nombre fini ou à une infinité dénombrable d’intervalles. Soit un tel ensemble, la mesure de son complémentaire est évidemment l’étendue intérieure de ce complémentaire, donc la mesure d’un ensemble fermé est son étendue extérieure. De là découle la propriété qui nous a servi : un ensemble fermé de mesure nulle est un groupe intégrable (p. 29).
Comme application de ces considérations théoriques, calculons la mesure de l’ensemble des points de (0, 1) tels que la suite de leurs chiffres décimaux de rang impair soit périodique (p. 99). Soit
un tel nombre, écrivons-le
est rationnel, l’ensemble des nombres est dénombrable. À chaque nombre rationnel correspond un ensemble de nombres ayant même mesure que l’ensemble des nombres dont les chiffres de rang impair sont nuls. Pour démontrer que est mesurable et de mesure nulle, il suffit donc de démontrer que l’ensemble des nombres jouit de cette propriété. Or cet ensemble s’obtient en enlevant de (0, 1) l’intervalle , puis de les intervalles , où est un entier inférieur à 10, puis de chaque intervalle restant les intervalles , et ainsi de suite. À chaque opération nous enlevons les 910 des intervalles qui restent. L’ensemble des est donc mesurable B et de mesure nulle.
III. — Les fonctions mesurables.
Pour que les considérations précédentes nous permettent d’attacher une intégrale à une fonction , il faut que, si petit que soit , nous puissions trouver les nombres (p. 108) tels que les fonctions correspondantes soient, ainsi que les fonctions , associées à des ensembles mesurables. Supposons que les ensembles
