Recherches arithmétiques/Section septième

Carl Friedrich Gauss

Recherches arithmétiques

Traduction par A.-C.-M. Poullet-Delisle.
Courcier, 1807 (p. 429-489).

SECTION SEPTIÈME.

Des Équations qui déterminent les Sections circulaires.

335. Parmi les accroissemens importans dont les travaux des modernes ont enrichi les Mathématiques, les fonctions circulaires tiennent sans aucun doute le premier rang. Cette étonnante espèce de quantités, à laquelle nous sommes conduits à chaque instant dans des recherches qui y semblent tout-à-fait étrangères, et du secours desquelles ne peut se passer aucune partie des Mathématiques, a occupé avec tant d’assiduité la pénétration des plus grands géomètres, et ils en ont fait une théorie si vaste, qu’on ne pouvait guère s’attendre qu’une partie de cette théorie, partie élémentaire et pour ainsi dire placée à l’entrée, pût recevoir des accroissemens considérables. Je parle de la théorie des fonctions trigonométriques, qui répondent aux arcs commensurables avec la circonférence, ou de la théorie des polygones réguliers, dont on ne connaît jusqu’à présent que la plus petite partie, ainsi qu’on le verra par cette Section. Le lecteur pourrait s’étonner de rencontrer une semblable recherche dans un ouvrage consacré à une doctrine qui paraît au premier abord absolument hétérogène ; mais l’exposition fera voir bien clairement quelle est la liaison de ce sujet et de l’Arithmétique transcendante.

Au reste, les principes de la théorie que nous entreprenons d’exposer, s’étendent bien plus loin que nous ne le faisons voir ici ; ils peuvent en effet s’appliquer non-seulement aux fonctions circulaires, mais aussi avec autant de succès à beaucoup d’autres fonctions transcendantes, par exemple, à celles qui dépendent de l’intégrale $\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}},$ et en outre à différens genres de congruences ; mais comme nous préparons un Ouvrage assez étendu sur les fonctions transcendantes, et que dans la suite de ces Recherches arithmétiques nous traiterons amplement des congruences, nous avons cru ne devoir considérer ici que les fonctions circulaires, et même quoique nous pussions les embrasser dans toute leur généralité, nous les réduirons au cas le plus simple, comme on va le voir dans le n^o suivant, tant dans le dessein d’abréger, que pour rendre d’une intelligence plus facile les principes tout-à-fait nouveaux de cette théorie.

336. Si nous désignons par $P$ la circonférence du cercle, ou quatre angles droits, que nous supposions entiers les nombres $m$ et $n,$ et $n$ égal au produit des facteurs premiers entre eux $a,b,c,{\text{etc}}.\ ;$ l’angle $A={\frac {mP}{n}}$ peut, par le n^o 310, être mis sous la forme

$A=\left({\frac {\alpha }{a}}+{\frac {\beta }{b}}+{\frac {\gamma }{c}}\ +\ {\text{etc}}.\right)P,$

et les fonctions trigonométriques qui en dépendent se déduiront, par les méthodes connues, des fonctions correspondantes aux parties $A={\frac {\alpha P}{a}},\ {\frac {\beta P}{b}},\ {\text{etc}}.$ Ainsi, comme on peut toujours prendre pour $a,b,c,etc.$ des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers, il suffit évidemment de considérer la section du cercle en parties dont le nombre est premier, ou une puissance d’un nombre premier, et le polygone de n côtés se déduira sur-le-champ des polygones de $a,b,c,etc.$ côtés. Cependant ici nous bornerons nos recherches au cas où l’on doit diviser le cercle en un nombre premier impair de parties. En effet, il est constant que les fonctions circulaires qui répondent à l’angle ${\frac {mP}{p^{2}}},$ se déduisent de celles qui appartiennent à l’angle ${\frac {mP}{p}},$ par la solution d’une équation du degré des premières on déduira, par une équation de même degré, celles qui appartiennent à l’angle ${\frac {mP}{p^{3}}},$ de manière que, si l’on connaît déjà le polygone de $p$ côtés, on a nécessairement besoin de la résolution de $\lambda -1$ équations du degré $p$ pour obtenir le polygone de $p^{\lambda }$ côtés ; et même si nous pouvions étendre notre théorie à ce cas, nous n’en serions pas moins conduits au même nombre d’équations du degré $p,$ qui ne peuvent se réduire en aucune manière, si $p$ est un nombre premier.

Ainsi, par exemple, nous ferons voir plus bas que le polygone de $17$ côtés peut être construit géométriquement ; mais pour déterminer le polygone de $289$ côtés, on ne peut éviter d’aucune manière l’équation du dix-septième degré.

337. Tout le monde sait que les fonctions trigonométriques des angles ${\frac {kP}{n}}$, $k$ désignant indéfiniment les nombres $0$, $1$, $2$, …$n-1$, sont les racines d’une équation du degré $n$ ; ces équations sont :

pour les sinus,— $x^{n}-{\frac {1}{4}}nx^{n-2}$ $+{\frac {1}{16}}{\frac {n(n-3)}{1.2}}x^{n-4}$

$-{\frac {1}{64}}{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3}}x^{n-6}$ + etc. $=0$ ….(I)

pour les-cosinus,— $x^{n}-{\frac {1}{4}}nx^{n-2}$ $+{\frac {1}{16}}{\frac {n(n-3)}{1.2}}x^{n-4}$

$-{\frac {1}{64}}{\frac {n(n-4)(n-5)}{1.2.3}}x^{n-6}$ $+$ etc. $={\frac {1}{2^{n-1}}}$ …(II)

pour les-tangentes,— $x^{n}$ $-{\frac {n(n-1)}{1.2}}nx^{n-2}$

$+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4}}x^{n-4}$ $+$ etc. $\pm nx$ $=0$ …(III)

Ces équations, qui sont toutes vraies quand $n$ est impair (la seconde l’est même quand $n$ est pair), se réduisent facilement au degré $m$, en faisant $x=2m+1$, savoir, pour la première et la troisième, en divisant par $x$ et posant ensuite $x^{2}=y$ ; quant à la seconde, elle renferme nécessairement la racine $x=1=\cos 0$, et les autres sont égales deux à deux, $\cos {\frac {P}{n}}=\cos {\frac {(n-1)P}{n}}$, $\cos {\frac {2P}{n}}=\cos {\frac {(n-2)P}{n}}$, etc. Donc l’équation est divisible par $x-1$ et le quotient est un quarré. En extrayant la racine, l’équation devient
$x^{m}+{\frac {1}{2}}x^{m-1}$ $-{\frac {1}{4}}(m-1)x^{m-2}$ $-{\frac {1}{8}}(m-2)x^{m-3}$

$\textstyle +{\frac {1}{16}}{\frac {(m-2)(m-3)}{1.2}}x^{m-4}$ $\textstyle +{\frac {1}{32}}{\frac {(m-1)(m-4)}{1.2}}x^{m-5}-$ etc. $=0$,

dont les racines sont les cosinus des angles ${\frac {P}{n}}$, ${\frac {2P}{n}}$, ${\frac {3P}{n}}$, …${\frac {nP}{n}}$. On ne connaissait pas jusqu’à présent de réductions ultérieures de ces équations, même pour le cas où $n$ est un nombre premier.

Cependant aucune de ces équations n’est si commode à traiter, ni se prête tant à notre dessein, que l’équation $x^{n}-1=0$, dont on sait que les racines sont intimement liées avec les racines des premières. En effet, si l’on représente par $i$ la quantité imaginaire ${\sqrt {-1}}$, les racines de l’équation $x^{n}-1=0$ sont représentées par la formule

$\cos {\frac {KP}{n}}+i\,\sin {\frac {KP}{n}}=r$,

où l’on doit prendre pour $K$ tous les nombres $1$, $2$, $3$,…$n-1$ ; ainsi, comme on a

${\frac {1}{r}}=\cos {\frac {KP}{n}}-i\,\sin {\frac {KP}{n}}$,

les racines de l’équation (I) seront exprimées par

${\frac {1}{2i}}\left(r-{\frac {1}{r}}\right),\quad {\text{ou}}\quad {\frac {i\left(1-r^{2}\right)}{2r}}$ ;

celles de l’équation (II) par ${\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {1}{r}}\right)={\frac {1+r^{2}}{2r}}$ ;

celles de l’équation (III) par ${\frac {i\left(1-r^{2}\right)}{1+r^{2}}}$.

