédent, qu’il n’y a pas besoin de plus grands développemens.

Exemple. Si l’on sait que sont les deux premières figures de la mantisse de la fraction dont le dénominateur est , on a le produit  ; retranchant les deux derniers chiffres, et ajoutant l’unité, on trouve pour le numérateur cherché.

314. Considérons d’abord les fractions dont les dénominateurs sont des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers ; nous ferons voir ensuite comment on peut y ramener les autres. Nous commencerons par observer que la mantisse d’une telle fraction , dans laquelle nous supposons que le numérateur ne soit pas divisible par le nombre premier , est toujours finie lorsque , ou , et qu’elle est composée de chiffres. Dans le premier cas, cette mantisse, considérée comme un nombre entier, sera  ; dans le second, . Ces vérités sont si évidentes, qu’il est inutile de s’y arrêter.

Mais si est un autre nombre premier, ne sera jamais divisible par quel que grand que l’on prenne  ; d’où il suit que la mantisse de la fraction est nécessairement infinie. Supposons que soit la plus petite puissance de qui soit congrue à l’unité, suivant le module (V. Section III, où nous avons fait voir que est égal à , ou à une partie aliquote de ce nombre), on voit facilement que est le premier nombre de la suite , , , etc. qui soit congru avec , suivant le même module. Or comme, par le no 312, les mantisses des tractions , , , etc. resultent de celle de la fraction en supprimant le premier chiffre, les deux, trois, etc. premiers chiffres, il est évident que dans cette mantisse, après les premiers chiffres, et non auparavant, les mêmes chiffres reparaîtront dans le même ordre. Ces premiers chiffres qui, répétés à l’infini, forment la mantisse, peuvent être nommés période de cette mantisse ou de la fraction, et il est clair que la grandeur de la période, c’est-à-dire le nombre des chiffres qui la composent, qui est , est tout-à-fait indépendant du numérateur et que le dénominateur seul le détermine. Ainsi, par exemple, la période de la fraction est , celle de la fraction est [2].

315. Ainsi, dès que l’on connaît la période d’une fraction, on peut obtenir la mantisse avec autant de figures qu’on voudra ; d’ailleurs il est clair que si l’on a , on obtient la période de la fraction , si (en supposant, comme il est toujours permis, que ) on écrit les premiers chiffres de la période de la fraction après les qui restent, et parconséquent lorsqu’on a la période de la fraction , on a en même temps celles de toutes les fractions dont les numérateurs sont congrus aux nombres , , , etc., suivant le module . Ainsi, par exemple, comme , la période de la fraction se trouve au moyen de la période de la fraction  ; elle est .

Donc toutes les fois que, pour le module , le nombre est une racine primitive (nos 57 et 89), on peut, de la période de la fraction , déduire sur-le-champ la période de toute autre fraction , n’étant pas divisible par , en retranchant à gauche pour écrire à droite, autant de chiffres qu’il y a d’unités dans l’indice du nombre , étant pris pour base. On voit par là pourquoi, dans la Table I, nous avons toujours pris pour base, quand la chose était possible.

Mais quand n’est pas racine primitive, on ne peut tirer de la période de la fraction que celles des fractions dont les dénominateurs sont congrus, suivant , à quelque puissance de . Soit la plus petite puissance de congrue à l’unité, suivant le module , faisons et prenons (no 71) pour base une racine primitive telle que soit l’indice du nombre . Dans ce système, les numérateurs des fractions dont les périodes peuvent se tirer de la période de la fraction , auront pour indices


De la même manière, on peut déduire de la période de la fraction , celles des fractions dont les numérateurs répondent aux indices


De la période de la fraction dont le numérateur est (l’indice en est ), on déduira celles des fractions dont les numérateurs ont pour indices


Et généralement, de la période de la fraction dont le numérateur est , on déduira celles des fractions dont les numérateurs ont pour indices


On conclura facilement de là que si l’on connaît seulement les périodes des fractions qui ont pour numérateurs


on peut tirer toutes les autres par la seule transposition, à l’aide de la règle suivante : Soit l’indice du numérateur de la fraction proposée , dans le système où est pris pour base, nous supposons  ; on fera, en divisant par , , de manière que , soient des entiers positifs, ou même , et qu’on ait . Cela posé, la période de la fraction naîtra de celle de la fraction dont le numérateur est (et partant , quand ) en plaçant les premiers chiffres après les autres (et conservant parconséquent cette période elle-même, quand ). Ce qui précède suffit pour faire voir pourquoi, en formant la Table I, nous avons suivi la règle exposée no 72.

