Principes mathématiques de la philosophie naturelle/I/3

Isaac Newton

Principes mathématiques de la philosophie naturelle

Traduction par Marquise du Châtelet.
Lambert, 1759 (p. 66-77).

TROISIÉME SECTION.

Du mouvement des corps dans les Sections coniques excentriques.

PROPOSITION XI. PROBLEME VI.

Un corps faiſant ſa révolution dans une ellipſe ; on demande la loi de la force centripete, lorſqu’elle tend à un de ſes foyers.

Soient $S$ le foyer de l’ellipſe, $E$ la rencontre de $SP$ avec le diametre $DK$, $x$ celle de la même ligne $SP$ avec l’ordonnée $QV$, Fig. 21.$QxPR$ le parallélogramme fait ſur $Px$ & $Qx$. On voit d’abord que $EP$ eſt égale au demi grand axe $AC$ ; car menant par l’autre foyer $H$ la droite $HI$ parallele à $DK$, il eſt clair que $EI$ ſera égale à $SE$ à cauſe de l’égalité qui eſt entre $CH$ & $CS$, & par conſéquent $PE$ ſera égale à la moitié de la ſomme de $PI$ & de $PS$, ou, ce qui revient au même, à $AC$, moitié de la ſomme de $PS$ & de $PH$, puiſqu’il ſuit de ce que $HI$ eſt parallele à $RP$, & de ce que les angles $HPZ$ & $IPR$ ſont égaux, que $HP=PI$. Abaiſſant enſuite $QT$ perpendiculaire à $SP$, & nommant $L$ le parametre du grand axe, c’eſt-à-dire ${\frac {2BC^{2}}{AC}}$ ; on verra que $L\times QR$ : $L\times Pv$ :: $QR$ : $Pv$, c’eſt-à-dire :: $PE$ ou $AC$ : $PC$ ; mais $L\times Pv$ : $Gv\times xV$ :: $L$ : $GV$ & $Gv\times vP$ : $Qv^{2}$ :: $PC^{2}$ : $CD^{2}$ ; de plus, $Qv^{2}$ : $Qx^{2}$ en raiſon d’égalité (Cor. 2. Lem. 7.) lorſque les points $P$ & $Q$ coïncident, & $Qx^{2}$ ou $Qv^{2}$ : $QT^{2}$ :: $EP^{2}$ : $PF^{2}$, c’eſt-à-dire :: $CA^{2}$ : $PF^{2}$ ou (Lem 12.) :: $CD^{2}$ : $CB^{2}$ ; donc, en compoſant toutes ces raiſons on aura $L\times QR$ : $QT^{2}$ :: $AC\times L\times PC^{2}\times CD^{2}$ ou :: $2CB^{2}\times PC^{2}\times CD^{2}$ : $PC\times Gv\times CD^{2}\times CB^{2}$ ou :: $2PC$ : $Gv$. Or, puiſque $2PC$ & $Gv$ ſont égales lorſque les points $P$ & $Q$ coïncident, les quantitésFig 21 $L\times QR$ & $QT^{2}$ qui leur ſont proportionnelles ſeront donc égales auſſi. Multipliant préſentement ces quantités égales par ${\frac {SP^{2}}{QR}}$, on aura $L\times SP^{2}={\frac {SP^{2}\times QT^{2}}{QR}}$. Donc par les Corol. 1. & 5. de la Prop. 6. la force centripete ſera réciproquement comme $L\times SP^{2}$, c’eſt-à-dire en raiſon renverſée de $SP^{2}$.    C. Q. F. T.

AUTRE SOLUTION.

Comme la force qui tend au centre de l’ellipſe, & par laquelle le corps $P$ peut faire ſa révolution dans cette courbe, eſt par le Cor. 1. de la Prop. 10. proportionnelle à la diſtance $CP$ du corps au centre $C$ de l’ellipſe ; en menant $CE$ parallele à la tangente $PR$ de l’ellipſe, on verra, par le Cor. 3. de la Prop. 7. que la force par laquelle ce même corps $P$ feroit ſa révolution autour d’un autre point quelconque $S$ de l’ellipſe, feroit comme ${\frac {PE^{3}}{SP^{2}}}$ Fig 21 en ſuppoſant que $E$ ſoit la rencontre de $CE$ & de la droite $SP$, tirée au point $S$. Donc, lorſque le point $S$ ſera le foyer, & que par conſéquent $PE$ ſera conſtante, la force centripete ſera comme ${\frac {1}{SP^{2}}}$    C. Q. F. T.