C’est pourquoi nous établirons nos considérations sur l’équation $x^{n}-1=0$, en supposant que $n$ soit un nombre premier impair ; mais pour ne pas interrompre l’ordre de nos recherches, nous commencerons par le lemme suivant.

338. Problème. Étant donnée l’équation (W)…$\mathrm {} z^{m}+Az^{m-2}+{\text{etc.}}=0,$ trouver une équation (W'), dont les racines soient les puissances $\lambda$ de celles de l’équation (W), $\lambda$ étant un nombre entier positif donné.

Désignons les racines de l’équation (W) par $a$, $b$, $c$, etc., celles de l’équation (W') devront être $a^{\lambda }$, $b^{\lambda }$, $c^{\lambda }$, etc. Or, par le théorème de Newton, on peut trouver en fonction des coefficiens de l’équation (W), la somme des puissances quelconques des racines $a$, $b$, $c$, etc. ; on cherchera donc les sommes

$a^{\lambda }+b^{\lambda }+c^{\lambda }$, ——$a^{2\lambda }+b^{2\lambda }+c^{2\lambda }+$ etc., etc.,

jusqu’à $\qquad a^{m\lambda }+b^{m\lambda }+c^{m\lambda }+$ etc.,
d’où par le procédé inverse tiré du même théorème, on pourra déduire les coefficiens de l’équation (W’). On voit en même temps que si les coefficiens de l’équation (W) sont tous rationnels, ceux de l’équation (W’) le seront aussi ; on pourrait même prouver par une autre voie, que si les premiers sont entiers, les autres le seront ; mais comme ce théorème ne nous est pas nécessaire, nous ne nous y arrêterons pas ici.

339. L’équation $x^{n}-1=0$ (en supposant, comme il faut toujours le faire par la suite, que $n$ est un nombre premier impair), ne renferme qu’une seule racine réelle $x=1$ ; les $n-1$ autres, qui sont donnés par l’équation

$x^{n-1}+x^{n-2}+\,{\text{etc.}}\,+x+1=0,$…………(X)

sont toutes imaginaires ; nous en désignerons l’ensemble par $\Omega$. Si donc $r$ est une racine quelconque de $X=0$, on aura

$1=r^{2}=r^{2n}=\,{\text{etc.}},$ et généralement $\,1=r^{en}$

pour toute valeur entière de $e$, soit positive, soit négative. D’où l’on voit que si $\lambda$ et $\mu$, sont des nombres entiers congrus suivant $n$, on aura $r^{\lambda }=r^{\mu }$ ; mais si $\lambda$ et $\mu$ sont incongrus suivant le module $n$, $r^{\lambda }$ et $r^{\mu }$ seront inégaux. Dans ce cas, on peut déterminer un nombre entier $\nu$, tel qu’on ait

$(\lambda -\mu )\nu \equiv 1{\pmod {n}}$ et partant, $r^{(\lambda -\mu )\nu }=r$ ;

donc $r^{\lambda -\mu }$ ne sera certainement pas $=1$ : or il est clair que toute puissance de $r$ est racine de l’équation $x^{n}-1=0$ ; parconséquent comme toutes les quantités $1=r^{0}$, $r$, $r^{2}$, $r^{3}$,…$r^{n-1}$ sont différentes, elles représentent toutes les racines de l’équation $x^{n}-1=0$, et $r$, $r^{2}$…$r^{n-1}$ coïncident avec les racines $\Omega .$ On conclut facilement de là que $\Omega$ coïncide avec $r^{e}$, $r^{2e}$, $r^{3e}$… $r^{(n-1)e}$, $e$ étant un entier quelconque, positif ou négatif, et non-divisible par $n$. On aura parconséquent

$X=(x-r^{e})(x-r^{2e})(x-r^{3e})+\ldots \ldots +(x-r^{(n-1)e})$ ;

d’où........	$r^{e}+r^{2e}+\ r^{3e}+\ldots \ldots +r^{(n-1)e}$	$=-1\,;$
et.............	$1+r^{e}+r^{2e}+\ldots \ldots \ldots \ldots +r^{(n-1)e}$	$=0.$

Nous appellerons réciproques deux racines telles que $r$ et ${\frac {1}{r}}$, ou plus généralement $r^{e}$, $r^{-e}$, et il est clair que le produit des deux facteurs simples $x-r$ et $x-{\frac {1}{r}}$ est

$x^{2}-2x\,\cos \omega +1$,

l’angle $\omega$ étant $={\frac {P}{n}}$, ou à un de ses multiples.

340. Ainsi, comme en représentant une racine de $X=0$ par $r$, toutes les racines de l’équation $x^{n}-1=0$ sont exprimées par les différentes puissances de $r$, le produit de plusieurs d’entre ces racines pourra être exprimé par $r^{\lambda }$, de quelque manière qu’il soit composé, $\lambda$ étant $=0$, ou positif et $<n$ ; et si l’on désigne par $\varphi (t,u,v...)$ une fonction algébrique rationnelle et entière des indéterminées $t$, $u$, $v$, etc., dont les différens termes soient de la forme $ht^{\alpha }u^{\beta }v^{\gamma },$ etc., il est évident, qu’en prenant pour $t$, $u$, $v$, etc. quelques-unes des racines de l’équation $x^{n}-1=0$, par exemple, $t=a$, $u=b$, $v=c$, etc .; $\varphi (t,u,v...)$ pourra être mise sous la forme

$A+A'r+A''r^{2}+A'''r^{3}+......+A^{\nu }r^{n-1}\,;$

de manière que les coefficiens $A$, $A'$, etc. (dont quelques-uns peuvent être = 0), soient des quantités déterminées ; et tous ces coefficiens seront entiers, si tous ceux qui sont représentés indéfiniment par $h$ sont des nombres entiers. Si ensuite l’on substitue $a^{2}$, $b^{2}$, $c^{2}$… pour $t$, $u$, $v$… respectivement, le terme tel que $ht^{\alpha }u^{\beta }v^{\gamma }$… qui se réduisait à $r^{\lambda }$, se réduira par la nouvelle substitution, à $r^{2\lambda }$, desorte que l’on aura

$\varphi (a^{2},b^{2},c^{2}...)=A+A'r^{2}+A''r^{4}+A'''r{6}+......+A^{\nu }r^{2n-2}.$

On aura de même en général, $\mu$ étant un nombre entier quelconque

$\varphi (a^{\mu },b^{\mu },c^{\mu }...)=A+A'r^{\mu }+A''r^{2\mu }+A'''r^{3\mu }+...+A^{\nu }r^{(n-1)\mu },$

proposition extrêmement importante, et qui sert de base aux recherches que nous allons faire.

Il suit de là que

$\varphi (1,1,1,...)=\varphi (a^{n},b^{n},c^{n})=A+A'+A''...+A^{\nu },$

et que

$\varphi (a,b,c)+\varphi (a^{2},b^{2},c^{2})+\ {\text{etc}}.\ +\varphi (a^{n},b^{n},c^{n})=nA.$

Ainsi cette somme est toujours divisible par $n$ quand tous les coefficiens déterminés (tels que $h$), dans $\varphi (t,u,v)$ sont des nombres entiers.

341. Théorème. Si la fonction $\mathrm {X}$ (n^o 339) est divisible par une fonction d’un degré inférieur

$\mathrm {P=x^{\lambda }+Ax^{\lambda -1}+Bx^{\lambda -2}+\,{\text{etc.}}\,+Kx+L} ,$

les coefficiens $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B} ,\dots$ $\mathrm {L}$ ne peuvent pas être tous entiers ni rationnels.