316. Nous avons construit, d’après ces principes, pour tous les dénominateurs de la forme au-dessous de , une Table des périodes nécessaires, que nous donnerons en entier, et même continuée plus loin à la première occasion qui se présentera. Nous plaçons ici la Table III, pour en donner une idée ; elle ne va que jusqu’à , et elle a à peine besoin d’explication.

Pour les dénominateurs à l’égard desquels est racine primitive, elle donne les périodes des fractions dont le numérateur est , par exemple pour les nombres :


pour les autres, les périodes qui répondent aux numérateurs , , , …, périodes qui sont distinguées par les nombres , , , etc. ; on a toujours pris la même base que dans la Table I. À l’aide de cette Table et de ce qui a été enseigné dans le no précédent, on peut trouver la période d’une fraction quelconque, pourvu que son dénominateur soit contenu dans cette Table, et que l’on ait calculé l’indice du numérateur au moyen de la Table I. Au reste, pour des dénominateurs aussi petits, on peut se passer de la Table I, en calculant par la division arithmétique autant de chiffres de la mantisse cherchée, qu’il est nécessaire, d’après le no 313, pour la distinguer de toute autre du même dénominateur (pour la Table III, il n’en faut jamais plus de deux), et en parcourant les différentes périodes qui répondent au dénominateur donné, jusqu’à ce que nous soyons parvenus à ces chiffres initiaux, qui indiqueront sûrement le commencement de la période. Il faut cependant avertir que ces chiffres peuvent être séparés de manière que le premier, ou plusieurs, forment la fin de la période, et l’autre ou les autres la commencent.

Exemple. On demande la période de la fraction . La Table I donne, pour la base , (no 57). Donc, comme dans ce cas il n’y a qu’une seule période qui répond au numérateur, il faut transporter à la fin les trois premiers chiffres, ce qui donne . Les deux premiers chiffres auraient fait trouver aussi facilement le commencement de la période.

Si l’on demande la période de la fraction , on trouve pour le module ,  ; le nombre des périodes est ici, , et l’on a  ; donc il faut à la période désignée par transposer les douze premiers chiffres, et l’on trouve pour la période cherchée. Les chiffres initiaux sont dans ce cas séparés dans la Table.

Nous observerons encore, qu’à l’aide de la Table III on peut trouver un nombre qui, pour un module donné, contenu dans cette Table, dans la colonne des dénominateurs, réponde à un indice donné, ainsi que nous l’avons promis no 59 : il suit en effet de ce que nous avons dit plus haut, que l’on peut trouver la période d’une fraction au numérateur de laquelle réponde un indice donné, quoique ce numérateur soit inconnu ; il suffit de prendre de cette période autant de chiffres initiaux qu’il y a de chiffres au dénominateur, et par le no 313, on trouvera, à l’aide de ces chiffres, le numérateur, ou le nombre cherché qui répond à l’indice donné.

317. On peut par ce qui précède trouver sans calcul la mantisse d’une fraction quelconque, dont le dénominateur est un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier compris entre les limites de la Table. Mais, à l’aide des recherches que nous avons faites au commencement de cette Section, l’usage de cette Table devient bien plus étendu, et elle renferme même les fractions dont les dénominateurs sont des produits de nombres premiers ou de puissances de nombres premiers. En effet, une pareille fraction peut se décomposer en d’autres dont les dénominateurs soient ces facteurs, et ces dernières peuvent être converties en fractions décimales, avec tel degré d’approximation qu’on voudra ; ainsi il ne reste qu’à les réunir par l’addition. Il est à peine nécessaire d’observer que le dernier chiffre de la somme pourra se trouver un peu plus petit qu’il ne devrait être ; mais il est évident que l’erreur ne peut monter à autant d’unités qu’il y a de fractions à ajouter ; ainsi il conviendra de calculer ces dernières avec quelques figures de plus qu’on n’en veut avoir à la fraction proposée.

Considérons, comme exemple, la fraction

[3],

dont le dénominateur est le produit des nombres , , , , , , .

On trouve par ce qui précède


ces fractions particulières réduites en décimales, donnent

_ _
_______________________________________


L’erreur en moins de cette somme, comparée, à la valeur exacte, est moindre que cinq unités du vingt-deuxième ordre, donc les vingt premiers chiffres sont exacts. En poussant le calcul à un plus grand nombre de décimales, au lieu des deux derniers chiffres , on trouve . Au reste, chacun sentira bien, même sans que nous en avertissions, que cette méthode de réduire les fractions ordinaires en fractions décimales, est principalement applicable au cas où l’on veut avoir un grand nombre de chiffres ; car, s’il suffit d’un petit nombre, la division ou les logarithmes peuvent être souvent employés avec autant d’avantage.

