Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives (seconde édition)/Chapitre VI

Henri Lebesgue

Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives

Gauthier-Villars, 1928 (p. 92-104).

CHAPITRE VI.

L’INTÉGRATION DÉFINIE À L’AIDE DES FONCTIONS PRIMITIVES.

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I. — Recherche directe des fonctions primitives.

Nous avons obtenu des théorèmes permettant théoriquement, dans des cas étendus, de reconnaître si une fonction donnée est une fonction dérivée et, s’il en est ainsi, de trouver sa fonction primitive. En réalité, un seul de ces théorèmes est employé couramment : toute fonction continue est une fonction dérivée. Quant au calcul effectif des fonctions primitives, il ne se fait jamais au moyen de l’intégrale définie^[1], mais à l’aide des procédés connus sous le nom d’intégration par parties et d’intégration par substitution. Ces deux procédés s’appliquent, qu’il s’agisse de fonctions continues ou non.

On peut aussi utiliser le théorème suivant : Une série uniformément convergente de fonctions dérivées représente une fonction dérivée.

Sa fonction primitive s’obtient en faisant la somme des fonctions primitives des termes de la série donnée, les constantes étant choisies de manière que la série obtenue soit convergente pour l’une des valeurs de la variable.

Soient

${\begin{alignedat}{7}f&=u_{1}&{}+{}&u_{2}&{}+\ldots &=u_{1}&{}+\ldots +{}&u_{n}&{}+{}&r_{n}&{}={}&s_{n}&{}+{}&r_{n},\\\mathrm {F} &=\mathrm {U} _{1}&{}+{}&\mathrm {U} _{2}&{}+\ldots &=\mathrm {U} _{1}&{}+\ldots +{}&\mathrm {U} _{n}&{}+{}&\mathrm {R} _{n}&{}={}&\mathrm {S} _{n}&{}+{}&\mathrm {R} _{n},\end{alignedat}}$

la série donnée et la série des fonctions primitives, laquelle est, par hypothèse, convergente pour une certaine valeur $x_{0}$.

Choisissons $n$ assez grand, pour que l’on ait, quel que soit $p$ positif,

$\left\vert s_{n+p}(x)-s_{n}(x)\right\vert <\varepsilon$ ;

le théorème des accroissements finis donne, si ${(a,b)}$ est l’intervalle considéré,

${\begin{alignedat}{2}\left\vert \mathrm {S} _{n+p}(x)-\mathrm {S} _{n}(x)\right\vert &<\varepsilon \,|x-x_{0}|&&+\left\vert \mathrm {S} _{n+p}(x_{0})-\mathrm {S} _{n}(x_{0})\right\vert \\&\leqq \varepsilon \,(b-a)&&+\left\vert \mathrm {S} _{n+p}(x_{0})-\mathrm {S} _{n}(x_{0})\right\vert .\end{alignedat}}$

Cette inégalité montre que la série $\mathrm {F}$ est uniformément convergente dans ${(a,b)}$, puisqu’elle est convergente pour $x_{0}$.

Évaluons le rapport

$r[\mathrm {F} (x),x,x+h]={\frac {\mathrm {F} (x+h)-\mathrm {F} (x)}{h}}=\Lambda \mathrm {F} (x)$,

$\Lambda \mathrm {F} =\Lambda \mathrm {S} _{n}+\Lambda \mathrm {R} _{n}=\Lambda \mathrm {S} _{n}+\lim _{p=\infty }\Lambda (\mathrm {S} _{n+p}-\mathrm {S} _{n})$.

La quantité $\Lambda (\mathrm {S} _{n+p}-\mathrm {S} _{n})$ est inférieure en valeur absolue à $\varepsilon$, d’après le théorème des accroissements finis, donc, si l’on fait tendre $h$ vers zéro, l’une quelconque des limites de $\Lambda \mathrm {F}$ ne diffère que de $\varepsilon$ au plus de la limite $s_{n}(x)$ de $\Lambda \mathrm {S} _{n}$. Puisque $\varepsilon$ est quelconque, il est ainsi démontré que $\mathrm {F} (x)$ admet $f(x)$ pour dérivée.