Soit $X=PQ$, (π) l’ensemble des racines de l’équation $P=0$, (χ) l’ensemble des racines de l’équation $Q=0$, ensorte que Ω soit composé de (π) et de (χ) ; soit encore (ϱ) l’ensemble des racines réciproques aux racines (π), et (σ) l’ensemble des racines réciproques aux racines (χ), et supposons que les racines contenues dans (ϱ) soient données par l’équation $R=0$, qui sera évidemment

$x^{\lambda }+{\frac {K}{L}}x^{\lambda -1}+\ {\text{etc}}.\ +{\frac {A}{L}}x+{\frac {1}{L}}=0,$

tandis que les racines contenues dans (σ) seront données par l’équation $S=0$. Il est manifeste que les racines (ϱ) et (σ) prises ensemble composent Ω, et qu’ainsi l’on aura $RS=X$. Cela posé, nous avons quatre cas à distinguer :

1^o. Quand (π) coïncide avec (ϱ) et qu’on a parconséquent $P=R$. Dans ce cas les racines (π) seront réciproques deux à deux, et parconséquent $P$ est le produit de ${\frac {1}{2}}\lambda$ facteurs doubles tels que

$x^{2}-2x\,\cos \omega +1=(x-\cos \omega )^{2}+\sin ^{2}\omega ,$

d’où il suit que quel que soit $x$, pourvu qu’il soit réel, $P$ obtiendra une valeur réelle positive. Soient

$P'=0,\quad P''=0,\quad P'''=0,\dots P^{\nu }=0$

les équations qui donnent les quarrés, cubes, biquarrés, etc., $n-1$ puissances, des racines (π), et $p,$ $p',$ $p'',$…$p^{\nu }$ les valeurs de $P,$ $P',$ $P''$…$P^{\nu }$ respectivement, quand on y fait $x=1\,:$ par ce qui a été dit précédemment $p,$ $p'\dots$ $p^{\nu }$ seront des quantités réelles et positives. Or $p$ est la valeur qu’obtient la fonction

$(1-t)(1-u)(1-v)\,{\text{etc.}}$

quand on y substitue pour $t$, $u,$ $v,$ etc. les racines (π) ; $p'$ est la valeur de cette même fonction, quand on substitue pour $t,$ $u,$ $v,$ etc. les quarrés de ces mêmes racines ; et d’ailleurs la valeur qui résulte de la supposition $t=1,$ $u=1,$ $v=1,$ etc., est évidemment $=0\,;$ donc la somme $p+p'+p''+{\text{etc.}}+p^{\nu }$ sera entière et divisible par $n\,:$ en outre on voit facilement que le produit $PP'P''\dots =X^{\lambda },$ et partant $pp'p''\dots =n^{\lambda }.$

Maintenant si tous les coefficiens de $P$ étaient rationnels, tous ceux de $P',$ $P'',$ etc. le seraient aussi, par le n^o 338, et par le n^o 42, ils seraient tous entiers ; donc $p,$ $p',$ $p'',$ etc. le seraient ; comme d’ailleurs le produit de ces derniers nombres est $n^{\lambda },$ et que leur nombre est $n-1>\lambda ,$ plusieurs d’entre eux devraient être égaux à $1,$ et les autres seraient égaux à $n,$ ou à une puissance de $n.$ Si donc il y en a $g$ qui soient égaux à $1,$ on aura

$p+p'+p''+\,{\text{etc}}.\,\equiv g{\pmod {n}},$

et partant non-divisible par $n.$ Donc la supposition ne peut subsister.

2^o. Quand (π) et (ϱ) ne coïncident pas, mais contiennent quelques racines qui leur sont communes, soit (τ) l’ensemble de ces racines, et $T=0$ l’équation qui les donnerait ; il suit de la théorie des équations que $T$ sera le plus grand commun diviseur des fonctions $P$ et $R.$ Or il est évident que les racines comprises dans (τ) sont réciproques deux à deux, d’où l’on conclura par ce qui a été démontré précédemment, que tous les coefficiens de $T$ ne peuvent être rationnels. Mais cela arriverait nécessairement si tous les coefficiens de $P$ et partant ceux de $R$ étaient rationnels, comme on peut le voir par la nature de l’opération par laquelle on cherche le plus grand diviseur commun ; donc cette supposition est absurde.

3^o. Quand (χ) et (p) coïncident, ou du moins renferment des racines communes, on prouvera de la même manière, que tous les coefficiens de $Q$ ne peuvent pas être rationnels ; or ils le seraient nécessairement si ceux de $P$ l’étaient ; donc cette dernière supposition est impossible.

4^o. Si enfin il n’y a aucune racine commune ni à (π) et (ϱ), ni à (χ) et (σ), toutes les racines (π) coïncideront nécessairement avec les racines (σ), et les racines (χ) avec les racines (ϱ), et partant on aura $P=S$, $Q=R$ ; donc

$\textstyle X=PQ=PR$

   $\textstyle =\left(x^{\lambda }+Ax^{\lambda -1}+\dots +Kx+L\right)\left(x^{\lambda }+{\frac {K}{L}}x^{\lambda -1}+\dots +{\frac {A}{L}}x+{\frac {1}{L}}\right),$

d’où résulte, en faisant $x=1,$

$nL=(1+A+\dots +K+L)^{2}.$

Or si tous les coefficiens de $P$ étaient rationnels, ils seraient entiers (n^o 42), partant ceux de $R$ le seraient aussi ; donc $L$, qui devrait diviser l’unité, dernier terme de $X$, ne pourrait être que $\pm 1$, et il s’ensuivrait que $\pm n$ serait un quarré, ce qui est absurde, puisque $n$ est un nombre premier.

Il suit évidemment de ce théorème, que, de quelque manière que l’on décompose $X$ en facteurs, les coefficiens, ou du moins une partie d’entre eux, sont irrationnels, et parconséquent ne peuvent être déterminés que par des équations qui passent le premier degré.

342. Le but de nos recherches, qu’il n’est pas inutile d’annoncer ici en peu de mots, est de décomposer $X$ graduellement en un nombre de facteurs de plus en plus grand, et cela de manière à ce que les coefficiens de ces facteurs puissent être déterminés par des équations du degré le plus bas possible, jusqu’à ce que, de cette manière, on parvienne à des facteurs simples, ou aux racines Ω. Nous ferons voir que si l’on décompose le nombre $p-1$ en facteurs entiers quelconques $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. (pour lesquels on peut prendre les facteurs premiers), $X$ est décomposable en $\alpha$ facteurs du degré ${\frac {n-1}{\alpha }}$, dont les coefficiens seront déterminés par une équation du degré $\alpha$ ; que chacun de ces facteurs est décomposable en $\beta$ facteurs du degré ${\frac {n-1}{\alpha \beta }}$, à l’aide d’une équation de degré $\beta$, etc. Desorte que $\nu$ étant le nombre des facteurs $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ etc., la recherche des racines $\Omega$ est ramenée à la résolution de $\nu$ équations des degrés $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ etc.

Par exemple, pour $n=17$, on a $n=2.2.2.2$ ; il faut résoudre quatre équations du second degré ; pour $n=73$, il faut en résoudre trois du second et deux du troisième.

Comme nous aurons souvent à considérer par la suite des puissances de $r$ dont les exposans sont eux-mêmes des puissances, et que ces sortes d’expressions se prêtent difficilement à l’impression, nous userons de l’abréviation suivante pour $r$, $r^{2}$, $r^{3}$, etc. Nous écrirons $[1]$ , $[2]$, $[3]$, etc. et généralement $[\lambda ]$ pour $r^{\lambda }$, $\lambda$ étant un nombre entier quelconque. Ces expressions ne sont pas entièrement déterminées, mais elles le deviennent lorsque l’on prend pour $r$ ou $[1]$ une racine déterminée de $\Omega$. Ainsi $[\lambda ]$ et $[\mu ]$ seront en général égaux ou inégaux, suivant que $\lambda$ et $\mu$ seront congrus ou incongrus suivant le module $n$. En outre on a

$[0]=1$,——-.$[\lambda ].[\mu ]=[\lambda +\mu ]$, ——$[\lambda ]^{\mu }=[\lambda \mu ]$,

et …………$[0]+[\lambda ]+[2\lambda ]+[3\lambda ]+\,etc.\,+[(n-1)\lambda ]=0$, ou $n$,

suivant que $\lambda$ est non-divisible ou divisible par $n$.

343. Si, pour le module $n$, $g$ est un de ces nombres que (Section III) nous avons appelés racines primitives, les $n-1$ nombres $1$, $g$, $g^{2}$, …$g^{n-2}$ seront congrus aux nombres $1$, $2$, $3$,…$n-1$ suivant le module $n$, quoique l’ordre ne soit pas le même, c’est-à-dire que tout nombre de la première suite sera congru à un de ceux de la seconde. Il suit de là que les racines

$[1]$,——$[g]$, ——$[g^{2}]$.....——$[g^{n-2}]$,

coïncident avec $\Omega$ ; et de même plus généralement

$[\lambda ]$,——$[\lambda g]$, ——$[\lambda ]g^{2}]$.....——$[\lambda g^{n-2}]$

coïncident avec $\Omega$, si $\lambda$ est un nombre entier quelconque, mais non-divisible par $n$. Et comme on a $g^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$, on voit sans peine que les deux racines $[\lambda g^{\mu }]$, $[\lambda g^{\nu }]$ sont identiques ou différentes, suivant que $[\lambda g^{\mu }]$ et $[\lambda g^{\nu }]$ sont congrus ou incongrus suivant le module $n-1$.