318. Comme nous avons ramené les fractions dont le dénominateur est composé de plusieurs nombres premiers différens, au cas où le dénominateur est un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier, il ne nous reste qu’à ajouter quelque chose sur la mantisse de ces fractions. Si le dénominateur ne renferme ni le facteur ni le facteur , la mantisse sera encore composée de périodes, parceque, pour ce cas, on parviendra aussi à un terme de la suite , , , etc. qui soit congru à l’unité, suivant le dénominateur, et l’exposant de ce terme, que l’on peut déterminer par le no 92, indiquera la grandeur de la période, qui est indépendante du numérateur, tant que la fraction est irréductible.

Mais si le dénominateur est de la forme , étant un nombre premier avec , et des nombres qui ne peuvent être zéro à-la-fois, la mantisse deviendra périodique après les ou premiers chiffres, suivant que ou est le plus grand ; ces périodes seront composées d’autant de chiffres que celles des fractions dont le dénominateur est . Ceci se déduit facilement de ce que la fraction proposée peut se décomposer en deux autres dont les dénominateurs soient et N, et dont la première sera interrompue après les ou premiers chiffres.

Au reste, nous pourrions ajouter encore beaucoup d’autres observations sur ce sujet, surtout à l’égard des artifices au moyen desquels on peut construire avec une grande facilité la Table III ; mais, forcés d’abréger, nous les omettons d’autant plus volontiers qu’une grande partie a été publiée tant par Robertson que par Bernoulli (Nouv. Mém. de l’Acad. de Berlin, 1771).

319. Nous avons traité (no 146) de la possibilité de la congruence , qui revient à l’équation indéterminée , de manière à ce qu’il semble qu’on ait rien à desirer ; mais pour la recherche de l’inconnue elle-même, nous avons déjà observé (no 151) que les méthodes indirectes étaient de beaucoup préférables aux méthodes directes. Si est un nombre premier, cas auquel les autres se ramènent facilement, la Table des indices I, combinée avec la Table III, suivant l’observation du no 316, peut être employée à cette fin, comme nous l’avons fait voir plus généralement (no 60) ; mais cette méthode ne s’étendrait qu’aux nombres compris dans les Tables ; c’est pourquoi nous espérons que la méthode suivante, par sa généralité et sa brièveté, ne déplaira pas aux amateurs de l’Arithmétique.

Observons avant tout qu’il suffit de connaître les valeurs de qui sont positives et non plus grandes que , puisque toute autre valeur sera congrue à l’une de celles-là, prise positivement ou négativement. Or, pour une telle valeur de , celle de est nécessairement contenue entre les limites et . Ainsi une méthode qui s’offre d’elle-même, consisterait à calculer la valeur de , pour toutes les valeurs de comprises entre ces limites, et dont nous désignerons l’ensemble par , en ne retenant que celles qui rendraient un quarré. Quand est petit, le nombre des essais est si peu considérable qu’il n’est presque pas nécessaire de chercher à l’abréger ; mais quand est grand, on peut diminuer le travail autant qu’on voudra, par la méthode d’exclusion suivante.

320. Soit un nombre entier arbitraire et plus grand que soient aussi etc. tous ses non-résidus quadratiques différents, c’est-à-dire, incongrus suivant  ; enfin etc. les racines des congruences

,——, ——, etc.


que l’on peut prendre toutes positives et plus petites que  ; si l’on donne à une valeur congrue, suivant le module , à l’un des nombres , , , etc., la valeur de qui en résultera sera congrue à l’un des nombres , , , etc., et sera parconséquent non-résidu de  ; partant elle ne pourra être un quarré. Par là, on peut donc rejeter sur-le-champ, de , tous les nombres inutiles qui sont contenus sous les formes

,——, ——, etc.,


et il suffira d’essayer les autres, dont nous représenterons l’ensemble par . Dans cette opération, nous pouvons donner au nombre le nom d’excluant.

En prenant pour excluant un autre .nombre convenable , on trouvera de la même manière autant de nombres , , , etc. qu’il y a de non-résidus différens, et auxquels ne peut être congru suivant le module . On peut donc encore rejeter de tous les nombres compris sous les formes

,——, ——, etc.


On peut continuer de cette manière les exclusions, jusqu’à ce que le nombre des valeurs soit tellement diminué, qu’il ne paraisse pas plus difficile d’essayer directement celles qui restent, que d’entreprendre de nouvelles exclusions.