Ce théorème permet aussi d’employer le principe de condensation des singularités à la construction de fonctions dérivées.

Lorsqu’une fonction dérivée est donnée par une série de fonctions dérivées non négatives, on peut prendre les fonctions primitives terme à terme à condition de choisir les constantes de manière que la série obtenue soit convergente.

Pour le démontrer, je conserve les notations précédentes, et je suppose, pour simplifier le langage, que la série $\mathrm {F}$ soit convergente pour l’origine de l’intervalle ${(a,b)}$ considéré et que $\mathrm {U} _{1}$, $\mathrm {U} _{2}$, …, s’annulent pour ${x=a}$. Soit ${\mathcal {F}}$ celle des fonctions primitives de $f$ qui s’annule par ${x=a}$. Il faut démontrer que ${\mathrm {F} ={\mathcal {F}}}$.

Tous les $\mathrm {U} _{i}$ sont positifs, donc $\mathrm {S} _{n}$ croît avec $n$. Mais, puisque $f$ est au moins égale à $s_{n}$, ${\mathcal {F}}(x)$ est au moins égale à $\mathrm {S} _{n}(x)$, et $\mathrm {S} _{n}(x)$ tend vers une limite $\mathrm {F} (x)$, au plus égale à ${\mathcal {F}}(x)$.

Le même raisonnement appliqué à l’intervalle positif ${(x,x+h)}$ montre que ${{\mathcal {F}}(x+h)-{\mathcal {F}}(x)}$ est au moins égale à ${\mathrm {F} (x+h)-\mathrm {F} (x)}$, et par suite $f(x)$, dérivée de ${\mathcal {F}}(x)$, est au moins égale à $\Lambda _{d}\mathrm {F} (x)$.

D’autre part ${\mathrm {F} (x+h)-\mathrm {F} (x)}$ est supérieure à ${\mathrm {S} _{n}(x+h)-\mathrm {S} _{n}(x)}$, donc $\lambda _{d}\mathrm {F} (x)$ est au moins égale à la dérivée $s_{n}(x)$ de $\mathrm {S} _{n}(x)$, et, puisque $n$ est quelconque, $\lambda _{d}\mathrm {F} (x)$ est au moins égale à $f(x)$.

$\mathrm {F} (x)$ a donc une dérivée à droite égale à $f(x)$ ; en raisonnant de même sur l’intervalle négatif ${(x,x-h)}$, on voit que $\mathrm {F} (x)$ admet aussi $f(x)$ pour dérivée à gauche ; le théorème est démontré.

Nous pouvons dire aussi : si des fonctions dérivées $f_{n}$ tendent en croissant vers une fonction dérivée $f$, leurs fonctions primitives tendent vers la fonction primitive de $f(x)$ si les constantes sont choisies convenablement.

On peut écrire en effet

$f=f_{1}+(f_{2}-f_{1})+(f_{3}-f_{2})+\ldots$,

et tous les termes, qui sont des fonctions dérivées, sont positifs, à l’exception peut-être du premier.

Le théorème est encore vrai si, au lieu de considérer des fonctions $f_{n}(x)$ croissant avec l’entier $n$, on considère des fonctions dérivées ${f(x,\alpha )}$ croissant avec le paramètre $\alpha$ et tendant vers une fonction dérivée $f$ quand $\alpha$ tend vers $\alpha _{0}$.

Enfin, il faut remarquer qu’il est nécessaire de savoir que la fonction $f$, limite ou somme, est une fonction dérivée, pour avoir le droit d’appliquer le théorème précédent : la fonction

$f(x,\alpha )=-e^{-\alpha x^{2}}$

tend en croissant, quand $\alpha$ augmente indéfiniment, vers la fonction $f(x)$ partout nulle sauf pour ${x=0}$ où elle est égale à −1. Cependant ${f(x,\alpha )}$ est une fonction dérivée et $f(x)$ n’en est pas une.