Si donc $G$ est une autre racine primitive, les racines $[1]$, $[g]$……$[g^{n-2}]$ coïncideront ainsi avec les racines $[1]$, $[G]$,…$[G^{n-2}]$, abstraction faite de l’ordre. Mais en outre, on prouve facilement que si $e$ est un diviseur de $n-1$, et qu’on pose $n-1=ef$, $g^{e}=h$, $G^{e}=H$, les $f$ nombres

$[1]$,——$[h]$, ——$[h^{2}]$.....——$[h^{f-1}],$

sont congrus, suivant le module $n$, à ceux-ci :

$[1]$,——$[H]$, ——$[H^{2}]$.....——$[H^{f-1}],$

sans avoir égard à l’ordre. Supposons en effet $G\equiv g^{\omega }{\pmod {n}}$, et soit $\mu$ un nombre quelconque positif et $<f$, et $\nu$ le résidu minimum de $\mu \omega {\pmod {f}}$, on aura $\nu e\equiv \mu \omega e{\pmod {n-1}}$, donc

$g^{\nu e}\equiv g^{\mu \omega e}\equiv g^{\mu e}{\pmod {n}}$——ou——$H^{\mu }\equiv h^{\mu },$

c’est-à-dire que tout nombre de la première suite $1$, $h$, $h^{2}$, etc. est congru à un de ceux de la seconde $1$, $H$, $H^{2}$, etc., et réciproquement.

II suit de là évidemment qu’il y a identité entre les racines

$[1]$,-$[h]$, -$[h^{2}]$.....-$[h^{f-1}]$ —et— $[1]$,-$[H]$, -$[H^{2}]$.....-$[H^{f-1}],$

ou plus généralement entre les racines

$[\lambda ]$, $[\lambda h]$, $[\lambda h^{2}]$, ,… $[\lambda h^{f-1}]$ —et— $[\lambda ]$, $[\lambda H]$, $[\lambda H^{2}]$,… $[\lambda H^{f-1}]$.

Nous désignerons par $(f,\lambda )$ la somme de semblables racines, telle que

$[\lambda ]+[\lambda h]+[\lambda h^{2}]+$, etc. $+[\lambda h^{f-1}]\,;$

et comme elle ne change pas, lorsque l’on prend pour $g$ une autre racine primitive, elle doit être regardée comme indépendante de $g$, et l’ensemble de ces racines s’appellera période $(f,\lambda )$, dans laquelle on ne considère pas l’ordre des racines^[1].

Pour présenter une pareille période, il sera convenable de réduire chacune des racines qui la composent à sa plus simple expression, en remplaçant les nombres $\lambda$, $\lambda h$, $\lambda h^{2}$, etc. par leurs résidus minima, suivant le module $n$ ; et si l’on veut, on peut ordonner les termes de la période suivant la grandeur de ces nombres.

Exemple. Pour $n=19$, $2$ est racine primitive, et la période $(6,1)$ est composée des racines

${\begin{array}{lcccccc}&[1],&[8],&[64],&[512],&[4096],&[32768],\\{\text{ou}}.......&[1],&[7],&[8],&[11],&[12],&[18]\,;\\\end{array}}$

de même la période $(6,2)$ est composée des racines

${\begin{array}{lcccccc}[2],&[3],&[5],&[14],&[16],&[17]\,;\\\end{array}}$

la période $(6,3)$ coïncide avec la précédente, et la période $(6,4)$ contient les racines

${\begin{array}{lcccccc}[4],&[6],&[9],&[10],&[13],&[15].\\\end{array}}$

344. On remarquera, au sujet de ces périodes, les observations suivantes, qui se présentent d’elles-mêmes :

1^o. Comme on a $\lambda h^{f}\equiv \lambda ,\;\lambda h^{f+1}\equiv \lambda h,\,{\text{etc.}}{\pmod {n}}$, il est évident que les périodes

$(f,\lambda ),\quad (f,\lambda h)\quad (f,\lambda h^{2}),\,{\text{etc.}}\,$

sont composées des mêmes racines, et généralement si $\lambda '$ est une racine quelconque de $(f,\lambda )$, cette période sera identique avec $(f,\lambda ')$. Donc deux périodes, de même nombre de termes (que nous nommerons périodes semblables), seront identiques, si elles ont une seule racine commune, et parconséquent il est impossible que de deux racines contenues dans une certaine période, il ne s’en trouve qu’une seule dans une période semblable : et il est clair que si les racines $[\lambda ]$, $[\lambda ']$ appartiennent à la même période, la valeur de l’expression ${\frac {\lambda '}{\lambda }}{\pmod {n}}$ sera congrue à une certaine puissance de $h$, ou que l’on peut supposer $\lambda '\equiv \lambda g^{\nu e}{\pmod {n}}$.

2^o. Si $f=n-1$, on a $e=1$, et la période $(f=1)$ coïncide avec $\Omega$ ; mais dans les autres cas $\Omega$ sera composé des $e$ périodes $(f,1),(f,g),(f,g^{2}),\,{\text{etc.,}}\,\dots \,(f,g^{e-1})$, et comme ces périodes sont toutes différentes entre elles, il est clair que toute autre période semblable $(f,\lambda )$ coïncide avec l’une d’elles, pourvu que $[\lambda ]$ soit une des racines $\Omega ,$ c’est-à-dire, que $\lambda$ ne soit pas divisible par $n.$ Quant à la période $(f,0)$ ou $(f,kn),$ elle est évidemment composée de $f$ unités. On voit même que si $\lambda$ est un nombre quelconque non-divisible par $n,$ l’ensemble des $e$ périodes

$(f,\lambda )$,——$(f,\lambda g)$, ——$(f,\lambda g^{2})$,——$(f,\lambda g^{3})$,…——$(f,\lambda g^{e-1})$

coïncide encore avec $\Omega .$

Ainsi, par exemple, pour $n=19$ et $f=6,$ $\Omega$ est composé des trois périodes $(6,1),$ $(6,2),$ $(6,4),$ à une desquelles toute autre semblable, excepté $(6,0),$ peut être ramenée.

3^o. Si $n-1$ est le produit des trois nombres positifs $a,$ $b,$ $c,$ il est évident que toute période de $bc$ termes est composée de $b$ périodes dont chacune a $c$ termes, c’est-à-dire que $(bc,\lambda )$ est composée des périodes

$(c,\lambda )$,——$(c,\lambda g^{a})$, ——$(c,\lambda g^{2a})$,…——$(c,\lambda g^{ab-a})\,;$

c’est pourquoi nous dirons que ces dernières sont contenues dans $(bc,\lambda ).$

Ainsi, pour $n=19,$ la période $(6,1)$ est composée des trois $(2,1),$ $(2,8),$ $(2,7),$ dont la première contient les racines $r,$ $r^{18}\,;$ la seconde, $r^{8},$ $r^{11}\,;$ la troisième, $r^{7},$ $r^{12}.$

345. Théorème. Soient $(f,\lambda ),$ $(f,\mu )$ deux périodes semblables, identiques ou différentes, et $[\lambda ],$ $[\lambda '],$ $[\lambda ''],$ etc. les racines qui composent $(f,\lambda )\,;$ le produit de $(f,\lambda )$ par $(f,\mu )$ sera la somme de $f$ périodes semblables, c’est-à-dire,

$=(f,\lambda +\mu )+(f,\lambda '+\mu )+(f,\lambda ''+\mu )+$, etc. $=W.$.

