Recherches arithmétiques/Section cinquième (fin)

Après avoir exposé succinctement les premiers élémens des formes ternaires, nous allons passer à quelques applications particulières, parmi lesquelles le problème suivant mérite la première place.

286. Problème. Étant donnée une forme binaire de déterminant appartenant au genre principal, trouver une forme binaire qui donne par sa duplication.

1o. On cherchera une représentation propre de la forme par la forme ternaire  ; supposons qu’elle soit

, ——, ——


Il est aisé de voir, par la théorie précédente, que la chose est toujours possible. En effet, étant, par hypothèse, du genre principal, on pourra trouver une valeur de l’expression (no 233, 6o), et parconséquent une forme ternaire de déterminant , dans laquelle la forme entre comme partie, et dont l’on voit facilement que fous les coefficiens sont entiers. Il est également clair que la forme doit être indéfinie, puisque, par hypothèse, n’est certainement pas une forme négative ; donc sera équivalente à la forme , on pourra parconséquent assigner une transformation de en , qui fournira une représentation propre de par la forme  ; d’ailleurs on aura , ,  ; d’où l’on voit qu’en faisant , , , ces nombres n’auront pas de commun diviseur, et qu’on aura .

2o. De là et à l’aide de la dernière observation du no 235, on peut facilement conclure que , par la substitution , , ,  ; , , , , se change en le produit de la forme par elle-même, et par la substitution , , ,  ; , , , , en le produit de la forme par elle-même. Or le plus grand commun diviseur des nombres , , est  ; si donc est impair, , , n’auront pas de commun diviseur, et la forme sera une forme proprement primitive. De même si est impair sera une forme proprement primitive ; dans le premier cas, naît de la duplication de la forme , et dans le deuxième, de la duplication de la forme . (Voyez Conclus. 4, no 235). Or un de ces cas arrivera nécessairement. En effet, si , étaient tous deux pairs, serait nécessairement impair ; or on s’assure aisément que l’on a ,  ; donc et , et partant et seraient tous les deux pairs ; et le seraient donc aussi, ce qui est contre l’hypothèse, puisque est une forme du genre principal, et parconséquent de l’ordre proprement primitif. Au reste il peut arriver que et soient impairs, et dans ce cas on a deux formes qui produisent par leur duplication.

Soit proposée, par exemple, la forme de déterminant on trouve pour valeur de l’expression  ; donc la forme ternaire . Or par les règles du no 272, on trouve la forme équivalente à , et qui se change en elle par la substitution

, ,  ; ——, ,  ; ——, ,


De là, à l’aide des transformations consignées no 277, on trouve que se change en par la substitution

, ,  ; ——, ,  ; ——, ,


ainsi , , . Et comme est impair, naît de la duplication de la forme se change en le produit de cette forme par elle-même, par la substitution , , ,  ; , , , .

287. Nous ajouterons les observations suivantes sur le problème précédent.

1o. Si une forme se change, par la substitution , , ,  ; , , , , en le produit des deux formes , , toutes deux étant prises directement, comme nous le supposons toujours, on déduira facilement de la troisième conclusion du no 235 les équations

,
,
,


et trois autres qu’on obtient en remplaçant dans celles-ci , , , par , , , . et sont les racines quarrées positives des quotiens qui résultent de la division des déterminans des formes , par celui de la forme . Si donc ces formes sont identiques ou qu’on ait , , , , les équations précédentes deviennent , ,  ; donc on a nécessairement , et absolument de la même manière,  ; ainsi, en donnant aux formes , les mêmes indéterminées et , et désignant par , les indéterminées de la forme , se changera en par la substitution

2o. Si la forme naît de la duplication de la forme , elle naîtra aussi de la duplication de toute forme contenue dans la même classe que , ou la classe de la forme naîtra de la duplication de la classe de la forme (no 238). Ainsi dans l’exemple du no précédent, naîtra aussi de la duplication de la forme , proprement équivalente à . Une fois qu’on connaît une classe de la duplication de laquelle résulte la classe de la forme , on les trouvera toutes, s’il y en a plusieurs, à l’aide du problème du no 260. Dans notre exemple, il n’y a pas d’autre classe positive de cette espèce, parcequ’il n’y a qu’une seule classe ambiguë proprement primitive et positive de déterminant , qui est la classe principale. Comme de la composition de la seule classe ambiguë négative avec la classe , il résulte la classe  ; celle-ci sera la seule classe négative dont la duplication donne la classe .