Ces deux propriétés vont nous permettre d’effectuer la recherche des fonctions primitives dans des cas étendus.

Tout d’abord, quand une fonction est la somme d’une série uniformément convergente de fonctions dérivées, c’est une fonction dérivée dont nous savons trouver les fonctions primitives. Voici une application théorique importante.

Soit une fonction continue $f(x)$ définie dans ${(a,b)}$. Marquons les points ${x_{0}=a}$, $x_{1}$, $x_{2}$, …, ${x_{n}=b}$ pris assez rapprochés pour que, dans ${(x_{i},x_{i+1})}$, l’oscillation de $f$ soit inférieure à $\varepsilon$.

Dans la courbe ${y=f(x)}$ inscrivons la ligne polygonale ${y=\varphi (x)}$ dont les sommets ont pour abscisses $x_{0}$, $x_{1}$, …, $x_{n}$, $f(x)$ et $\varphi (x)$ diffèrent de moins de $\varepsilon$. C’est dire que $\varphi (x)$ tend uniformément vers $f(x)$, quand $\varepsilon$ tend vers zéro ; il nous suffira donc de démontrer que $\varphi (x)$ est une fonction dérivée pour que nous puissions affirmer qu’il en est de même de $f(x)$. Mais $\varphi (x)$, étant dans ${(x_{i},x_{i+1})}$ le polynôme du premier degré

$\varphi (x)=f(x_{i})+(x-x_{i}){\frac {f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}}}$,

est la dérivée de la fonction continue qui, dans ${(x_{i},x_{i+1})}$, est définie par

$\Phi (x)=\Phi (x_{i})+(x-x_{i})f(x_{i})+{\frac {(x-x_{i})^{2}}{2}}{\frac {f(x_{i+1})-f(x_{i})}{x_{i+1}-x_{i}}}$.

Il est démontré que toute fonction continue est une fonction dérivée, et cela sans avoir recours à l’intégration^[2].

Lorsque nous saurons mettre une fonction sous la forme d’une série de fonctions dérivées toutes de même signe, nous aurons un procédé régulier de calcul permettant de reconnaître si $f$ est une dérivée exacte, puisque la fonction primitive de $f$ ne peut être autre que la somme des fonctions primitives des termes de la série donnée (comparez p. 89).

Ainsi les deux théorèmes sur les fonctions primitives des séries nous permettent de faire dans certains cas, relativement à la détermination des fonctions primitives, ce que les théorèmes sur l’intégration nous permettent de faire pour les fonctions intégrables.

Je laisse de côté les remarques analogues relatives à la recherche d’une fonction admettant pour nombre dérivé une fonction donnée. Je vais indiquer quelques propriétés des fonctions dérivées qui permettront parfois de reconnaître immédiatement qu’une fonction donnée n’est pas une fonction dérivée.

II. — Propriétés des fonctions dérivées.

Une fonction dérivée ne peut passer d’une valeur à une autre sans prendre toutes les valeurs intermédiaires. Supposons, en effet, que l’on ait ${f'(a)=\mathrm {A} }$, ${f'(b)=\mathrm {B} }$, et soit $\mathrm {C}$ un nombre compris entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$. On peut prendre $h$ positif assez petit pour que ${r[f(x),a,a+h]}$ soit compris entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ et que ${r[f(x),b-h,b]}$ soit compris entre $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$. La fonction ${r[f(x),x,x+h]}$ est, $h$ étant fixe, une fonction continue de $x$ ; quand $x$ varie de $a$ à ${b-h}$ elle passe d’une valeur comprise entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C}$ à une valeur comprise entre $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$, donc pour une certaine valeur $x_{0}$ de ${(a,b-h)}$ on a ${r[f(x),x_{0},x_{0}+h]=\mathrm {C} }$. Le théorème des accroissements finis montre que dans ${(x_{0},x_{0}+h)}$ il existe une valeur $c$ telle que ${f'(c)=\mathrm {C} }$^[3].