Soit comme plus haut $n-1=ef,$ $g$ une racine primitive pour le module $n,$ et $h=ge,$ on aura par ce qui précède

$(f,\lambda )=(f,\lambda h)=(f,\lambda h^{2})$, etc. ;

le produit cherché sera donc

$[\mu ].(f,\lambda )+[\mu h].(f,\lambda h)+[\mu h^{2}].(f,\lambda h^{2})+$, etc.,

et partant

${\begin{array}{lllll}&[\lambda +\mu ]&+[\lambda h+\mu ]&+[\lambda h^{2}+\mu ]&...+[\lambda h^{f-1}+\mu ]\\+&[\lambda h+\mu h]&+[\lambda h^{2}+\mu h]&+[\lambda h^{3}+\mu h]&...+[\lambda h^{f}+\mu h]\\+&[\lambda h^{2}+\mu h^{2}]&+[\lambda h^{3}+\mu h^{2}]&+[\lambda h^{4}+\mu h^{2}]&...+[\lambda h^{f+1}+\mu h^{2}]\\+&{\text{etc.}}\,\end{array}}$

Cette expression contiendra en tout $f^{2}$ racines, et si l’on prend séparément la somme de chaque colonne verticale, on trouve que la somme totale est, comme nous l’avons annoncé, égale à

$=(f,\lambda +\mu )+(f,\lambda h+\mu )+(f,\lambda h^{2}+\mu )+...+(f,\lambda h^{f-1}+\mu )\,;$

or $\lambda '\equiv \lambda h,\,\lambda ''\equiv \lambda h^{2},$ etc., suivant le module $n$, et partant

$\lambda '+\mu \equiv \lambda h+\mu ,\,\lambda ''+\mu \equiv \lambda h^{2}+\mu ,+\,{\text{etc.}}\,$

Nous joindrons à ce théorème les corollaires suivans :

1^o. $k$ étant un nombre entier quelconque, le produit de $(f,k\lambda )$ par $(f,k\mu )$ est

$\left(f,k(\lambda +\mu )\right)+\left(f,k(\lambda '+\mu )\right)+\left(f,k(\lambda ''+\mu )\right)+$ etc.

2^o. Comme les différentes parties qui composent $W$ coïncident évidemment avec $(f,0)=n$, ou avec une des périodes

$(f,1),\quad (f,g),\quad (f,g^{2})\dots (f,g^{e-1}),$

il est évident que $W$ peut se ramener à la forme suivante :

$W=af+b(f,1)+b'(f,g)+b''(f,g^{2})+\,{\text{etc.}}\,+b^{(\sigma )}(f,g^{e-1}),$

où les coefficiens $a$, $b$, $b'$, etc. sont entiers et positifs ou quelques-uns $=0$ ; et en outre, que le produit de $(f,k\lambda )$ par $(f,k\mu )$ devient alors

$af+b(f,k)+b'(f,gk)+b''(f,g^{2}k)+\,{\text{etc.}}\,+b^{(\sigma )}(f,g^{e-1}k).$

Ainsi, pour $n=19$, le produit de la somme $(6,1)$ par elle-même, ou le quarré de cette somme, est

$(6,2)+(6,8)+(6,9)+(6,12)+(6,13)+(6,19),$

ou…………$(6,2)+2(6,1)+(6,2)+2(6,4).$

3^o. Comme le produit de chacun des termes de $W$ par une période semblable $(f,\nu )$ peut être ramené à une forme analogue, il est évident que le produit $(f,\lambda ).(f,\mu ).(f,\nu )$ peut être représenté par

$cf+d(f,1)+d'(f,g)+\,{\text{etc}}.\,+d^{(\sigma )}(f,g^{e-1}),$

$c,\,d,\,d'$, etc. étant tous entiers et positifs, et qu’en outre, si $k$ est entier, on a

$(f,\lambda k).(f,\mu k).(f,\nu k)=cf+d(f,k)+\,{\text{etc}}.+\,d^{(\sigma )}(f,g^{e-1}).$

On étendra de la même manière ce théorème aux produits de tant de périodes semblables qu’on voudra, et il importe peu que ces périodes soient toutes différentes, ou en partie différentes, et en partie identiques, ou même toutes identiques.

4^o. Il suit de là que si dans une fonction algébrique rationnelle et entière $F=\varphi (t,u,v...),$ on substitue pour les indéterminées $t,\,u,\,v,\,{\text{etc.}}$ respectivement, les périodes semblables $(f,\lambda ),\,(f,\mu ),\,(f,\nu ),\,{\text{etc.}},$ la valeur de cette fonction est toujours réductible à la forme

$A+B(f,1)+B'(f,g)+B''(f,g^{2})\dots +B^{(\sigma )}(f,g^{e-1}),$

et que les coefficiens $A,\,B,\,B',\,{\text{etc.}}$ seront tous entiers, si les coefficiens de la fonction $F$ le sont eux-mêmes. Si ensuite on substitue pour $t,\,u,\,v,\,{\text{etc}},$ respectivement les périodes $(f,\lambda k),$ $(f,\mu k)$, $(f,\nu k),$ la valeur de $F$ sera de la forme

$A+B(f,k)+B'(f,kg)+\,{\text{etc.}}$

346. Théorème. Si l’on suppose que $\lambda$ est un nombre non-divisible par $\mathrm {n} ,$ et que pour abréger on fasse $\mathrm {(f,\lambda )=p} ,$ toute autre période semblable $\mathrm {(f,\mu )}$ où $\mu$ est aussi non-divisible par $\mathrm {n} ,$ peut être mise sous la forme

$\mathrm {\alpha +\beta p+\gamma p^{2}+\,{\text{etc.}}\,+\theta p^{e-1}} ,$

de manière que les coefficiens $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\dots \theta ,$ soient rationnels et déterminés.

Désignons par $p',\,p'',\,p''',\,{\text{etc.}}$ les périodes $(f,\lambda g),\,(f,\lambda g^{2}),\,{\text{etc.}}$ jusqu’à $(f,\lambda g^{e-1}),$ dont le nombre est $e-1,$ et avec une desquelles $(f,\mu )$ coïncidera nécessairement. On aura sur-le-champ l’équation

$0=1+p+p'+p''+p'''+\,{\text{etc}}.$………(I),

et en formant, d’après le n^o précédent, les puissances de $p$ jusqu’à $p^{e-1},$ on aura les $e-2$ autres équations ${\begin{array}{llllllllll}0&=p^{2}&+A&+ap&+a'p'&+a''p''&+a'''p'''&+&{\text{etc.}}&.....(II)\\0&=p^{3}&+B&+bp&+b'p'&+b''p''&+b'''p'''&+&{\text{etc.}}&.....(III)\\0&=p^{4}&+C&+cp&+c'p'&+c''p''&+c'''p'''&+&{\text{etc.}}&.....(IV),\\&{\text{etc}}.\end{array}}$

où tous les coefficiens $A,\,a,\,a',{\text{etc.,}}\,B,\,b,\,b',\,{\text{etc.}},\,{\text{etc.}}$ sont entiers et indépendans de $\lambda ,$ ainsi qu’on peut le conclure du n^o précédent ; c’est-à-dire, que les mêmes équations auront lieu quelle que soit la valeur que l’on donne à $\lambda \ ;$ cette remarque s’étend à l’équation (I), pourvu que $\lambda$ ne soit pas divisible par $n.$

Supposons maintenant $(f,\mu )=p'\,;$ si $(f,\mu )$ était égale à une autre des périodes $p''$, $p''',\,{\text{etc.}},$ il est évident que l’on pourrait employer des raisonnemens analogues. Comme le nombre des équations (I), (II), (III), etc. est $e-1$, les quantités $p'',\,p'''\,{\text{etc.}},$ dont le nombre est $e-2,$ pourront être éliminées de manière à ce qu’on ait une équation telle que

$0=A'+B'p+C'p^{2}+\,{\text{etc.}}\,+M'p^{e-1}+N'p'$………(Z),

dans laquelle $A',\,B',\,\dots N'$ sont entiers et ne sont pas tous nuls à-la-fois. Or si $N'$ n’est pas $=0,$ il est clair que cette équation donnera pour $p'$ une valeur de la forme annoncée ; ainsi il ne nous reste plus qu’à démontrer que l’on ne peut avoir $N'=0.$

En supposant $N'=0,$ l’équation Z devient

$M'p^{e-1}+\,{\text{etc.}}\,+C'p^{2}+B'p+A'=0,$

à laquelle ne peut satisfaire au plus qu’un nombre $e-1$ de valeurs de $p.$ Mais comme les équations dont on a tiré Z sont indépendantes de $\lambda ,$ il est clair que l’équation Z elle-même ne dépend pas de $\lambda$, c’est-à-dire qu’elle a lieu pour toute valeur de $\lambda$ entière et non-divisible par $n.$ Cette équation sera donc satisfaite par les valeurs des $e$ périodes

$(f,1),\,\quad (f,g),\,\quad (f,g^{2}),\,\dots \,(f,g^{e-1}),$

d’où il suivrait que les valeurs de deux de ces périodes au moins seraient égales entre elles. Supposons qu’elles contiennent respectivement les racines