3o. Comme la solution du problème du no précédent prouve que toute classe de formes binaires qui est proprement primitive, positive et qui appartient au genre principal, résulte de la duplication d’une classe proprement primitive de même déterminant, le théorème du no 261, par lequel nous étions certains qu’il y avait au moins la moitié de tous les caractères assignables pour un déterminant non quarré, auxquels ne répondît aucun genre proprement primitif-positif, reçoit par là plus de développement ; puisque nous voyons qu’il y a moitié de ces caractères auxquels répondent des genres, et moitié auxquels il n’en répond aucun (Voyez la démonstration de ce théorème). Donc, puisque nous avons distribué (no 263) tous ces caractères assignables en deux espèces et , composées d’un même nombre, desquelles la dernière, , ne pouvait répondre aux formes proprement primitives positives, tandis qu’il était incertain si chaque caractère de l’espèce répondait effectivement à quelque genre ; maintenant il ne reste aucun doute qu’il n’y a aucun caractère de cette espèce auquel ne réponde un genre.

On déduit facilement aussi de là, pour le déterminant négatif dans l’ordre proprement primitif négatif, à l’égard duquel nous avons prouvé (no 264, 1o) qu’il n’y avait d’admissibles que les caractères , qu’ils le sont tous effectivement. Soit en effet un des caractères de , une forme quelconque de l’ordre proprement primitif négatif de déterminant , et son caractère, appartiendra à l’espèce  ; donc le caractère composé de et , d’après le no 246, appartiendra à l’espèce , et partant il y a des formes positives proprement primitives de déterminant , qui lui répondent ; en composant donc une de ces formes avec la forme , il en naîtra une proprement primitive négative de déterminant dont le caractère sera .

On prouverait absolument de la même manière, pour l’ordre improprement primitif, que les caractères démontrés seuls possibles (no 264, 2o et 5o) sont tous possibles, qu’ils soient de l’espèce ou de l’espèce .

Ces théorèmes, si nous ne nous trompons étrangement, doivent être rangés parmi les plus beaux de la théorie des formes binaires, surtout parceque, malgré leur grande simplicité, ils sont tellement cachés qu’il n’est pas possible d’en donner la démonstration rigoureuse, sans le secours d’un grand nombre d’autres recherches.

Nous passons maintenant à une autre application de la digression précédente, savoir, la décomposition, tant des nombres que des formes binaires en trois quarrés. Nous résoudrons d’abord le problème suivant ;

288. Problème. étant un nombre positif, trouver les conditions auxquelles doivent satisfaire les formes binaires primitives négatives de déterminant , qui sont résidus quadratiques de , ou pour lesquelles est le nombre caractéristique.

Désignons par l’ensemble de tous les caractères particuliers que donnent les relations du nombre aux différens diviseurs premiers impairs de , et au nombre ou , quand il divise . Ces caractères seront évidemment , , , etc., , , , etc. étant les diviseurs premiers, et ou , suivant que ou divise . Employons en outre les lettres et dans le même sens qu’au no précédent ou qu’au no 263. Nous distinguerons les cas suivans :

1o. Quand est divisible par , sera le caractère complet, et il est clair (no 233, 5o) que ne peut être nombre caractéristique que de formes dont le caractère est . Mais il est manifeste que est le caractère de la forme principale , que parconséquent il est de l’espèce , et qu’ainsi il ne peut appartenir à aucune forme proprement primitive négative, et comme il n’y a pas de forme improprement primitive pour ce déterminant, il n’y a pas de formes primitives négatives qui soient dans ce cas résidus de .

2o. Quand , les mêmes raisonnemens ont lieu, avec cette seule différence que dans ce cas l’ordre improprement primitif négatif existe, dans lequel les caractères de l’espèce seront possibles ou impossibles, suivant que ou , (Voyez no 264, 3o.) Si donc , il y aura dans cet ordre un genre dont sera le caractère, ainsi sera nombre caractéristique de toutes les formes qui y seront contenues. Si , aucune forme négative ne pourra jouir de cette propriété.

3o. Quand , n’est pas le caractère complet, il faut y ajouter la relation à . Mais il est clair que doit nécessairement entrer dans le caractère de la forme dont est nombre caractéristique, et que réciproquement toute forme dont le caractère est  ; ou  ; aura pour nombre caractéristique. Or,  ; est le caractère du genre principal, qui appartient à et est parconséquent impossible dans l’ordre proprement primitif négatif. Par la même raison, le caractère  ; appartiendra à (no 263) ; donc il y aura dans l’ordre proprement primitif négatif un genre qui lui répondra et dont toutes les formes auront pour nombre caractéristique.