Dans ce Problème, ainſi que dans le Probl. 5. on pourroit ſe contenter d’appliquer la concluſion trouvée pour le cas de l’ellipſe à celui de la Parabole & de l’hyperbole ; mais à cauſe de l’importance de ce Problème, & de l’étendue de ſon uſage dans les Propoſitions ſuivantes, j’ai cru qu’il ne ſeroit pas inutile de démontrer en particulier les cas de la parabole & de l’hyperbole.

PROPOSITION XII. PROBLÉME VII.

Suppoſé qu’un corps ſe meuve dans une hiperbole ; on demande la loi de la force centripete qui tend au foyer de cette courbe.

Fig. 22.Que $CA,\;CB$ ſoient les demi axes de l’hyperbole ; $PG,\;KD$ d’autres diamètres conjugués ; $PF$ une perpendiculaire au diametre $KD$ ; & $Qv$ une ordonnée au diamètre $PG$. Qu’on tire $SP$, qui coupe le diametre $DK$ en $E$, & l’ordonnée $Qv$ en $x$, & qu’on acheve le parallélogramme $QRPx$ ; il eſt clair que $EP$ ſera égale au demi axe tranſverſal $AC$ ; car tirant par l’autre foyer $H$ de l’hiperbole la ligne $HI$ parallèle à $EC$, $CH$ étant égale à $CS$, $EI$ ſera égale à $ES$, & par conſéquent $EP$ ſera la moitié de la différence des lignes $PS$ & $PI$, c’eſt-à-dire, (à cauſe que $IH,\;PR$ ſont paralleles, & que les angles $IPR,\;HPZ$ ſont égaux) qu’elle ſera égale à la moitié de la différence des lignes $PS$ & $PH$, c’eſt-à-dire que $EP=AC$.

Cela poſé, tirant $QT$ perpendiculaire ſur $SP$, & nommant $L$ le parametre principal de l’hiperbole ou ${\frac {2BC^{2}}{AC}}$, on aura $L\times QR:L\times Pv::QR:Pv$ ou $::Px:Pv,$ c’eſt-à-dire, à cauſe des triangles ſemblables $Pxv,PEC,::PE:PC,$ ou $::AC:PC$. On aura auſſi, $L\times Pv:Gv\times Pv::L:Gv$ ; & par la nature des coniques $Gv\times vP:Qv^{2}::PC^{2}:CD^{2}$. De plus $Qx^{2}QT^{2},$ ou (ce qui revient au même. Cor. 2. Lem. 7. lorſque les points $P$ & $Q$ coïncident) $Qv^{2}:QT^{2}::EP^{2}:PF^{2},$ c’eſt-à-dire, $::CA^{2}:PF^{2},$ ou Lemme 12. $::CD^{2}:CB^{2},$ & en compoſant toutes ces raiſons, on aura $L\times QR:QT^{2}::AC\times L\times PC^{2}\times CD^{2}$ ou $2BC^{2}\times PC^{2}\times CD^{2}:PC\times Gv\times CD^{2}\times CB^{2},$ c’eſt-à-dire $::2PC:Gv:$ mais lorſque les points $P$ & $Q$ coïncident, $2PC\;=\;Gv$. Donc les quantités $L\times QR$ & $QT^{2}$ qui leur ſont proportionnelles ſeront auſſi égales, & en multipliant ces quantités égales par ${\frac {SP^{2}}{QR}},$ on aura ${\frac {SP^{2}\times QT^{2}}{QR}}\;=\;L\times SP^{2}$. Donc, par les Cor. 1. & 5. de la Prop. 6. la force centripete ſera réciproquement comme $\scriptstyle L\times SP^{2},$ c’eſt-à-dire, en raiſon renverſée du quarré de la diſtance SP.    C. Q. F. T.