$[\zeta ],\,[\zeta '],\,[\zeta ''],\,{\text{etc.}},\,;\qquad [\eta ],\,[\eta '],\,[\eta ''],\,{\text{etc.}},$

et que les nombres $\zeta ,\,\zeta ',\,\zeta '',\,{\text{etc.}},\,\eta ,\,\eta ',\,\eta '',\,{\text{etc.}}$ soient positifs et $<n,$ ce qui est permis ; il est évident qu’ils seront tous différens, et qu’aucun d’eux ne sera $=0.$ Désignons par $Y$ la fonction

$x^{\zeta }+x^{\zeta '}+x^{\zeta ''}+$ etc. $-x^{\eta }-x^{\eta '}-x^{\eta ''}-\,{\text{etc.}},$

dont le terme le plus élevé ne surpassera pas $x^{n-1}\,;$ il est clair qu’on aurait $Y=0,$ si l’on faisait $x=[1]\,;$ donc $Y$ contiendrait le facteur $x-[1],$ qui lui serait commun avec la fonction déjà désignée par $X$ (n^o 339) : or il est facile de démontrer l’absurdité de cette dernière supposition. En effet, si $X$ et $Y$ avaient un diviseur commun, il s’ensuivrait, par la nature de l’opération, qui sert à chercher le plus grand commun diviseur de deux fonctions semblables dont les coefficiens sont rationnels, que ce plus grand commun diviseur aurait tous ses coefficiens rationnels ; car il est d’ailleurs évident qu’il ne peut être du degré $n-1,$ puisque $Y$ est divisible par $x.$ Mais nous avons fait voir (n^o 341) que $X$ ne peut être divisible par une fonction de degré inférieur à $n-1,$ dont les coefficiens soient rationnels, donc on ne peut supposer que l’on ait $N'=0.$

Exemple. Pour $n=19$ et $f=6,$ on a

$0=1+p+p'+p'',\qquad p^{2}=6+2p+p'+2p'',$

d’où l’on tire ……$p'=4-p^{2},\qquad p''=-5-p+p^{2}$ ;

ainsi

$(6,2)$	$=4$	$-(6,1)^{2}$ ;	—	$(6,4)$	$=-5$	$-(6,1)$	$+(6,1)^{2}$
$(6,4)$	$=4$	$-(6,2)^{2}$ ;	—	$(6,1)$	$=-5$	$-(6,2)$	$+(6,2)^{2}$
$(6,1)$	$=4$	$-(6,4)^{2}$ ;	—	$(6,2)$	$=-5$	$-(6,4)$	$+(6,4)^{2}$.

347. Théorème. Si $\mathrm {F=\varphi (t,u,v...)}$ est une fonction invariable^[2] algébrique rationnelle et entière de $\mathrm {f}$ indéterminées $\mathrm {t,\,u,\,v} ,$ etc., et qu’en substituant à la place de ces indéterminées les $\mathrm {f}$ racines contenues dans la periode, $\mathrm {(f,\lambda )} ,$ on ramène cette fonction à la forme

$\mathrm {A+A'[1]+A''[2]+}$ etc. $=\mathrm {W} ,$

d’après ce qui a été dit (n^o 340) ; les racines qui, dans cette expression, appartiendront à une même période quelconque de $\mathrm {f}$ termes, auront des coefficiens égaux.

Soient, $[p],$ $[q]$ deux racines qui appartiennent à une même période, et supposons $p$ et $q$ positifs et moindres que $n\,;$ il s’agit de démontrer, que $[p]$ et $[q]$ auront dans $W$ le même coefficient. Soit encore $q\equiv pg^{\nu },$ et nommons $[\lambda ],\,[\lambda '],\,[\lambda ''],{\text{ etc.}}\,;$ les racines contenues dans $(f,\lambda ),$ où nous supposons $\lambda ,\,\lambda ',\,\lambda '',{\text{ etc. }},$ positifs et moindres que $n\,;$ soient enfin $\mu ,\,\mu ',\,\mu '',{\text{ etc.}}$ les résidus minima positifs des nombres $\lambda g^{\nu e},\ \lambda 'g^{\nu e},\ \lambda ''g^{\nu e},{\text{ etc.}}$ suivant le module $n\,;$$\mu ,\,\mu ',{\text{ etc.}},$ seront évidemment identiques avec $\lambda ,\,\lambda ',{\text{ etc. }},$ si l’on ne fait pas attention à l’ordre. Or il suit du n^o 340, que la fonction

$\varphi \{[\lambda g^{\nu e}],[\lambda 'g^{\nu e}],[\lambda ''g^{\nu e}],\dots \}\quad$ (I)

peut être ramené à la forme

$A+A'[g^{\nu e}]+A''[2g^{\nu e}]+{\text{etc. ou}}\quad A+A'[\theta ]+A''[\theta ']+{\text{etc.}}=W'\,;$

en désignant par $\theta ,,\,\theta ',\,\theta '',{\text{ etc.}}$. les résidus minima des nombres $g^{\nu e},\,2g^{\nu e},{\text{ etc.}}$ suivant le module $n\,;$ il est évident, d’après cela que $[q]$ aura dans $W'$ le même coefficient que $[p]$ dans $W$. Mais on voit sans peine que le développement de l’expression (I) donne le même résultat que le développement de l’expression

$\varphi \{[\mu ],[\mu '],[\mu '']{\text{, etc.}}\},$

puisque $\mu \equiv \lambda g^{\nu e},\,\mu '\equiv \lambda 'g^{\nu e}{\text{, etc.}}{\pmod {n}}\,;$ mais cette expression donne le même résultat que

$\varphi \{[\lambda ],[\lambda '],[\lambda '']{\text{, etc.}}\},$

parceque les nombres $\mu ,\,\mu ',\,\mu ''{\text{, etc.}}$ ne diffèrent des nombres $\lambda ,\,\lambda ',\,\lambda ''{\text{, etc.}}$ que relativement à l’ordre, qui n’influe en rien dans une fonction invariable ; donc $W'$ et $W$ seront identiques, et partant $[p]$ et $[q]$ auront même coefficient dans $W$.

Il suit évidemment de là que $W$ peut être ramené sous la forme

$A+a(f,1)+a'(f,g)+a''(f,g^{2})+\,{\text{etc.}}\,+a^{(\epsilon )}(f,g^{e-1})\,:$

les coefficiens $A$, $a,\,a',\,{\text{etc.}}$ seront entiers et déterminés, si tous les coefficiens de $F$ sont rationnels et entiers.

Ainsi, par exemple, si $n=19$, $f=6$ et $\lambda =1,$ et que la fonction $\varphi$ désigne la somme des produits des indéterminées prises deux à deux, sa valeur se ramène à

$3+(6,1)+(6,4).$

De plus, il est facile de voir que si l’on substitue ensuite pour $t,\,u,\,v,\,{\text{etc.}}$ les racines d’une autre période $(f,k\lambda ),$ la valeur de $F$ devient

$A+a(f,k)+a'(f,kg)+a''(f,kg^{2}),\,{\text{etc.}}$

348. Comme dans toute équation

$x^{f}-\alpha x^{f-1}+\beta x^{f-2}-\gamma x^{f-3}+\,{\text{etc}}.\,=0$

les coefficiens $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$, etc. sont des fonctions invariables des racines, savoir, $\alpha$ la somme, $\beta$ la somme des produits des racines prises deux à deux, $\gamma$ la somme des produits trois à trois, etc. ; il en résulte que dans l’équation qui donne les racines contenues dans la période $(f,\lambda )$, le premier coefficient sera $(f,\lambda )$, et chacun des autres pourra être ramené à la forme

$A+a(f,1)+a'(f,g)+a''(f,g^{2})+\,{\text{etc}}.\,+a^{(\epsilon )}(f,g^{e-1}),$

où $A$, $a$, $a'$, etc. sont des entiers. D’ailleurs il est clair que l’équation qui donnerait les racines que contient toute autre période $(f,\lambda k)$ se déduirait de celle-là, si dans chacun des coefficiens on substituait $(f,k)$ pour $(f,1)$, $(f,kg)$ pour $(f,g)$, et généralement $(f,kp)$ pour $(f,p)$. On pourra donc de cette manière assigner un nombre $e$ d’équations