Dans ce cas, non plus que dans le suivant, il n’y a pas d’ordre improprement primitif.

4o. Quand , il faut joindre à la relation au nombre , pour avoir le caractère complet. Ces relations sont et ou et , quand , et et ou et , quand . Pour le premier cas, le caractère  ; et appartient évidemment à , et partant le caractère  ; et appartient à  ; donc il répond à ce dernier caractère un genre proprement primitif négatif. Par la même raison, pour le second cas, il y a dans l’ordre proprement primitif négatif un genre dont les formes sont douées des propriétés précitées ; le caractère de ce genre est  ; et .

Il résulte de tout cela qu’il n’y a de formes primitives de déterminant , dont le nombre caractéristique soit , que quand est congru à l’un des nombres , , , , , suivant le module , et cela dans un seul genre qui sera impropre quand desorte qu’il n’en existe aucune lorsque , ou . Au reste, il est évident que si est une forme primitive négative qui ait pour nombre caractéristique, sera une forme primitive positive dont le nombre caractéristique sera . On voit par là que dans les cinq premiers cas (quand , , , , ), il existe un genre primitif positif dont le nombre caractéristique est , genre impropre si , et que dans les trois autres (quand , , ) il n’en existe aucune.

289. À l’égard des représentations propres des formes binaires par la forme ternaire , on peut déduire ce qui suit de la théorie générale exposée au no 282.

1o. La forme binaire ne peut être représentée par la forme , à moins qu’elle ne soit primitive, positive, et que son nombre caractéristique ne soit (déterminant de la forme ). Ainsi aucune forme de déterminant positif, ou même de déterminant négatif , si ou ne pourra être représentée proprement par

2o. Mais si est une forme primitive positive de déterminant , et que soit son nombre caractéristique, il sera aussi celui de son opposée , et alors chaque valeur de l’expression fournira des représentations de par , c’est-à-dire que les coefficiens de la forme ternaire de déterminant (no 283) seront nécessairement entiers, que sera une forme définie et partant équivalente à (no 285, I).

3o. Le nombre des représentations qui appartiennent à la même valeur de l’expression est égal dans tous les cas, excepté dans ceux où ou , au nombre de transformations de en (no 285, III), et sera parconséquent (no 285) égal à . Il suit de là que lorsque l’on connaîtra une représentation appartenante à une valeur donnée, on trouvera les autres, tant en permutant les valeurs de , , entre elles de toutes les manières possibles, qu’en les affectant de différens signes. Ainsi les quarante-huit représentations ne donnent qu’une seule décomposition de la forme en trois quarrés, si l’on ne considère que les quarrés, et non l’ordre et les signes des racines,

4o. Soit le nombre des diviseurs premiers impairs de  ; on déduit sans peine du no 233, que le nombre de toutes les valeurs différentes de l’expression est , dont on ne doit considérer que la moitié (quand ) : ainsi le nombre de toutes les représentations propres de la forme par sera  ; mais le nombre des décompositions en trois quarrés n’est que .

Exemple. Soit , et partant  ; on a ici à considérer (no 283) les quatre valeurs suivantes et l’expression  :


Pour trouver les représentations qui appartiennent à la valeur , on détermine d’abord la forme ternaire , en laquelle on trouve que se change, à l’aide des méthodes précédentes (nos 272 et 275), par la substitution

, ,  ; ——, ,  ; ——, ,


D’où résulte pour la représentation de par ,


Pour abréger, nous nous dispensons d’écrire les autres représentations qui naissent de celle-là par permutation et changement de signes. Mais ces représentations ne donnent qu’une seule décomposition en trois quarrés,


Absolument de la même manière on tire :

de la valeur ——— la décomposition
.


Chacune de ces décompositions répond à représentations. Mais ces représentations ou ces quatre décompositions sont les seules, parceque, n’étant divisible par aucun quarré, il ne peut y avoir de représentations impropres.

290. Nous ajouterons quelque chose de particulier à l’égard des formes de déterminant et , qui sont sujettes à quelques exceptions. Observons d’abord généralement que si , sont deux formes binaires équivalentes quelconques, (Θ) une transformation de la première en la seconde, en combinant avec (Θ) une représentation quelconque de la forme par une certaine forme ternaire , on obtient une représentation de la forme par  ; en outre, que de cette manière, les représentations propres de conduisent à des représentations propres de , les représentations différentes de à des représentations différentes de , et qu’en opérant de même sur toutes les premières, on obtiendra toutes les dernières. Tout cela se prouve facilement par le calcul. Ainsi l’une des formes peut se représenter par d’autant de manières que l’autre.