AUTRE SOLUTION.

Si on cherche la force en prenant le centre C de l’hiperbole Fig 22 pour centre des forces, on la trouvera proportionnelle à la diſtance CP. Donc, par le Cor. 3. de la Prop. 7. la force qui tend au foyer S ſera comme $\scriptstyle {\frac {PE^{3}}{SP^{2}}};$ c’eſt-à-dire, à cause que PE eſt donnée, réciproquement comme $\scriptstyle SP^{2}$.    C. Q. F. T.

On démontrera de la même maniére que ſî cette force centripete ſe change en une force centrifuge, le corps décrira l’hiperbole conjuguée.

LEMME XIII.

Le Parametre d’un diametre quelconque d’une parabole, eſt quadruple de la diſtance du ſommet de ce diametre au foyer de la Figure.

Cela ſe démontre par les coniques.

LEMME XIV.

La perpendiculaire, tirée du foyer d’une parabole à ſa tangente, eſt moyenne proportionnelle entre les diſtances du foyer au point de contact, & au ſommet principal de la Figure.

Soient AP une parabole, S ſon foyer, A ſon ſommet principal, Fig 23 P le point de contact, PO une ordonnée au diametre principal, PM une tangente qui rencontre le diametre principal en M, & SN la ligne perpendiculaire tirée du foyer sur la tangente. Ayant tiré AN, il ſuivra de l’égalité des lignes MS & SP, MN & NP, MA & AO, que les droites AN & OP ſont parallèles, & par conséquent que le triangle SAN est rectangle en A, & semblable aux triangles égaux SNM, SNP, donc PS : SN :: SN : SA.    C. Q. F. D.

Cor. 1. Donc $\scriptstyle PS^{2}$ : $\scriptstyle SN^{2}$ :: PS : SA.

Cor. 2. A cauſe que $SA$ eſt donnée, $SN$^2?3?[illisible] ſera proportionnelle à $PS$.

Cor. 3. Le concours d’une tangente quelconque $PM$ & de la droite $SN$, tirée perpendiculairement du foyer ſur cette tangente, tombera ſur la droite AN qui touche la parabole à ſon ſommet principal.

PROPOSITION XIII. PROBLÉME VIII.

Suppoſé qu’un corps décrive une parabole, on demande la loi de la force centripete qui tend au foyer de cette courbe.

La conſtruction demeurant la même que dans le Lemme précédent, Fig. 24. ſoient $P$ le lieu de la parabole dans lequel on ſuppoſe d’abord le corps, & $Q$ le lieu conſécutif, de ce lieu $Q$ tirez $QR$ parallele à $SP$, & $QT$ perpendiculaire ſur cette ligne $SP$, que $v$ ſoit la rencontre de $PG$ avec la parallele $Qv$ à la tangente, & $x$ la rencontre de la même parallele $Qv$ avec $SP$, parce que les triangles $Pxv$, $PM$ ſont ſemblables, & que les côtés $SM$, $SP$ de l’un de ces triangles ſont égaux, les côtés $Px$ ou $QR$, & $Pv$ de l’autre triangle ſeront auſſi égaux. Mais, par les coniques, le quarré de l’ordonnée $Qv$ eſt égal au rectangle ſous le parametre & le ſegment du diametre $Pv$, c’eſt-à-dire, par le Lemme 13. au rectangle $4PS\times Pv$ ou $4PS\times QR$ ; & par le Cor. 2. du Lemme 7. les points $P$ & $Q$ coïncidant, la raiſon de $Qv$ à $Qx$ devient la raiſon d’égalité. Donc, dans ce cas, $Qx^{2}=4PS\times QR$. De plus, à cauſe des triangles ſemblables $Qxt$, $SPN$, $Qx^{2}:QT^{2}::PS:SN^{2}$ ; c’eſt-à-dire, Cor. i Lem. 14. $::PS:SA$, ou $::4PS\ timesQR:4SA\ timesQR$. Donc $QT^{2}=4SA\times QR$. Multipliant enſuite cette égalité par ${\frac {SP^{2}}{QR}}$, on aura ${\frac {SP^{2}\times QT^{2}}{QR}}=SP^{2}\times 4SA$, ce qui apprend, Cor. i. & 5. de la Prop. 6. que la force centripete eſt réciproquement comme $SP^{2}\times 4SA$, c’eſt-à-dire, à cauſe que $4SA$ eſt donnée que cette force eſt en raiſon renverſée du quarré de la diſtance $SP$. C.Q.F.T.