Exemple. Soit proposée l’équation  ; les limites des valeurs de sont et  ; donc, comme la valeur zéro est évidemment inutile, comprendra les nombres , , . Pour , il n’y a qu’un non-résidu , qui donne  ; il faut donc exclure de les nombres de la forme , et il en reste  ; de même pour , on a , , d’où ,  ; on doit donc rejeter les nombres de la forme et , ceux qui restent sont au nombre de huit : Ensuite pour on doit rejeter tous les nombres et et il reste , , , . L’excluant ferait rejeter les nombres de la forme qui ont déjà disparu, comme étant de la forme L’excluant fait rejeter les nombres des formes et laisse En les substituant pour , ces nombres donnent , valeurs dont la seconde seule est un quarré. Ainsi

321. Puisque l’opération entreprise avec l’excluant rejette des valeurs de correspondantes aux valeurs de comprises dans , toutes celles qui sont non-résidus quadratiques de , tandis qu’elle n’atteint pas les résidus, on voit facilement que l’usage des excluans et ne présente aucune différence, lorsque est un nombre impair, car dans ce cas et ont les mêmes résidus et les mêmes non-résidus. Il suit de là que si l’on emploie successivement les nombres , , , etc., les nombres impairement pairs, tels que , , , etc. doivent être négligés comme superflus. Il est encore évident que la double opération entreprise avec les excluans et rejette les valeurs de qui sont non-résidus des deux excluans ou de l’un d’eux seulement, desorte que celles qui sont résidus de l’un et de l’autre restent seules. Or comme dans le cas où et sont premiers entre eux, tous les nombres rejetés sont non-résidus de , et tous les nombres conservés en sont résidus ; il est clair que l’usage de l’excluant est le même que celui des deux excluans et et que parconséquent il est superflu. On peut donc passer tous les excluans qui peuvent se décomposer en deux facteurs premiers entre eux, et parconséquent n’employer que ceux qui sont des nombres premiers, non-diviseurs de , ou des puissances dénombrés premiers. Enfin, après avoir employé l’excluant , étant un nombre premier, l’emploi de l’excluant ou , étant , devient superflu ; car ne conservant des valeurs de que celles qui sont ses propres résidus, on est sûr, à plus forte raison, qu’il ne restera plus de non-résidus de , ni d’aucune autre puissance moindre que . Mais si ou a été employé avant , ce dernier ne peut rejeter que les valeurs de qui seraient résidus de et non-résidus de  ; donc il suffirait de prendre pour , , , etc. ces non-résidus de .

322. Le calcul des nombres , , , etc. qui répondent à un excluant quelconque donné , s’abrège beaucoup par les observations suivantes. Soient , , , etc. les racines des congruences , , , etc. , et la racine de la congruence , on aura , , etc. S’il fallait effectivement trouver , , , etc. par la résolution de ces congruences, ce procédé ne serait pas plus abrégé que celui que nous avons indiqué plus haut ; mais cela n’est point nécessaire. En effet, si d’abord est un nombre premier, et que soit résidu quadratique de , il est clair, par le no 98, que , , , etc., qui sont les valeurs des expressions , , , etc. , sont les non-résidus différents de , et par conséquent coïncident avec , , , etc., abstraction faite de l’ordre, qui n’est ici d’aucune importance ; mais si, dans la même hypothèse, est non-résidu de , les nombres , , , etc. coïncideront avec les résidus quadratiques de , zéro excepté.

Si E est le quarré d’un nombre premier impair , et que ait déjà été employé comme excluant, il suffit, par le no précédent, de prendre pour , , , etc. les non-résidus de qui sont résidus de , c’est-à-dire, les nombres , , , … , (ou tous les nombres au-dessous de qui sont divisibles par , zéro excepté) ; on voit par-là qu’on doit trouver pour , , , etc. absolument les mêmes nombres, disposés seulement d’une autre manière. De même, si après l’emploi des excluans et on fait il suffira de prendre pour , , , etc. les produits de chaque non-résidu de par , et de là on tirera pour , , , etc., ou les mêmes nombres, ou les produits de par chacun des résidus de , zéro excepté, suivant que est résidu ou non-résidu de . Généralement, si l’on prend , toutes les puissances inférieures de ayant été employées, on trouvera pour , , , etc. les produits de , par tous les nombres moindres que , zéro toujours excepté, quand est pair, ou par tous les non-résidus de moindres que , quand est impair et , ou par tous les résidus, quand .

Si partant , , on a pour et , et ou et , suivant que ou . Si après avoir employé , on fait , on a  ; donc est , , , , suivant que , , , . Généralement, si , les puissances inférieures étant déjà employées, on doit poser , , quand est pair, d’où il résulte , ou suivant que ou  ; mais quand est impair, on doit poser , d’où il vient égal au produit de par , , ou , suivant que , , ou .