1o. Soit d’abord et une autre forme binaire de déterminant qui sera parconséquent équivalente à  ; supposons que se change en par la substitution , . La forme se représente par la forme ternaire , en posant , , . En permutant , , , il en résulte six représentations, et de chacune d’elles on en déduit quatre en changeant les signes de et de , desorte qu’il y a en tout vingt-quatre représentations différentes qui répondent à une seule décomposition en trois quarrés et qui sont évidemment les seules. On conclut de là que la forme ne peut se décomposer que d’une seule manière en trois quarrés, qui sont :


cette décomposition équivaut à vingt-quatre représentations.

2o. Soit , et une autre forme quelconque de déterminant , en laquelle se change par la substitution , on conclura, comme dans le cas précédent, que et parconséquent ne peut être décomposé que d’une seule manière en trois quarrés, savoir, en , et en


on voit facilement que cette décomposition revient à vingt-quatre représentations.

Il suit de là que les formes binaires de déterminant et s’accordent parfaitement avec les autres, quant au nombre des représentations par la forme ternaire  ; en effet, comme dans les deux cas on a , la formule donnée au numéro précédent, 4o, conduit à vingt-quatre représentations. Cela vient de ce que les deux exceptions auxquelles elles sont sujettes se compensent mutuellement.

Nous omettons, pour abréger, d’appliquer à la forme la théorie générale des représentations impropres exposée au no 284.

291. La recherche des représentations d’un nombre donné positif , par la forme est d’abord ramenée, par le no 281, à la recherche des représentations du nombre par la forme Or on trouve ces dernières par les procédés du no 280, ainsi qu’il suit :

1o. On cherchera toutes les classes de formes binaires de déterminant dont les formes peuvent être représentées proprement par la forme qui a pour adjointe. Quand ou (no 288) il n’existe point de telles classes, et parconséquent le nombre ne peut pas être décomposé en trois quarrés qui n’aient pas de diviseur commun[1]. Mais quand ou il aura un genre positif proprement primitif, et quand , un genre improprement primitif, qui renfermera toutes ces classes dont nous représenterons le nombre par .

2o. De chacune de ces classes on tirera à volonté une forme ; soient ces formes etc. On cherchera les représentations propres de chacune d’elles par le nombre en sera étant le nombre des facteurs premiers impairs de Chaque représentation de cette espèce, telle que


donnera une représentation de par , qui sera


et l’ensemble de ces représentations, que nous désignerons par , renfermera nécessairement toutes les représentations de .

3o. Ainsi il ne reste plus qu’à examiner si dans il peut se trouver des représentations identiques, et comme (no 280, 3o) les représentations qui sont dérivées de formes différentes sont nécessairement différentes, tout se réduit à chercher si, parmi celles qui se déduisent de la même forme, de , par exemple, il peut y en avoir d’identiques. Or il est évident, au premier coup-d’œil, que si, parmi les représentations de , on trouve la suivante :

…(r),


on y trouvera aussi

…(r'),


et que de chacune on déduit la même représentation de , que nous désignerons par (R) ; examinons donc si la représentation (R) peut encore résulter d’autres représentations de la forme . On voit par le no 280, 3o, en y faisant , et supposant que toutes les transformations propres de en elle-même soient données par les formules , , que toutes les représentations de la forme , dont (R) peut résulter, seront exprimées par

,
,
 ;


mais il résulte de la théorie exposée no 179, sur les transformations des formes binaires de déterminant négatif, qu’excepté les cas où l’on a ou il n’y a jamais que deux transformations propres de la forme en elle-même : et On doit remarquer en effet que la forme étant primitive, le nombre désigné par au no 179 est ici ou et qu’ainsi le premier cas a nécessairement lieu, excepté pour les valeurs et du déterminant. Donc (R) ne peut provenir que des seules représentations et et parconséquent toute représentation propre du nombre est contenue deux fois dans mais ne peut l’être davantage. Le nombre des représentations propres différentes de est donc .

Pour ce qui regarde les cas exceptés, le nombre des transformations de en elle-même sera (no 179) pour , et pour  : et en effet, on voit facilement que le nombre des représentations de et sont et respectivement, puisque chacun de ces nombres ne peut se décomposer que d’une manière en trois quarrés, savoir, en , et en . La décomposition de donne six représentations, celle de en donne huit. Or, pour , on a (puisque et ) ; pour , on a (puisque et ).