Les fonctions dérivées jouissent donc de l’une des propriétés des fonctions continues. Darboux, dans son Mémoire Sur les fonctions discontinues^[4], a beaucoup insisté sur cette propriété. On avait pris, en France, l’habitude de définir une fonction continue celle qui ne peut passer d’une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires, et l’on considérait cette définition comme équivalente à celle de Cauchy. Darboux, qui construisait dans son Mémoire des fonctions dérivées non continues au sens de Cauchy, a pu montrer que les deux définitions de la continuité étaient fort différentes^[5].

Il est facile de citer des fonctions discontinues qui ne passent pas d’une valeur à une autre sans prendre, une fois au moins, chaque valeur intermédiaire. C’est le cas de la fonction égale à $\sin {\frac {1}{x}}$ pour ${x\neq 0}$ et à n’importe quelle valeur de l’intervalle (−1, +1) pour ${x=0}$.

Il est assez curieux qu’une fonction puisse jouir de cette propriété qui a été prise pour définition de la continuité et être cependant discontinue en tout point. Pour construire une telle fonction, j’écris le nombre $x$, pris entre 0 et 1, dans un système de numération, le système décimal par exemple

$x={\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+{\frac {a_{3}}{10^{3}}}+\ldots$.

Considérons la suite des chiffres de rang impair $a_{1}$, $a_{3}$, $a_{5}$, …. Si elle n’est pas périodique, nous prendrons ${\varphi (x)=0}$ ; si elle est périodique, et si la première période commence à $a_{2n-1}$ nous prendrons

$\varphi (x)={\frac {a_{2n}}{10}}+{\frac {a_{2n+2}}{10^{2}}}+{\frac {a_{2n+4}}{10^{3}}}+{\frac {a_{2n+6}}{10^{4}}}+\ldots$.

Il est évident que la fonction $\varphi (x)$ ainsi définie prend toutes les valeurs de (0, 1) dans un intervalle quelconque si petit qu’il soit, donc $\varphi (x)$ est discontinue en tout point ; d’ailleurs $\varphi (x)$ ne prend pas de valeurs extérieures à (0, 1), donc $\varphi (x)$ ne passe pas d’une valeur $a$ à une autre $b$ sans prendre toutes les valeurs de (0, 1), et, a fortiori, toutes les valeurs comprises entre $a$ et $b$.

Il faut aussi remarquer que, avec la définition critiquée par Darboux, la somme de deux fonctions continues n’est plus nécessairement une fonction continue. En effet, si

$f_{1}(x)=\sin {\frac {1}{x}}$pour$x\neq 0$et$f_{1}(0)=1$,

et si

$f_{2}(x)=-\sin {\frac {1}{x}}$pour$x\neq 0$et$f_{2}(0)=1$,

les deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ ne peuvent passer d’une valeur à une autre sans prendre toutes les valeurs intermédiaires et il n’en est pas de même de ${f_{1}+f_{2}}$, puisque

$f_{1}+f_{2}=0$pour$x\neq 0$et$f_{1}(0)+f_{2}(0)=2$.

La somme de deux fonctions dérivées étant une fonction dérivée, il y a lieu, d’après la remarque précédente, d’énoncer comme une propriété nouvelle ce fait que la somme de deux fonctions dérivées ne peut passer d’une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires. On peut dire aussi que la différence de deux fonctions dérivées ne peut changer de signe sans s’annuler, ce qui, si l’on songe à la représentation géométrique, peut s’énoncer ainsi : Deux fonctions dérivées ne peuvent se traverser sans se rencontrer.

Voici un exemple de l’application de cette propriété. Soit $\psi (x)$ une fonction égale à la fonction $\varphi (x)$ (p. 97) quand $\varphi (x)$ n’est pas égale à $x$, et égale à 0 quand ${\varphi (x)=x}$. $\psi (x)$, comme $\phi (x)$, ne peut passer d’une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires, le premier théorème ne permet donc pas d’affirmer que $\psi (x)$ n’est pas une fonction dérivée ; mais, puisque $\psi (x)$ traverse la fonction continue $x$ dans tout intervalle et ne la rencontre cependant que pour ${x=0}$, la deuxième propriété montre que $\psi (x)$ n’est pas une dérivée.