Au reste, les gens instruits trouveront facilement la manière de rejeter mécaniquement les valeurs inutiles de , après qu’on aura calculé les valeurs de , , , etc. pour tant d’excluans qu’il paraîtra nécessaire; mais nous ne pouvons nous y arrêter, ni aux autres artifices par lesquels on peut abréger le travail.

323. Toutes les représentations d’un nombre donné par la forme binaire , où les solutions de l’équation indéterminée , peuvent être trouvées par la méthode exposée Section V, qui semble ne rien laisser à desirer du côté de la brièveté, si l’on a les différentes valeurs de l’expression , suivant le module et suivant divisé par ses différens facteurs quarrés. Mais nous allons donner ici, pour le cas où mn est positif, une solution beaucoup plus abrégée que la solution directe, lorsqu’il faut pour cette dernière calculer les valeurs dont nous venons de parler. Nous supposerons que les nombres , , soient positifs et premiers entre eux, parceque les autres cas se ramènent facilement à celui-là. Il suffit encore évidemment de trouver les valeurs positives de , , puisque les autres s’en déduisent par un simple changement de signe.

Il est clair que doit être tel que , que nous désignerons par soit positif, entier et quarré. La première condition exige que ne soit pas plus grand que  ; la seconde a lieu par elle-même quand , autrement elle exige que la valeur de l’expression soit résidu quadratique de et qu’en désignant les diverses valeurs de l’expression par , , etc., soit compris sous une des formes :

,——, ——,——, ——etc.


Ainsi, il serait très-simple de substituer à la place de tous les nombres de ces formes et moindres que nombres dont nous représenterons l’ensemble par , et de ne retenir que ceux qui rendraient un quarré. Nous allons donner dans le no suivant le moyen d’abréger le nombre de ces essais autant que l’on voudra.

324. La méthode d’exclusion à l’aide de laquelle nous y parviendrons, consiste, comme la précédente, à prendre à volonté plusieurs nombres, que nous appellerons encore excluans, à chercher quelles sont les valeurs de pour lesquelles devient non-résidu quadratique de ces excluans, et à rejeter de ces valeurs de . On verra absolument de la même manière qu’au no 321, que l’on ne doit employer pour excluans que des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers, et que, pour un excluant du dernier genre, il n’y a plus à rejeter des valeurs de que les non-résidus qui sont résidus de toutes les puissances inférieures du même nombre premier, si toutefois on a déjà employé ces différentes puissances.

Soit donc l’excluant ( pouvant être ), où est un nombre premier qui ne divise pas , et supposons que soit la plus haute puissance de qui puisse diviser [4]. Soient , , , etc. les non-résidus quadratiques de (tous, quand , mais ceux seulement qui sont résidus des puissances inférieures, quand ). On cherchera les racines des congruences , , , etc. , que nous désignerons par , , , etc. ; et l’on voit facilement que si, pour une valeur de  ; on a , la valeur correspondante de sera , c’est-à-dire, non-résidu de , et de même pour , , etc. On voit aussi facilement, que si une valeur de rend , la même valeur rendra , et que parconséquent toutes les valeurs de pour lesquelles n’est congru à aucun des nombres , , , etc., suivant le module , produisent des valeurs de qui ne sont congrues à aucun des nombres , , , etc., suivant le module . Cela posé, on choisira parmi les nombres , , , etc. tous ceux qui sont résidus quadratiques de , et les nommant , , , etc. on calculera les valeurs des expressions , , , etc. , que nous désignerons par , , , etc. Il est évident que l’on peut rejeter de toutes les formes

,——, ——,——etc.


et qu’aucune des valeurs de qui resteront ne peuvent répondre à une valeur de qui soit de la forme

,——, ——,——etc.


Au reste il est manifeste qu’aucune valeur de ne peut donner de telles valeurs de , quand aucun des nombres , , , etc. n’est résidu quadratique de , et que, dans ce cas, le nombre ne peut pas être employé comme excluant.

On peut employer ainsi autant d’excluans qu’on voudra, et parconséquent diminuer à volonté le nombre des valeurs de à essayer.

Examinons maintenant si l’on ne pourrait pas employer comme excluans des nombres premiers diviseurs de , et des puissances de ces nombres. Soit la valeur de l’expression , il est clair que l’on a toujours , quelque valeur que l’on prenne pour et que parconséquent pour que l’équation proposée soit possible, il est nécessaire que soit résidu quadratique de . Ainsi, désignant un diviseur quelconque premier impair de , qui, par hypothèse, ne doit diviser ni , ni , ni parconséquent  ; sera résidu de pour une valeur quelconque de , et partant, ni ses puissances ne peuvent être pris pour excluans.