Au reste, observons que si désigne le nombre de classes du genre principal, qui (no 252) est égal au nombre de classes de tout autre genre proprement primitif, on aura pour , , , ,  ; mais pour , excepté le seul cas où , dans lequel . Ainsi, pour les nombres de la forme , le nombre des représentations est en général , puisque dans le cas où , les deux exceptions le comprennent.

292. Nous avons distingué les décompositions en trois quarrés, tant pour les nombres que pour les formes binaires, des représentations par la forme , en considérant dans les premières que la grandeur des quarrés, et dans les dernières, en outre de la grandeur des racines, leur ordre et les signes qui les affectent ; de manière que nous regardons comme différentes les deux représentations , , , et ,, tant que l’on n’a pas , ,  ; tandis que les décompositions , n’en font qu’une seule, si les premiers quarrés sont égaux aux derniers, sans faire attention à leur ordre. Il suit de là

1o. Que la décomposition du nombre en trois quarrés équivaut à quarante-huit représentations, si aucun n’est nul, et qu’ils soient tous inégaux ; à vingt-quatre, si l’un des quarrés est nul et que les autres soient inégaux, ou qu’aucun ne soit nul et que deux soient égaux. Mais si deux quarrés sont nuls, ou que l’un d’eux soit nul, tandis que les deux autres sont égaux, ou enfin qu’ils soient tous trois égaux, la décomposition équivaudra à six, à douze ou à huit représentations. Or cela ne peut arriver que dans les cas particuliers où , ou , ou respectivement, tant que les représentations doivent être propres. Excluons ces trois cas ; désignons par le nombre total des décompositions du nombre en trois quarrés qui n’aient de commun diviseur, et supposons que parmi ces décompositions il y en ait dans lesquelles un des quarrés soit nul, et ë dans lesquelles deux des quarrés soient égaux : on peut regarder les premières comme des décompositions en deux quarrés, et les dernières comme des décompositions en un quarré et le double d’un quarré. Alors le nombre total des représentations du nombre par sera


Mais de la théorie des formes binaires on déduit facilement que sera ou , ou , suivant que est non-résidu, ou résidu quadratique de , et que sera , ou , suivant que est non-résidu ou résidu de , étant le nombre des facteurs premiers impairs de (no 182) ; nous supprimons le développement de cette conséquence : il suit de là que l’on a

,          si et sont non-résidus de  ;
, si l’un des deux est résidu, et l’autre non-résidu ;
, si et sont résidus de .

Ces formules ne sont pas applicables aux cas où ou , car elles donnent , tandis que l’on doit avoir  ; mais pour on trouve , parceque les exceptions se compensent.

Toutes les fois que est un nombre premier, on a , et partant,

, si .
, si ou . ——(nos 108 et 116),

Legendre a découvert par induction ces théorèmes particuliers, et les a consignés dans le Mémoire que nous avons déjà cité souvent avec éloge. (Hist. de l’Acad. de Paris, 1785, p. 530 et suivantes). S’ils sont présentés sous une forme un peu différente, c’est que ce savant géomètre n’a pas distingué l’équivalence propre de l’équivalence impropre, et a parconséquent mêlé avec les autres les formes opposées.

2o. Pour trouver toutes les décompositions d’un nombre donné en trois quarrés premiers entre eux, il n’est pas nécessaire de chercher toutes les représentations propres des formes , , , etc. En effet, on voit d’abord facilement que les quarante-huit représentations de la forme qui appartiennent à la même valeur de l’expression , donnent la même décomposition du nombre , et que parconséquent il suffit d’avoir une de ces représentations, ou, ce qui revient au même, de connaître les différentes décompositions[2] de la forme en trois quarrés. Il en est de même des formes , , etc. En outre, si appartient à une classe non-ambiguë, on pourra ne pas s’occuper de la forme qui serait tirée de la classe opposée, c’est-à-dire que de deux classes opposées, il suffit d’en considérer une. Comme il est en effet indifférent de prendre telle ou telle forme dans chaque classe, supposons que dans la classe opposée à celle où est , on ait choisi la forme opposée à , que nous désignerons par . On voit alors au premier abord, que si les décompositions propres de la forme sont représentées indéfiniment par


les décompositions de la forme le seront par


qui donnent les mêmes décompositions du nombre que les premières. Enfin, dans le cas où la forme est d’une classe ambiguë, sans être de la classe principale, ni équivalente à la forme ou à la forme (suivant que est pair ou impair), on pourra omettre la moitié des valeurs de l’expression  ; mais pour abréger nous ne donnerons pas plus de détails sur cette simplification. — Au reste, on peut employer ces simplifications, même quand on veut avoir les représentations propres de par , puisque l’on déduit facilement celles-ci dès qu’on a les décompositions.

