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Donc, dans le cas où l’on admet que deux de ces perpendiculaires ne se coupent pas, la troisième ne pourra pas non plus rencontrer les deux autres.

30 — Les perpendiculaires élevées aux milieux des côtés d’un triangle rectiligne seront toutes les trois parallèles entre elles, toutes les fois que l’on en supposera deux parallèles.

Soient les perpendiculaires $DE,\,FG,\,HK$ (fig. 22) élevées sur les milieux $D,\,F,\,H$ des côtés du triangle $ABC.$ Supposons d’abord que les deux perpendiculaires $DE,\,FG,$ qui rencontrent $AB$ en $L$ et en $M,$ soient parallèles, et que la perpendiculaire $HK$
Fig. 22 se trouve entre les deux autres. À l’intérieur de l’angle $BLE,$ tirons à volonté du point $L$ la ligne $LG,$ qui devra rencontrer $FG$ quelque part en $G,$ quelque petit que soit l’angle d’écart $GLE$ (prop. 16). Puisque, dans le triangle $LGM,$ la perpendiculaire $HK$ ne peut pas rencontrer $MG$ (prop. 29), il faut donc qu’elle coupe $LG$ quelque part en $P,$ d’où l’on conclut que $HK$ doit être parallèle à $DE$ (prop. 16) et à $MG$ (prop. 18 et 25).

Si l’on représente les côtés par

$BC=2a,\qquad AC=2b,\qquad AB=2c,$

et que l’on désigne par $A,\,B,\,C$ les angles respectivement opposés, à ces côtés, on a, dans le cas considéré,

${\begin{aligned}A&=\Pi (b)-\Pi (c),\\B&=\Pi (a)-\Pi (c),\\C&=\Pi (a)+\Pi (b),\end{aligned}}$

comme il est aisé de s’en convaincre, à l’aide des lignes $AA^{\prime },\,BB^{\prime },\,CC^{\prime },$ menées par les points $A,\,B,\,C,$ parallèlement à la perpendi-

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