Cor. i. Des trois dernieres Propoſitions on tire, que ſi un corps quelconque attiré continuellement vers un centre par une force réciproquement proportionnelle au quarré des diſtances part d’un lieu $P$, ſuivant une droite quelconque $PR$, & avec une vîteſſe quelconque, ce corps ſe mouvera dans une ſection conique qui aura pour l’un de ſes foyers le centre des forces, & réciproquement ; car le foyer, le point de contact, & la poſition de la tangente étant donnés, on peut décrire la ſection conique qui aura à ce point une courbure donnée : & deux orbites qui ſe touchent, & qui ſont décrites avec la même vîteſſe & la même force centripete ne ſçauroient différer entr’elles.

Cor. 2. Si la vîteſſe avec laquelle le corps part du lieu ̯$P$ eſt celle qui peut lui faire décrire la petite ligne $PR$ dans un eſpace de temps fort court, & que la force centripete puiſſe faire parcourir à ce même corps dans le même temps l’eſpace $QR$ : le corps décrira une ſection conique, dont le parametre ſera ce que Fig 25 devient la quantité ${\frac {QT^{2}}{QR}}$, lorſque les petites lignes $PR$ & $QR$ diminueront à l’infini.

Dans ces Corollaires je rapporte le cercle à l’ellipſe, & j’excepte le cas où le corps deſcend en ligne droite au centre.

PROPOSITION XIV. THÉORÈME VI.

Si pluſieurs corps font leurs révolutions autour d’un centre commun, & que les forces centripetes ſoient réciproquement en raiſon doublée de leurs diſtances à ce centre, les parametres principaux de leurs orbes ſeront en raiſon doublée des aires qu’ils décrivent en un temps égal.

Car, par le Cor. 2. de la Prop. 13. le parametre $L$ eſt égal à ce que devient la quantité ${\frac {QT^{2}}{QR}}$ lorſque les points $P$ & $Q$ coïncident ; mais al petite ligne $QR$ eſt dans un temps donné Fig 25 comme la force centripete qui la fait décrire, c’eſt-à-dire, par l’hipothèſe, en raiſon renverſée de $SP^{2}$, Donc ${\frac {QT^{2}}{QR}}$ eſt proportionnelle à $QT^{2}\times SP^{2}$, c’eſt-à-dire, que le parametre $L$ eſt Fig 25 en raiſon doublée de l’aire $QT\times SP$. C.Q.F.D.

Corol. Donc l’aire elliptique totale, & le rectangle formé pra les axes, qui lui eſt proportionnel, eſt en raiſon compoſée de la raiſon ſousdoublée du parametre, & de la raiſon du temps périodique ; car l’aire totale eſt proportionnelle à l’aire $QT\times SP$ décrite dans un temps donné, & multipliée par le temps périodique.

PROPOSITION XV. THÉOREME VII.

Les mêmes choſes étant poſées, les temps périodiques dans les ellipſes, ſont en raiſon ſeſquiplées de leurs grands axes.

Puiſque le petit axe eſt moyen proportionnel entre le grand axe & le parametre, le rectangle formé par les axes eſt donc en raiſon compoſée de la raiſon ſousdoublée du paramétre & de la raiſon ſeſquiplée du grand axe ; mais ce rectangle, par le Cor. De la Pop. 14. eſt en raiſon compoſée de la raiſon ſousdoublée du parametre, & de la raiſon du temps périodique. Otant donc de part & d’autre la raiſon ſousdoublée du parametre, il reſtera la raiſon ſeſquiplée du grand axe, qui ſera la même que la raiſon du temps périodique. C.Q.F.D.