Avant de rechercher si la fonction $\varphi (x)$ est une dérivée, je vais montrer comment un cas particulier important du théorème de Scheeffer se déduit immédiatement du théorème de Darboux.

Supposons que la dérivée d’une fonction $f(x)$ soit toujours bien déterminée en grandeur et signe (on ne suppose pas qu’elle soit finie), alors si elle n’est pas toujours égale à un nombre donné $\mathrm {A}$, l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est différent de $\mathrm {A}$ a la puissance du continu. En effet, ou bien $f'(x)$ est constante et la propriété est démontrée, ou bien $f'(x)$ prend deux valeurs $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$, et alors elle prend aussi toutes les valeurs comprises entre $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ qui sont toutes, sauf une peut-être, différentes de $\mathrm {A}$. L’ensemble de ces valeurs de $f'(x)$ différentes de $\mathrm {A}$ ayant la puissance du continu, il en est de même de l’ensemble des valeurs de $x$ correspondantes.

Ceci posé, si $f(x)$ a toujours une dérivée, et si cette dérivée est nulle, sauf peut-être pour un ensemble dénombrable de valeurs de $x$, on peut affirmer qu’elle est toujours nulle. C’est le théorème de Scheeffer, dans un cas particulier.

Revenons à la fonction $\varphi (x)$. Est-elle une dérivée ? Les deux théorèmes précédents ne semblent pas fournir facilement une réponse à cette question. Une première méthode consiste dans l’application d’un théorème démontré précédemment ; une fonction dérivée bornée a le même maximum que l’on néglige ou non les ensembles de mesure nulle^[6]. Il n’est pas difficile de démontrer que $\varphi (x)$ n’est différente de zéro que pour un ensemble de valeurs de $x$ de mesure nulle (voir p. 118), $\varphi (x)$ n’est donc pas une fonction dérivée.

Ce résultat peut être obtenu d’une tout autre manière. Une dérivée ne peut pas être discontinue en tout point, et $\varphi (x)$ est discontinue en tout point.

Cette propriété des fonctions dérivées résulte d’un théorème dû à M. R. Baire. $f'(x)$ est la limite, pour ${h=0}$, de la fonction ${r[f(x),x,x+h]}$ continue en $x$ quand $h$ est constant ; c’est donc une fonction de première classe, c’est-à-dire une fonction limite de fonctions continues. Or M. Baire a démontré que si l’on considère une fonction de classe un sur un ensemble parfait quelconque, il existe des points où elle est continue sur cet ensemble parfait ; c’est ce qu’on exprime en disant qu’elle est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait^[7].

III. — L’intégrale déduite des fonctions primitives.

Dans beaucoup de cas nous savons, sans le secours de l’intégration, reconnaître si une fonction donnée est une dérivée et nous pouvons aussi espérer trouver sans intégration la fonction primitive d’une dérivée donnée. Précédemment, nous résolvions ces questions en nous servant de l’intégrale définie ; on peut se demander si, inversement, nous ne pourrions pas définir l’intégrale à l’aide des fonctions primitives. C’est la méthode de Duhamel et Serret^[8]. Pour ces Auteurs une fonction $f(x)$ a une intégrale dans ${(a,b)}$ lorsqu’elle admet dans ${(a,b)}$ une fonction primitive ${\mathcal {F}}(x)$. Cette intégrale $\mathrm {I} _{a}^{b}$ est, par définition,

$\mathrm {I} _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x={\mathcal {F}}(b)-{\mathcal {F}}(a)$.

Cette définition n’est pas équivalente à la définition de Riemann. D’une part, il existe, nous le savons, des fonctions intégrables, au sens de Riemann, qui ne sont pas des fonctions dérivées ; d’autre part, il existe, comme nous allons voir, des fonctions dérivées non intégrables au sens de Riemann.