Par une raison semblable, quand est divisible par , il est nécessaire que l’on ait , pour que l’équation proposée soit possible ; donc pour une valeur quelconque de , on aura , et partant, les puissances de ne peuvent servir d’excluans.

Quand est divisible par et non par , on doit par la même raison avoir , et parconséquent la valeur de l’expression est ou  ; désignons-la par . Il est facile de voir que, pour une valeur paire de on a et pour une valeur impaire ; d’ou il suit que l’on doit rejeter les valeurs paires quand , et les valeurs impaires quand .

Enfin, quand est divisible par et non par , soit encore la valeur de l’expression , qui sera , , ou , et la valeur de l’expression , qui sera ou . Comme la valeur de est toujours , et partant , si est pair, et , si est impair ; il est clair qu’on doit rejeter toutes les valeurs impaires de , lorsque  ; toutes les valeurs paires, quand et , et quand et , et que les valeurs conservées donnent toutes , c’est-à-dire, résidu de toute puissance de . Quant aux autres cas, savoir, lorsque ou et , lorsque et , on trouve , ou , soit que soit pair, soit qu’il soit impair, d’où il résulte évidemment que, dans ces cas, l’équation proposée n’admet aucune solution.

Au reste, comme après les changemens convenables, on peut chercher la valeur de de la même manière que nous avons cherché celle de , on peut appliquer de deux manières la méthode d’exclusion au problème proposé (excepté dans le cas où ) ; on doit préférer celle pour laquelle contient un moindre nombre de termes, circonstance dont on peut facilement juger a priori.

Enfin, il est à peine nécessaire d’observer, que si après quelques exclusions, tous les nombres de disparaissent, on en doit conclure que l’équation proposée est impossible.

325. Exemple. Soit l’équation


que nous résoudrons de deux manières, en cherchant d’abord les valeurs de , et ensuite celles de .

1o. La limite des valeurs de est, dans ce cas, , qui tombe entre et  : la valeur de l’expression est et les valeurs de l’expression sont

,——, ——, ——


d’où il résulte que contient les trente-trois nombres suivans :


Le nombre ne peut être employé ici comme excluant, parcequ’il divise .

Pour l’excluant , on a , , d’où , ,  ; les valeurs de sont et  ; il suit de là que tous les nombres des formes et , c’est-à-dire, tous les nombres pairs, doivent être rejetés. Désignons par les seize qui restent.

Pour , les racines des congruences , sont et , qui sont toutes deux résidus de  ; les valeurs des expressions et sont et  ; ainsi rejetant les nombres des formes , , ceux qui restent sont au nombre de dix :

…(ω'')


Pour , les racines des congruences

,,


sont qui sont toutes résidus de  ; les valeurs des expressions sont  ; en rejetant de les nombres de la forme

,——, ——


il reste les cinq suivans :

…………(ω''')


Pour , on a , d’où qui est non-résidu de  ; ainsi l’excluant ne peut être employé. Le nombre doit être passé, par la même raison que le nombre .

Pour , les nombres , , etc. sont , , , , , et  ; donc les nombres , , etc. sont , , , , , parmi lesquels , et sont seuls résidus de  ; de là on conclut que l’on doit rejeter de ωα les nombres de la forme

,——, ——


Il reste , ,  ; en essayant ces nombres, ils donnent pour les valeurs

,——, ——


dont le second et le troisième seuls sont des quarrés. Donc l’équation proposée admet deux solutions par des valeurs positives de , .

,—— ; ——,——

2o. Si l’on veut chercher par exclusion l’autre inconnue de cette équation, on la mettra sous la forme


en échangeant et afin de conserver la notation des nos 323, 324.

La limite des valeurs de tombe ici entre et  ; la valeur de l’expression est , et les valeurs de sont et  ; donc contient tous les nombres des formes et , c’est-à-dire tous les nombres non-divisibles par , jusqu’à exclusivement ; il y en a cent trois. En appliquant les règles données précédemment, on trouve que

pour les excluans —— on doit rejeter les nombres de la forme
, c’est-à-dire les nombres pairs,


Après avoir effacé ces différens nombres, il reste , , , dont les deux premiers seuls rendent un quarré, et donnent les mêmes solutions que la première méthode.