$z=0,\qquad z'=0,\qquad z''=0,\qquad {\text{etc.}}$

qui donneront respectivement les racines contenues dans les périodes

$(f,1),\qquad (f,g),\qquad (f,g^{2}),\qquad {\text{etc.}}$

aussitôt que l’on connaîtra les sommes $(f,1)$, $(f,g)$, $(f,g^{2})$, etc., ou même, que l’on en connaîtra une seule, puisque (n^o 346), la valeur de chacune d’elles peut s’exprimer rationnellement en fonction d’une seule. Cela fait, la fonction $X$ sera décomposée en $e$ facteurs du degré $f\,:$ le produit des fonctions $z,\,z',\,z'',{\text{ etc.}}$

sera évidemment $=X.$

Exemple. Pour $n=19,$

la somme de toutes les racines contenues dans la période $(6,1)$ est………………………………	$=(6,1)$	$=\alpha \,;$
la somme des produits deux à deux est………	$=3+(6,1)+(6,4)$	$=\beta \,;$
la somme des produits trois à trois est…………	$=2+2(6,1)+(6,2)$	$=\gamma \,;$
la somme des produits quatre à quatre est……	$=3+(6,1)+(6,4)$	$=\delta \,;$
la somme des produits cinq à cinq est…………	$=(6,1)$	$=\epsilon \,;$
le produit de toutes………………………………		$=1\,;$

donc l’équation

$z=x^{6}-\alpha x^{5}+\beta x^{4}-\gamma x^{3}+\delta x^{2}-\epsilon +1=0$

donnera toutes les racines contenues dans la période $(6,1).$ Si, dans les coefficiens $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, etc. on substitue

$(6,2),(6,4),(6,1)\qquad {\text{pour}}\qquad (6,1),(6,2),(6,4)$

respectivement, il en résulte l’équation $z',=0$ qui donnera les racines contenues dans $(6,2)\,;$ si l’on fait dans celle-ci le même changement, on a l’équation $z''=0,$ qui donnera les racines contenues dans $(6,4),$ et le produit $zz'z''$ sera égal à $X.$

349. Il est souvent plus commode, surtout quand $f$ est un grand nombre, de déduire les coefficiens $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\,{\text{etc.}}$ des sommes des puissances des racines. Il est évident que la somme des quarrés des racines contenues dans $(f,\lambda )$ est $=(f,2\lambda ),$ que la somme des cubes est $=(f,3\lambda ),\,{\text{etc.}}\,;$ ainsi en faisant pour abréger,

$(f,\lambda )=q,\quad (f,2\lambda )=q',\quad (f,3\lambda )=q'',\quad {\text{etc.}},$

on aura

$\alpha =q,\quad 2\beta =\alpha q-q',\quad 3\gamma =\beta q-\alpha q'+q'',\quad {\text{etc.}}\,;$

expressions dans lesquelles on doit convertir sur-le-champ (n^o 345), les produits de deux périodes en sommes de périodes. Ainsi, dans notre exemple, si l’on fait pour abréger,

$(6,1)=p,\quad (6,2)=p',\quad (6,4)=p'',$

on trouve —$q=p,\quad q'=q''=q^{IV}=p',\quad q'''=q^{V}=p''\,;$
donc

$\alpha$	$=p$,
$2\beta$	$=p^{2}-p'$,	$=6+2p+2p''$,
$3\gamma$	$=(3+p+p'')p-pp'+p'$	$=6+6p+3p'$,
$4\delta$	$=(2+2p+p')-(3+p+p'')p'-p''$	$=12+4p+4p''$,
etc.

Au reste, il suffit de calculer de cette manière la moitié des coefficiens, car on prouve sans difficulté que les derniers sont égaux aux premiers dans l’ordre inverse, savoir le dernier $=1$, l’avant-dernier $=\alpha$, l’antépénultième $=\beta$, etc. ; ou qu’ils s’en déduisent en substituant pour $(f,1)$, $(f,g)$, etc., les périodes $(f,-1)$, $(f,-g)$, etc., c’est-à-dire $(f,n-g)$, $(f,n-1)$. Le premier cas a lieu quand $f$ est pair, le second quand $f$ est impair ; mais le dernier coefficient est toujours $=1$. Cette propriété se tire du théorème du n^o 79, mais nous sommes forcés de ne pas nous arrêter sur ce sujet.

350. Théorème. Si $\mathrm {n} -1$ est le produit de trois nombres entiers positifs $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ et que la période $(\beta \gamma ,\lambda ),$ qui a $\beta \gamma$ termes, soit composée de $\beta$ périodes $(\gamma ,\lambda ),$ $(\gamma ,\lambda '),$ $(\gamma ,\lambda ''),$ etc., dont chacune a $\gamma$ termes ; si de plus, en substituant les sommes $(\gamma ,\lambda ),$ $(\gamma ,\lambda '),$ $(\gamma ,\lambda ''),$ etc. à la place de $\mathrm {t} ,$ $\mathrm {u} ,$ $\mathrm {v} ,$ etc., dans une fonction $\mathrm {F} =\varphi \mathrm {(t,u,v\dots )}$ telle qu’au n^o 347, elle se réduit à $\mathrm {A+a} (\gamma ,1)+\mathrm {a'} (\gamma ,g)...+\mathrm {a} ^{\zeta }(\gamma ,\mathrm {g} ^{\alpha \beta -\alpha })\dots +\mathrm {a} ^{\theta }(\gamma ,\mathrm {g} ^{\alpha \beta -1})=\mathrm {W} \,;$ en supposant d’ailleurs que $\mathrm {F}$ soit une fonction invariable ; les périodes comprises dans $(\mathrm {W} )$, qui appartiendront à une même période de $\beta \gamma$ termes, c’est-à-dire, en général celles qui seront telles que $(\gamma ,\mathrm {g} ^{\mu })$ et $(\gamma ,\mathrm {g} ^{\alpha \nu +\mu }),$ $\nu$ étant un entier quelconque, auront nécessairement les mêmes coefficiens.

La période $(\beta \gamma ,\lambda g^{\alpha })$ étant identique avec la période $(\beta \gamma ,\lambda )$, les périodes plus petites $(\gamma ,\lambda g^{\alpha })$, $(\gamma ,\lambda 'g^{\alpha })$, $(\gamma ,\lambda ''g^{\alpha })$, etc. dont la première est évidemment composée, doivent coïncider avec celles qui composent la seconde, abstraction faite de l’ordre. Si donc on suppose que par la substitution de ces périodes à la place des indéterminées $t$, $u$, $v$, etc., le facteur $F$ se change en $W'$, $W'$ devra coïncider avec $W$. Mais (n^o 347) on a

$W'$	$=A+a(\gamma ,g^{\alpha })+a(\gamma ,g^{\alpha +1})\dots +a^{\zeta }(\gamma ,g^{\alpha \beta })\dots +a^{\theta }(\gamma ,g^{\alpha \beta +\alpha -1})$
	$=A+a(\gamma ,g^{\alpha })+a(\gamma ,g^{\alpha +1})\dots +a^{\zeta }(\gamma ,g^{\alpha \beta })\dots +a^{\theta }(\gamma ,g^{\alpha -1})$

Ainsi, puisque cette expression doit coïncider avec $W,$ le premier coefficient de $W$ (en commençant par $a$) devra être identique avec le $\alpha +1$^ème, le second avec le $\alpha +2$^ème, le troisième avec le $\alpha +3$^ème, etc., et généralement les coefficiens des périodes

$(\gamma ,\,g^{\mu }),\,(\gamma ,\,g^{\alpha +\mu }),\,(\gamma ,\,g^{2\alpha +\mu }),\dots \qquad (\gamma ,\,g^{\nu \alpha +\mu }),$

qui sont les

$\mu +1$^ème,—$\alpha +\mu +1$^ème,—$2\alpha +\mu +1$^ème,...—$\nu \alpha +\mu +1$^ème

respectivement, devront être identiques.