Corol. Les temps périodiques ſont donc les mêmes dans les ellipſes, & dans les cercles, dont les diametres ſont égaux aux grands axes des ellipſes.

PROPOSITION XVI. THÉORÉME VIII.

Les mêmes choſes étant poſées, ſi par les points où l’on ſuppoſe les corps dans chaque orbite on mene des tangentes, & qu’on abbaiſſe du foyer commun des perpendiculaires ſur les tangentes, les vîteſſes de ces corps ſeront en raiſon compoſée de la raiſon inverſe de ces perpendiculaires, & de la raison directe ſousdoublée des parametres principaux.

Du foyer $S$ à la tangente $PR$ tirez la perpendiculaire $SY$, la vîteſſe du corps $P$ ſera réciproquement en raiſon ſousdoublée de Fig 26 la quantité ${\frac {SY^{2}}{L}}$ ; car cette vîteſſe eſt comme le petit arc $PQ$ décrit dans une particule de temps donnée, c’eſt-à-dire, par le Lemme 7. comme la tangente $PR$, ou ce qui revient au même, (à cauſe que $PR:QR::SP:SY$) comme ${\frac {SP\times QT}{SY}}$, c’eſt-à-dire, comme $SY$ réciproquement & $SP\times QT$ directement ; or $SP\times QT$ eſt comme l’aire décrite en un temps donné, c’eſt-à-dire par la Prop. 14. en raiſon ſousdoublée du parametre. C.Q.F.D.

Cor. i. Les parametres principaux ſont en raiſon compoſée de la raiſon doublée des perpendiculaires, & de la raiſon doublée des vîteſſe.

Cor. 2. Les vîteſſes des corps, dans les plus grandes & les moindres diſtances du foyer commun, ſont en raiſon compoſée de la raiſon inverſe des diſtances, & de la raiſon directe ſousdoublée des parametres principaux ; car alors les perpendiculaires ſont les diſtances elle-mêmes.

Cor. 3. Donc la vîteſſe, dans une ſection conique à la plus grande ou à la plus petite diſtance du foyer, eſt à la vîteſſe dans un cercle à la même diſtance du centre, en raiſon ſoudoublée du parametre au double de cette diſtance.

Cor. 4. Les vîteſſes des corps qui font leurs révolutions dans des ellipſes ſont les mêmes dans leurs moyennes diſtances du foyer commun, que celles des corps qui circulent dans des cercles aux mêmes diſtances ; c’eſt-à-dire, par le Cor. 6. de la Prop. 4. que ces vîteſſes ſont en raiſon inverſe ſousdoublée des diſtances. Car les perpendiculaires ſont moitié des petits axes, & les petits axes ſont comme les moyennes proportionnelles entre les moyennes diſtances & les parametres. Compoſant donc la raiſon inverſe des perpendiculaires avec la raiſon ſousdoublée directe des parametres, il en viendra la raiſon ſoudoublée inverſe des diſtances.

Cor. 4. Dans la même figure, ou même dans diverſes figures, pourvû que les parametres principaux ſoient égaux, la vîteſſe du corps eſt réciproquement comme la perpendiculaire tirée du foyer à la tangente.

Cor. 6. Dans la parabole, la vîteſſe eſt réciproquement en raiſon ſousdoublée de la diſtance du corps au foyer ; dans l’ellipſe elle varie plus que dans cette raiſon, & moins dans l’hyperbole. Pour démontrer ces trois vérités, il ſuffit de remarquer (Cor. 2. Lem. 14.) que la perpendiculaire abbaiſſée du foyer ſur la tangente de la parabole eſt en raiſon ſouſboublée de la diſtance ; que dans l’ellipſe cette perpendiculaire eſt dans une plus grande raiſon, & que dans l’hiperbole elle eſt dans une moindre raiſon.