326. La méthode précédente est déjà si expéditive en elle-même, qu’elle laisse à peine quelque chose à desirer ; cependant elle peut encore être beaucoup abrégée par un grand nombre d’artifices, sur lesquels nous ne pouvons nous arrêter que légèrement. Ainsi nous réduirons nos recherches au cas où l’excluant est un nombre premier impair qui ne divise pas , ou une puissance d’un tel nombre, d’autant plus que les autres cas peuvent se ramener à celui-ci, ou être traités d’une manière analogue.

Supposons d’abord que l’excluant soit un nombre premier qui ne divise ni ni , et représentons par , , , , etc. les valeurs des expressions

,——, ——, ——, ——etc.—— ;


respectivement : les nombres , , , etc. se trouveront par les congruences

,——, ——, .


Or les nombres , , , etc. peuvent être déterminés par un artifice absolument semblable à celui dont nous nous sommes servis au no 322, sans résoudre les congruences, et ils coïncideront, soit avec tous les non-résidus, soit avec les résidus de (zéro excepté), suivant que la valeur de l’expression , ou, ce qui revient au même, suivant que le nombre est résidu ou non-résidu de . Ainsi, dans l’exemple 2 du no précédent, pour , on a  ; est non-résidu de  ; donc les nombres , , etc. sont , , , , , , , , et partant, les nombres , , etc. sont , , , , , , , . Parmi ces derniers, , , et sont résidus, d’où l’on tire , , etc. , , ,

Ceux qui auront fréquemment occasion de résoudre ce problème, gagneront beaucoup à calculer pour plusieurs nombres premiers , les valeurs de , , etc. correspondantes aux différentes valeurs de , dans la double supposition où est résidu, et où il est non-résidu de . Au reste, nous observerons encore qu’il y a toujours nombres etc. quand et sont tous deux résidus, ou tous deux non-résidus de  ; , quand le premier est résidu et le second non-résidu ; , quand le premier est non-résidu et le second résidu. Mais, pour éviter la prolixité, nous supprimons la démonstration de ce théorème.

Quant à ce qui regarde les cas où est un nombre premier qui divise , ou une puissance d’un nombre premier impair qui divise ou ne divise pas , nous allons voir qu’ils peuvent être employés d’une manière encore plus expéditive. Nous traiterons tous ces cas ensemble, et conservant la notation du no 324, nous ferons , desorte que ne soit plus divisible par . Les nombres etc. seront les produits du nombre par tous les nombres moindres que , zéro excepté, et par tous les non-résidus de plus petits que suivant que est pair ou impair ; exprimons les indéfiniment par . Soit une valeur de l’expression , il ne sera pas divisible par , puisque ne l’est pas ; en outre il est clair que , , , etc. sont congrus à suivant le module , et que partant n’exclut aucun des nombres , si mais si et partant , soit la valeur de l’expression , qui ne sera pas divisible par , et la valeur de l’expression on aura , d’où l’on conclut facilement que est résidu de , et que les valeurs de l’expression sont  ; donc tous les nombres etc, seront exprimés par la formule [5].

Il est facile de conclure de là que les nombres , , , etc. se composent de ajouté aux produits du nombre par tous les nombres au-dessous de , zéro excepté, quand est pair ; ou par tous les non-résidus de , quand est impair et que , ou, ce qui est la même chose, que  ; ou par tous les résidus de , quand est impair, et que .

Au reste, à mesure que l’on aura trouvé les nombres , , , etc. pour chacun des excluans que l’on voudra employer, on pourra exécuter l’exclusion par des opérations mécaniques, qu’on découvrira facilement de soi-même, avec un peu d’habitude, si on le trouve avantageux.

Nous devons observer enfin que toute équation , dans laquelle est négatif et , peut être facilement ramenée à la forme que nous avons considérée dans ce qui précède. Désignons en effet par le plus grand commun diviseur des nombres et , et posons

,——, ——


il en résulte l’équation , des solutions desquelles on ne doit conserver que celles dans lesquelles est divisible par , ou qui donnent des valeurs entières de .

327. La solution directe de l’équation , contenue dans la Section V, suppose que l’on connaisse les valeurs de l’expression  ; mais réciproquement, pour le cas où est négatif, la solution indirecte exposée dans les nos précédens fournit, pour trouver ces valeurs, une méthode très-expéditive, qui est bien préférable à celle du no 322, surtout quand est un très-grand nombre. Nous supposerons que est nombre premier, ou du moins, s’il est composé, que ses facteurs sont encore inconnus ; en effet, si l’on savait que fût divisible par un nombre premier , et que l’on eût , de manière que ne renfermât plus le facteur , il serait bien plus commode de chercher séparément les valeurs de pour les modules et (en déduisant les premières des valeurs pour le module (no 101)), et d’en conclure, par la combinaison, les valeurs pour le module (no 105).