Il suit de là évidemment que $W$ peut être ramené à la forme

$A+a(\beta \gamma ,\,1)+a'(\beta \gamma ,\,g)+\dots +a^{\epsilon }(\beta \gamma ,\,g^{\alpha -1}),$

où tous les coefficiens $A,\,a,{\text{etc.}}$ seront entiers, si tous ceux de $F$ le sont. On voit en outre que si l’on substitue dans $F$ à la place des indéterminées, les $\beta$ périodes de $\gamma$ termes qui constituent une autre période de $\beta \gamma$ termes, telle par exemple que $(\beta \gamma ,\,\lambda k),$ périodes qui sont $(\gamma ,\,\lambda k),\,(\gamma ,\,\lambda 'k),\,(\gamma ,\,\lambda ''k),\,{\text{etc.}},$ la valeur qui en résulte est

$A+a(\beta \gamma ,\,k)+a'(\beta \gamma ,\,gk)+\dots +a^{\epsilon }(\beta \gamma ,\,g^{\alpha -1}k).$

Au reste, il est clair que ce théorème s’étend aussi au cas où $\alpha =1,$ c’est-à-dire, où $\beta \gamma =n-1.$ Alors tous les coefficiens de $W$ sont égaux, et $V$ se ramènera à la forme

$A+a(\beta \gamma ,\,1).$

351. Ainsi, en conservant la notation du n^o précédent, on conclura que les différens coefficiens de l’équation qui donnerait les $\beta$ sommes $(\gamma ,\,\lambda ),\,(\gamma ,\,\lambda '),\,(\gamma ,\,\lambda ''),\,{\text{etc.}}$ peuvent être mis sous la forme

$A+a(\beta \gamma ,\,1)+a'(\beta \gamma ,\,g)\dots +a^{\epsilon }(\beta \gamma ,\,g^{\alpha -1}),$

et que les nombres $A,\,a,\,{\text{etc.}}$ seront entiers. Or l’équation qui donnerait les $\beta$ périodes de $\gamma$ termes qui composent une autre période $(\beta \gamma ,\,\lambda k)$, se déduira de la première, en remplaçant dans tous les coefficiens la période quelconque $(\beta \gamma ,\,\mu )$ par $(\beta \gamma ,\,k\mu ).$ Si donc $\alpha =1$, les $\beta$ périodes de $\gamma$ termes se détermineront par une équation de degré $\beta$, dont les coefficiens peuvent être mis sous la forme $A+a(\beta \gamma ,1)$, et sont parconséquent des quantités connues. Si $\alpha >1$, les coefficiens de l’équation dont les racines sont toutes les périodes de $\gamma$ termes contenues dans une période donnée de $\beta \gamma$ termes, seront des quantités connues, dès que l’on connaîtra les valeurs numériques des périodes de $\beta \gamma$ termes.

Au reste le calcul devient souvent plus facile, surtout quand $\beta$ n’est pas un petit nombre, en calculant d’abord les sommes des puissances des racines, et en déduisant les coefficiens par le théorème de Newton, comme ci-dessus, n^o 349.

Exemple 1. On demande pour $n=19$, l’équation dont les racines sont les sommes $(6,1)$, $(6,2)$, $(6,4)$.

Désignons ces racines par $p$, $p'$, $p''$ respectivement, et l’équation cherchée, par

$x^{3}-Ax^{2}+Bx-C=0\,;$

on aura

$A=p+p'+p''$,—$B=pp'+pp''+p'p''$, —$C=pp'p''$ ;

donc $A=(18,1)=-1\,;$ or on a

${\begin{matrix}pp'&=&p&+2p'&+3p'',\\pp''&=&2p&+3p'&+p'',\\p'p''&=&3p&+p'&+2p'',\end{matrix}}$

donc ————$B=6(p+p'+p'')=6(18,1)=-6$ ;

enfin $C=(p+2p'+3p'')p''=3(6,0)+11(18,1)=18-11=7$ ;

donc l’équation cherchée est

$x^{3}+x^{2}-6x-7=0$.

En employant l’autre méthode, nous avons

${\begin{array}{rlll}p+p'+p''&=-&1,\\p^{2}&=&6+2p+p'+2p'',\\p'^{2}&=&6+2p'+p''+2p,\\p''^{2}&=&6+2p''+p+2p'\,;\end{array}}$

d’où………	$p^{2}+p'^{2}+p''^{2}=18+5(p+p'+p'')$	$=13.$
De même…	$p^{3}+p'^{3}+p''^{3}=36+34(p+p'+p'')$	$=2.$

De là, à l’aide du théorème de Newton, on tire la même équation que ci-dessus.

Exemple 2. On demande pour $n=19$, l’équation dont les racines sont les sommes $(2,1)$, $(2,7)$, $(2,8)$.

Désignons-les par $q$, $q'$, $q''$ respectivement, on aura

${\begin{array}{rlcl}q+q'+q''&=&(6,1),\\qq'+qq''+q'q''&=&(6,1)\,&+(6,4),\\qq'q''&=&2&+(6,2).\end{array}}$

donc en conservant la notation de l’exemple précédent, l’équation cherchée sera

$x^{3}-px^{2}+(p+p'')x-2-p'=0$.

L’équation dont les racines sont les sommes $(2,2)$, $(2,3)$, $(2,5)$ contenues dans $(6,2)$, se déduit de la précédente, en substituant $p'$, $p''$, $p$ pour $p$, $p'$, $p''$ respectivement ; et en faisant encore une fois la même substitution, on obtient l’équation dont les racines sont les sommes $(2,4)$, $(2,6)$, $(2,9)$ contenues dans $(6,4)$.

352. Les théorèmes précédens, avec leurs corollaires, contiennent les bases principales de toute la théorie, et le moyen de trouver les racines $\Omega$ peut s’exposer maintenant en peu de mots.

On doit, avant tout, prendre un nombre $g$ qui soit racine primitive pour le module $n$, et trouver les résidus minima des puissances de $g$ jusqu’à $g^{n-2}$. On décomposera $n-1$ en facteurs, et même en facteurs premiers, si l’on veut réduire le problème à des équations du degré le plus simple possible. Soient $\alpha$, $\beta$, $\gamma$,……$\zeta$ les facteurs de $n-1$, et soit fait

${\frac {n-1}{\alpha }}=\beta \gamma ......\zeta =a$,————${\frac {n-1}{\alpha \beta }}=\gamma ......\zeta =b$, etc.

On distribuera les racines $\Omega$ en $\alpha$ périodes de $a$ termes ; chacune de celles-ci en $\beta$ périodes de $b$ termes ; chacune de ces dernières en $\gamma$ périodes, etc. On cherchera, par le n^o 350, l’équation (A) de degré $\alpha$ qui aura pour racines ces $\alpha$ sommes de $a$ termes, sommes dont on connaîtra les valeurs par la résolution de cette équation.

Mais il se présente ici une difficulté ; car on ne voit pas à quelles périodes on doit égaler chaque racine de l’équation $(A)$, c’est-à-dire, quelle est la racine qui doit être représentée par $(a,1)$, quelle est celle qui doit être représentée par $(a,g)$, etc. On remédiera à cet inconvénient de la manière suivante. On peut désigner par $(a,1)$, une racine quelconque de l’équation $(A)$ ; en effet, comme une racine quelconque de l’équation $(A)$ est la somme de $a$ racines $\Omega$, et qu’il est absolument indifférent que l’on ait représenté par $[1]$ telle racine de $\Omega$ plutôt que telle autre, on sera libre de supposer que $[1]$ soit une des racines qui constituent une racine quelconque donnée de l’équation $(A)$, desorte qu’alors cette racine de l’équation $(A)$ deviendra $(a,1)$. Mais la racine $[1]$ n’est-pas encore par-là tout-à-fait déterminée, et le choix de celle des racines comprises dans $(a,1)$ que nous prendrons pour $[1]$ est absolument arbitraire. Au reste, une fois que $(a,1)$ est déterminé, toutes les autres sommes de $a$ racines peuvent en être déduites rationnellement (n^o 346) ; d’où il suit qu’il n’y a qu’une racine de l’équation $(A)$ qu’il soit nécessaire de trouver. On peut aussi employer pour faire cette distinction, la méthode suivante qui est moins directe. On prendra pour $[1]$ une racine déterminée, c’est-à-dire, qu’on fera

$[1]=\cos {\frac {kP}{n}}+i\,\sin {\frac {kP}{n}},$

l’entier $k$ étant pris à volonté, pourvu qu’il ne soit pas divisible par $n$. Alors $[2]$, $[3]$, etc. indiquent des racines déterminées, et parconséquent $(a,1)$, $(a,g)$, etc. Si par les tables des sinus on calcule ces quantités, seulement avec assez de précision pour pouvoir décider quelles sont les plus grandes et les plus petites, il ne restera plus de doute sur la distinction à faire entre les racines de l’équation $(A)$.

Quand on aura trouvé de cette manière les $\alpha$ sommes de $a$ racines, on cherchera (n^o 350) l’équation $(B)$, dont les racines sont les $\beta$ sommes de $b$ termes contenues dans $(a,1)$ ; les coefficiens de cette équation seront des quantités connues. Comme il y a encore de l’indétermination dans le choix de celle des racines contenues dans $(a,1)$, que l’on désignera par $[1]$, toute racine de l’équation $(B)$ peut être représentée par