Cor. 7. Dans la parabole, la vîteſſe, à une diſtance quelconque du foyer, eſt à la vîteſſe dans un cercle à la même diſtance du centre en raiſon ſousdoublée de deux à un. Dans l’ellipſe elle eſt dans une moindre raiſon, & dans une plus grande dans l’hiperbole ; car, par le Cor. 2. de cette Propoſition, la vîteſſe au ſomment de la parabole eſt dans cette proportion, &, par les Corol. 6. de cette Propoſition & de la Propoſition 4. cette proportion ſe conſerve à toutes les diſtances. D’où il ſuit qu’à chaque point de la parabole, la vîteſſe eſt égale à la vîteſſe du corps qui ſeroit ſa révolution dans un cercle à la moitié de la diſtance du centre ; que dans l’ellipſe elle eſt moindre, & plus grande dans l’hiberpole.

Cor. 8. La vîteſſe d’un corps qui circule dans une ſection conique quelconque eſt à la vîteſſe d’un corps qui fait ſa révolution dans un cercle à la diſtance de la moitié du parametre principal, comme cette diſtance eſt à la perpendiculaire abaiſſée du foyer de la ſection ſur la tangente. La démonſtration en eſt évidente par le Cor. 5.

Cor. 9. Donc, puiſque (Cor. 6. Prop. 4.) la vîteſſe d’un corps qui tourne dans ce cercle ſeroit à la vîteſſe d’un corps qui tourne dans un autre cercle quelconque en raiſon ſousdoublée inverſe des diſtances, la vîteſſe d’un corps qui tourne dans une ſection conique ſera à la vîteſſe de celui qui tourne dans un cercle à la même diſtance, comme la moyenne proportionnelle entre cette diſtance commune & la moitié du parametre principal de la ſection conique eſt à la perpendiculaire abaiſſée du foyer commun ſur la tangente de cette ſection conique.

PROPOSITION XVII. PROBLÉME IX.

Suppoſant que la force centripete ſoit réciproquement proportionnelle au quarré de la diſtance au centre, & que la quantité abſolue de cette force ſoit connue, on demande la courbe qu’un corps décrit en partant d’un lieu donné, avec une vîteſſe donnée, ſuivant une ligne droite donnée.

Que la force centripete qui tend au point $S$ ſoit celle qui Fig 27 & 28 fait circuler le corps $p$ dans une orbite donnée $pq$, & que la vîteſſe de ce corps au point $p$ ſoit connue. Que le corps $P$ parte du lieu $P$, ſuivant la ligne $PR$ avec une vîteſſe donnée, & qu’en vertu de cette vîteſſe & de la force centripete, il décrive la ſection conique $PQ$. Que la droite $PR$ touche cette courbe en $P$, & que $pr$ touche pareillement l’orbite $pq$ en $p$ ; ſi l’on imagine des perpendiculaires tirées du point $S$ à ces tangentes ; il eſt clair, par le Cor. i. de la Prop. 16. que le principal parametre de la ſection conique cherchée ſera au principal parametre de l’orbite donnée, en raiſon compoſée de la raiſon doublée des perpendiculaires, & de la raiſon doublée des vîteſſes, ainſi il ſera donné. Soit $L$ le parametre de la ſection conique cherchée, le foyer $S$ de cette même ſection étant auſſi donné, en faiſant l’angle $RPH$ égal au complément à deux droits de l’angle $RPS$, on aura la poſition de la ligne $PH$, qui paſſe par l’autre foyer ; car tirant $SK$ perpendiculaire à $PH$, & ſuppoſant que $BC$ ſoit le demi axe conjugué, on aura, $SP^{2}-2KP\times PH+PH^{2}=$ $SH^{2}=$ $4CH^{2}=$ $4BH^{2}-4BC^{2}=$ ${\overline {SP+PH}}^{2}-L\times {\overline {SP+PH}}=$ $SP^{2}+2SP\times PH+PH^{2}-L\times {\overline {SP+PH}}$, & ajoûtant de part & d’autre $2KP\times PH-SP^{2}-PH^{2}+L\times {\overline {SP+PH}}$, il viendra $L\times {\overline {SP+PH}}=$ $2SP\times PH+2KP\times PH$ ou $SP+PH:PH::2SP+2KP:L$, d’où $PH$ eſt donnée tant de longueur que de poſition.