Il faut donc chercher les valeurs de , où et sont supposés positifs, et contenu sous la forme des diviseurs de (no 147 et suivans) ; en effet, autrement il serait évident qu’aucun nombre ne satisferait à l’expression proposée. Soient , , , etc. les valeurs cherchées qui seront toujours opposées deux à deux, et

,——, ——


désignons par , , , , , , etc. les classes auxquelles appartiennent les formes , , , , , , etc., et par Γ l’ensemble de ces classes. Généralement parlant, ces classes doivent être regardées comme inconnues ; cependant il est clair, 1o. qu’elles sont toutes positives et proprement primitives ; 2o. qu’elles appartiennent toutes à un même genre, dont le caractère peut facilement se conclure de la nature du nombre , c’est-à-dire, de ses relations avec les différens diviseurs premiers de , et de plus avec ou , quand il y a lieu (no 230). Puisque nous avons supposé que est contenu sous une forme de diviseurs de , nous sommes sûrs d’avance qu’il répond à ce caractère un genre positif proprement primitif de formes de déterminant , quand bien même l’expression ne pourrait être satisfaite. Donc, puisque ce genre est connu , on peut trouver toutes les classes qui y sont contenues ; désignons-les par , , , etc., et leur ensemble par G, Les différentes classes , , etc. doivent être identiques avec quelque classe comprise dans G ; il peut arriver aussi que plusieurs classes de Γ soient identiques entre elles et qu’elles le soient parconséquent avec une même de G, et quand G n’en contient qu’une seule, il est certain que toutes les classes de Γ coïncident avec elle. Donc si des classes , , , etc., on tire les formes les plus simples , , , etc. respectivement, une forme de chaque classe de Γ se trouvera parmi elles. Or si est une forme contenue dans la classe , il y aura deux représentations du nombre , par cette forme, appartenantes à la valeur , et si l’une est , , l’autre sera , . On doit excepter le seul cas où , dans lequel il y aurait quatre représentations (no 180).

Il suit de là que si on cherche toutes les représentations du nombre par les différentes formes , , , etc., par la méthode indirecte exposée précédemment, et qu’on en tire les valeurs de l’expression auxquelles chacune d’elles appartient (no 154 et suivans), on aura toutes les valeurs de cette expression et même chacune d’elles deux fois, ou quatre fois si . Si parmi les formes , , etc., il s’en trouve quelques-unes par lesquelles M ne puisse pas être représenté, il s’ensuit qu’elles n’appartiennent à aucune classe de Γ, et que parconséquent elles doivent être négligées ; et si ne pouvait être représenté par aucune de ces formes, alors serait certainement non-résidu quadratique de

Nous ajouterons encore sur ces opérations les observations suivantes, qui sont essentielles.

1o. Les représentations du nombre par les formes , etc. que nous employons, sont supposées avoir lieu par des valeurs premières entre elles des indéterminées , s’il s’en présente d’autres dans lesquelles ces valeurs aient un commun diviseur (ce qui ne peut arriver que lorsque divise et qui arrivera nécessairement si elles doivent être négligées dans nos Recherches, quoique, sous un autre aspect, elles puissent être utiles.

2o. Toutes choses d’ailleurs égales, le travail sera évidemment d’autant plus facile, que le nombre des classes etc. sera moins grand, et il est parconséquent le plus court possible quand est un des soixante-cinq nombres consignés au no 303, pour lesquels il n’y a qu’une seule classe dans chaque genre.

3o. Puisqu’il y a toujours deux de ces représentations, qui appartiennent à la même valeur, on voit qu’il suffit de considérer celles dans lesquelles est positif ; et de cette manière les représentations différentes correspondent à des valeurs différentes de l’expression et le nombre de toutes les valeurs est égal au nombre des représentations, en exceptant toujours le cas où dans lequel le premier nombre n’est que la moitié du second.

4o. Comme il suffit de connaître l’une des deux valeurs , , pour avoir l’autre, les opérations peuvent encore s’abréger ; si la valeur s’obtient par la représentation du nombre par une forme contenue dans la classe la valeur opposée se tirera évidemment de la représentation par une forme contenue dans la classe opposée, qui sera différente de la classe si celle-ci n’est pas ambiguë. Il suit de là que, quand toutes les classes de ne sont pas ambiguës, il ne faut considérer que la moitié des autres, c’est-à-dire, que de deux opposées, on prendra l’une et l’on négligera l’autre, que l’on voit d’avance et sans calcul devoir fournir des valeurs opposées à celle que donne la première. Mais quand est une classe ambiguë, elle donnera à-la-fois les deux valeurs et