Cherchons, par exemple, toutes les manières de décomposer en trois quarrés le nombre , par lequel , , et partant  ; par la classification des formes binaires positives de déterminant , classification que chacun peut faire à l’aide de ce qui a été dit no 231, et que nous pouvons nous dispenser d’inscrire ici, on trouve qu’il y a trente-deux classes qui sont toutes proprement primitives et peuvent se distribuer en huit genres, desorte qu’on a et . Le genre dont le nombre caractéristique est doit avoir, à l’égard des nombres , , , les caractères particuliers  ;  ;  : d’où (no 263) l’on conclut facilement que le caractère de ce genre, à l’égard du nombre , doit être et . Or le genre dont le caractère est et  ;  ;  ; , comprend quatre classes, pour représentantes desquelles nous prendrons les formes


mais nous rejetons la seconde et la quatrième classes, comme opposées à la première et à la troisième. Or nous avons déjà donné (no 289) les quatre décompositions de la forme , il en résulte pour les décompositions du nombre en trois quarrés


on trouve de la même manière, pour la forme , les quatre décompositions

,
,
,
,


qui résultent des valeurs respectives


de l’expression , et donnent les décompositions du nombre en


Ces huit décompositions sont les seules que l’on puisse avoir.

Quant à ce qui regarde celles dans lesquelles les quarrés ont des diviseurs communs, l’application de la théorie générale du no 281 est trop facile pour qu’il soit nécessaire que nous nous y arrêtions.

293. Les recherches précédentes servent aussi à démontrer que tout nombre entier positif est toujours décomposable en trois nombres triangulaires ; théorème célèbre trouvé par Fermat, mais dont la démonstration manquait jusqu’à présent[3]. Il est évident que toute décomposition du nombre en trois nombres triangulaires


conduit à une décomposition du nombre en trois quarrés impairs


et réciproquement. Mais par la théorie précédente, tout nombre entier positif est décomposable en trois quarrés, qui seront nécessairement impairs (no 291, note), et le nombre des décompositions dépend, tant de celui des facteurs premiers de , que de celui des classes suivant lesquelles peuvent être distribuées les formes binaires dont le déterminant est Nous supposons que le nombre soit regardé comme triangulaire, quelque valeur entière que l’on donne à  ; si l’on voulait exclure zéro des nombres triangulaires, il faudrait énoncer le théorème de la manière suivante : Tout nombre entier positif est triangulaire, ou decomposable en deux ou en trois nombres triangulaires. Il faut faire le même changement dans le théorème suivant, si l’on veut exclure zéro du nombre des quarrés.

On démontre par les mêmes principes cet autre théorème de Fermat : Tout nombre entier positif est décomposable en quatre quarrés. En effet, si l’on retranche d’un nombre de la forme un quarré pair ; d’un nombre de la forme un quarré arbitraire ; d’un nombre de la forme , un quarré impair ; les restes seront décomposables en trois quarrés. Quant aux nombres de la forme , on peut les représenter par , étant nécessairement de l’une des trois formes ci-dessus ; or quand on aura décomposé le nombre , en quatre quarrés, le nombre le sera aussi. D’un nombre de la forme , on pourrait encore retrancher le quarré d’un nombre pairement pair ; d’un nombre de la forme le quarré d’un nombre impairement pair ; d’un nombre de la forme , le quarré d’un nombre impair, et le reste sera décomposable en trois quarrés. Au reste, ce théorème a déjà été démontré par Lagrange (Nouveaux Mémoires de l’Acad. de Berlin, 1770, p. 123). La démonstration de cet illustre géomètre, qui est entièrement différente de la nôtre, a été exposée avec plus de détails par Euler (Acta Ac.Petr. Vol. II, p. 48).

Les autres théorèmes de Fermat, qui font, pour ainsi dire, la continuation des précédens, savoir : que tout nombre entier est décomposable en cinq nombres pentagones, six nombres hexagones, sept heptagones, manquent jusqu’à présent de démonstration et paraissent exiger d’autres principes.

294. Théorème. étant des nombres premiers entre eux, dont aucun n’est , ni divisible par un quarré, l’équation (ω) n’admettra pas de solutions entières (excepté la solution que nous ne considérons pas), à moins que ne soient résidus quadratiques de respectivement, et que ces derniers ne soient affectés de signes différens ; mais si ces conditions ont lieu, l’équation (ω) sera résoluble en nombres entiers.