Si la vîteſſe du corps au point $P$ eſt telle que le parametre $L$ ſoit moindre que $2SP+2KP$, la ligne $PH$ tombera du même Fig 27 côté de la tangente $PR$ que la ligne $PS$ ; ainſi la courbe ſera une ellipſe, & comme ſes foyers $S$ & $H$ ſeront donnés, ſon grand axe $SP+PH$ ſera auſſi donné.

Si la vîteſſe du corps eſt telle, que le parametre $L$ ſoit égal à $2SP+2KP$, la ligne $PH$ ſera infinie, & par conſéquent la courbe ſera une parabole dont l’axe $SH$ parallele à la ligne $PK$ ſera donné.

Si le corps part du lieu P avec une vîteſſe encore plus grande, il faudra prendre la ligne $PH$ de l’autre côté de la tangente ; ainſi la tangente paſſant entre les foyers, la courbe ſera une hiperbole dont l’axe principal ſera égal à la différence des lignes $SP$ & $PH$, & ſera par conſéquent donné.

Dans tous les cas, ſi l’on ſuppoſe que le corps $P$ ſe meuve dans la ſection conique ainſi trouvée, il eſt clair, par les Prop. 11, 12. & 13. que la force centripete ſera réciproquement comme le quarré de la diſtance du corps au centre $S$ des forces ; ainſi la ligne $PQ$ repréſentera exactement celle que le corps décrira par une telle force en partant du lieu donné P, avec une vîteſſe donnée, & ſuivant une ligne droite $PR$ donnée de poſition. C.Q.F.F.

Cor. 1. De-là, le ſommet principal $D$, le parametre $L$, & le foyer $S$ étant donnés, on aura dans tout ſection conique l’autre foyer $H$, en prenant $DH$ à $DS$, comme le parametre à la différence entre le parametre & $4DS$ ; car la proportion $SP+PH:PH::2SP+2PK:L$ devient dans le cas de ce Corollair, $DS+DH:DH::4DS:L$, & en diviſant on aura $DS:DH::4DS-L:L$.

Cor. 2. Ainſi, ſi la vîteſſe du corps dans le ſommet principal $D$ eſt donnée, on trouvera facilement l’orbite, en déterminant d’abord ſon parametre par cette condition (Cor. 3. de la prop. 16) Fig 27 qu’il ſoit au double de la diſtance $DS$ en raiſon doublée de cette vîteſſe donnée à la vîteſſe du corps qui tourne dans un cercle à la diſtance $DS$, & en prenant enſuite $DH$ à $DS$, comme le parametre eſt à la différence entre le parametre & $4DS$.

Cor. 3. De-là, ſi le corps ſe meut dans une ſection conique quelconque, & qu’il ſoit dérangé de ſon orbite par une impulſion quelconque ; on pourra connoître la nouvelle orbite dans laquelle il circulera enſuite, en compoſant le mouvement que ce corps a déjà avec le mouvement que cette impluſion ſeule lui auroit imprimé ; car par ce moyen on aura le mouvement du corps lorſqu’il part du lieu donné dans lequel il a reçu l’impulſion ſuivant une ligne droite donnée de poſition.

Cor. 4. Et ſi ce corps eſt continuellement troublé dans ſa révolution par quelque force qui lui ſoit imprimée extérieurement, on connoîtra à peu près la courbe qu’il décrira, en prenant les changemens que cette force produit dans pluſieurs points quelconques, & en eſtimant par l’ordre de la ſérie les changemens continuels dans les lieux intermédiaires.

SCHOLIE.

Si le corps $P$ par une force centripete qui tend à un point quelconque donné $R$, ſe meut dans le périmetre d’une ſection conique quelconque donnée, dont le centre ſoit $C$ ; & qu’on cherche Fig 29 la loi de la force centripete : on n’aura qu’à mener $CG$ parallele au rayon $RP$, & qui rencontre la tangente $PG$ en $G$, & cette force ſera, par le Cor. 1. & la Scholie de la Prop. 10 & par le Cor. 3. de la Prop. 7. comme ${\frac {CG^{?}}{RP^{2}}}$[illisible].

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