Si (ω) est résoluble en nombres entiers, elle le sera par des valeurs de , , qui n’auront pas de diviseur commun ; car toutes les valeurs qui satisferont à l’équation (ω), y satisferont encore après avoir été divisées par leur plus grand commun diviseur. Supposons donc que l’on ait et que soient premiers entre eux, ils le seront aussi deux à deux. En effet, si et avaient un commun diviseur ce nombre serait premier avec  ; mais divise , donc il diviserait , contre l’hypothèse : par la même raison, et , et sont premiers entre eux ; peut donc être représenté par la forme binaire , en attribuant à , des valeurs premières entre elles et qui seront celles de et de  ; ainsi le déterminant de cette forme est résidu quadratique de et parconséquent de (no 154). On aura de la même manière , . Quant à la condition qui exige que n’aient pas le même signe, elle est si évidente qu’elle n’a pas besoin d’explication.

Pour démontrer la proposition inverse, qui constitue la seconde partie du théorème, nous commencerons par donner le moyen de trouver une forme équivalente à la forme et telle que les deuxième, troisième et quatrième coefficiens soient divisibles par , et de là nous déduirons la solution de l’équation (ω).

1o. On cherchera trois nombres entiers qui n’aient pas de diviseur commun, et tels que soit premier avec et avec et avec et tandis que sera divisible par ce qui se fait de la manière suivante : Soient respectivement des valeurs des expressions

, ——, ——


valeurs qui seront nécessairement premières avec respectivement. On prendra à volonté les trois nombres entiers pourvu qu’ils soient respectivement premiers avec (on peut, par exemple, les prendre tous égaux à ) Cela posé, on déterminera , , de manière qu’on ait

——et—— ,
——et—— ,
——et——  ;


on aura alors


c’est-à-dire que est divisible par on prouvera de la même manière, qu’il est divisible par et par et parconséquent par . On voit en outre que est premier avec et avec et avec et S’il arrivait que les valeurs de eussent un diviseur commun serait nécessairement premier avec et partant avec  ; donc en divisant ces valeurs par , on en obtiendra de nouvelles qui n’auront pas de diviseur commun, et qui satisferont à la condition de rendre divisible par et parconséquent à toutes les conditions.

2o. étant ainsi déterminés, n’auront pas non plus de commun diviseur ; en effet , étant premier avec et il s’ensuivrait que le plus grand commun diviseur supposé, que nous désignerons par serait premier avec on prouvera de même que est premier avec et  ; donc il devrait diviser , , , contre l’hypothèse. On pourra donc trouver trois nombres , tels que l’on ait  : on cherchera six nombres  ; tels qu’on ait

,
,
 ;


la forme se changera, par la substitution

, ,  ; ——, ,  ; ——, ,


en une certaine forme qui lui sera équivalente, et dans laquelle , , seront divisibles par . Posons en effet


on aura

,
,
,
,
,
,


et en substituant ces valeurs dans les équations

,
,
,


on trouve, suivant le module ,

,
,
,


c’est-à-dire, que , , sont divisibles par  : on démontre de même qu’ils sont divisibles par et par , et ainsi par .

3o. Faisons, pour abréger, le déterminant des formes , , c’est-à-dire, le nombre , , , , , ,  ; il est clair que se change, par la substitution

, ,  ; ——, ,  ; ——, ,


en la forme ternaire déterminant , qui est parconséquent contenue dans . Or je dis que cette forme est nécessairement équivalente à la forme . En effet, il est évident que est une forme ternaire de déterminant  ; or, comme par hypothèse , , n’ont pas tous les trois le même signe, est une forme indéfinie, d’où l’on conclut facilement que et sont aussi des formes indéfinies ; donc sera équivalente à la forme (no 277), et l’on pourra trouver une transformation (S’) de la première en la seconde. Mais d’ailleurs la transformation (S’) change en  ; donc sera contenue dans , et de la combinaison des substitutions (S), (S’), on déduira une transformation de en . Représentons-la par


il est évident qu’il en résultera deux solutions de l’équation (ω) :


on voit aussi que les valeurs ne peuvent être toutes égales à zéro en même temps, puisque l’on doit avoir

Exemple. Soit l’équation proposée ; elle est résoluble, puisqu’on a , , , On trouve pour valeurs de , , les nombres , , , et faisant , on en déduit , , . De là résulte la substitution


par laquelle se change en . On trouve pour la substitution (S)


et  ;


on trouve enfin que se change en , par la substitution (S’)


qui, combinée avec (6), donne la suivante :


par laquelle se change en . Nous avons donc une double solution de l’équation proposée, savoir : , ,

 ; , , . La dernière devient plus simple, en divisant les valeurs par leur diviseur commun , et elle donne , , .

295. La seconde partie du théorème du no précédent peut encore être traitée de la manière suivante. Conservons aux lettres , , la même signification que dans le no précédent ; on cherchera un entier tel qu’on ait , et l’on fera . Il est aisé de voir que est entier, et que est le déterminant de la forme binaire . Cette forme ne sera certainement pas positive, puisque , , n’étant pas tous de même signe, et ne peuvent pas être tous deux positifs. Or sera son nombre caractéristique, ce qui peut se démontrer synthétiquement de la manière suivante : Si l’on détermine les entiers , de manière à avoir et , et , sera une valeur de l’expression  ; en effet, suivant le module , on aura

——ou——  ;


et suivant le module ,

——ou—— ,
——ou——  ;


mais puisque les trois mêmes congruences ont lieu à-la-fois pour les modules et , elles ont lieu aussi suivant le module . On conclut facilement de là, par la théorie des formes binaires, que est représentable par la forme . Supposons donc


on aura, en multipliant par ,


donc si l’on donne à et des valeurs telles que l’on ait ou , on aura une solution de l’équation (ω), à laquelle parconséquent on peut satisfaire de deux manières, en faisant

, ——, ——,
ou—— , ——, ——.


On voit en même temps que ni les premières ni les secondes valeurs ne peuvent être ensemble  ; en effet, si l’on avait et , il s’ensuivrait aussi , et partant , d’où , contre l’hypothèse : on démontrerait de même pour les autres.

Dans l’exemple que nous avons donné, on trouve pour la forme celle-ci  ; en outre est une valeur de l’expression , et la représentation de la forme par la forme est


d’où résultent les solutions  ; ou en divisant par et ne faisant pas attention au signe de

Des deux méthodes que nous venons de donner pour résoudre l’équation (ω), la seconde est préférable, parceque le plus souvent on n’emploie que de petits nombres ; mais la première, qui peut s’abréger par différens artifices que nous passerons sous silence, paraît plus élégante, surtout parceque les nombres , , sont traités de la même manière, et que leur permutation ne change rien au calcul. La même chose n’a pas lieu dans la seconde, où le calcul devient souvent plus commode en prenant pour a le plus petit, pour le plus grand des trois nombres, comme nous l’avons fait dans notre exemple.

296. Le théorème élégant que nous avons exposé dans les nos précédens, a été trouvé par Legendre (Hist, de l’Acad. de Paris, 1785, p. 507), qui en a donné une belle démonstration, mais entièrement différente des deux nôtres. Cet excellent géomètre a cherché en même temps à tirer de là une démonstration des propositions qui reviennent au théorème fondamental de la section précédente, démonstration que nous avons déjà annoncé (no 151) ne pas nous paraître remplir le but qu’il s’était proposé. Il est donc à propos d’exposer ici en peu de mots cette démonstration, qui est très-élégante, et d’y joindre les motifs de notre jugement.

Il commence par observer que si trois nombres sont l’équation (ω) n’est pas résoluble. En effet, on voit facilement que la valeur de deviendrait nécessairement , , , à moins que l’on ne donnât à , , des valeurs paires : donc si (ω) était résoluble, ce ne pourrait être que par des valeurs paires, ce qui est absurde, puisque toutes les fois que trois nombres satisfont à l’équation (ω), ils y satisferont encore après qu’ils auront été divisés par leur plus grand commun diviseur, et que par cette opération il résulterait au moins un nombre impair. Or les différens cas du théorème à démontrer se rapportent aux suivans :

I. et désignant des nombres premiers de la forme positifs et inégaux, on ne peut pas avoir en même temps et . En effet, si cela était possible, il est évident qu’en posant , , , toutes les conditions nécessaires pour la résolution de l’équation seraient remplies (no 294). Mais d’après l’observation précédente, cette équation n’admet aucune solution, donc la supposition ne peut subsister. De là suit sur-le-champ la proposition 7 du no 131.

II. Si est un nombre premier de la forme , et un nombre premier de la forme , on ne peut avoir en même temps , , autrement on aurait , et l’équation serait résoluble, tandis que l’observation précédente prouve qu’elle ne l’est pas. De là suivent les quatrième et cinquième cas du no 131.

III. Si et sont des nombres premiers de la forme , on ne peut avoir en même temps