Le premier exemple de telles fonctions est dû à M. Volterra (Giornale de Battaglini, 1881) ; voici comment on l’obtient :

Soit $\mathrm {E}$ un ensemble parfait non dense qui ne soit pas un groupe intégrable (p. 43). Soit ${(a,b)}$ un intervalle contigu à $\mathrm {E}$, considérons la fonction

$\varphi (x,a)=(x-a)^{2}\sin {\frac {1}{x-a}}$ ;

sa dérivée s’annule une infinité de fois entre $a$ et $b$, soit ${a+c}$ la plus grande valeur de $x$ non supérieure à ${\frac {a+b}{2}}$ qui annule $\varphi '$. Ceci posé, nous définissons une fonction $\mathrm {F} (x)$ par les conditions suivantes : elle est nulle aux points de $\mathrm {E}$ ; dans tout intervalle ${(a,b)}$ contigu à $\mathrm {E}$, elle est égale à ${\varphi (x,a)}$ de $a$ à ${a+c}$ ; de ${a+c}$ à ${b-c}$, la fonction $\mathrm {F}$ est constante et égale à ${\varphi (a+c,a)}$ ; de ${b-c}$ à $b$, $\mathrm {F}$ est égale à ${-\varphi (x,b)}$.

Cette fonction $\mathrm {F} (x)$ est évidemment continue. Elle a une dérivée ; ceci est évident pour les points qui n’appartiennent pas à $\mathrm {E}$ ; soit $x_{0}$ un point de $\mathrm {E}$, le rapport ${r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]}$ est nul si ${x_{0}+h}$ est point de $\mathrm {E}$. Si ${x_{0}+h}$ n’est pas point de $\mathrm {E}$, il appartient à un intervalle contigu à $\mathrm {E}$, soit $\alpha$ celle des extrémités de cet intervalle qui est dans ${(x_{0},x_{0}+h)}$ ; on a évidemment

$\left\vert r[\mathrm {F} (x),x_{0},x_{0}+h]\right\vert =\left\vert {\frac {\mathrm {F} (x_{0}+h)}{h}}\right\vert \leqq {\frac {(x_{0}+h-\alpha )^{2}}{|h|}}\leqq |h|$,

donc $\mathrm {F} (x)$ a une dérivée nulle en tous les points de $\mathrm {E}$.

La dérivée $\mathrm {F'}$ de $\mathrm {F}$ est bornée, car la dérivée de ${x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$, qui est nulle pour ${x=0}$, et qui, pour $x$ différent de zéro, est égale à

$2x\sin {\frac {1}{x}}-\cos {\frac {1}{x}}$,

est bornée. Cependant cette dérivée $\mathrm {F} '$ n’est pas intégrable, au sens de Riemann, car en tous les points de $\mathrm {E}$ le maximum de $\mathrm {F'}$ est +1 et son minimum est −1, puisqu’il en est ainsi au point ${x=a}$ pour la fonction $\varphi '(x,a)$ ; or $\mathrm {E}$, par hypothèse, n’est pas un groupe intégrable.

Par une application convenable du principe de la condensation des singularités, on obtient une fonction dérivée qui n’est intégrable dans aucun intervalle si petit qu’il soit^[9].

La définition de Duhamel s’applique donc à des fonctions bornées auxquelles ne s’applique pas la définition de Riemann ; de plus, la définition de Duhamel s’applique à des fonctions non bornées, car il existe des dérivées non bornées, mais toujours finies, la dérivée de ${x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}}$, par exemple.

À la définition de Duhamel et Serret on peut appliquer la généralisation employée par Cauchy et Dirichlet. Je ne m’occuperai pas de cette généralisation ni, pour le moment du moins, de la suivante, qui contient comme cas particulier la définition de Riemann et celle de Duhamel pour les fonctions bornées : Une fonction bornée $f(x)$ est dite sommable, s’il existe une fonction à nombres dérivés bornés $\mathrm {F} (x)$ telle que $\mathrm {F} (x)$ admette $f(x)$ pour dérivée, sauf pour un ensemble de valeurs de $x$ de mesure nulle. L’intégrale dans ${(a,b)}$ est alors, par définition, ${\mathrm {F} (b)-\mathrm {F} (a)}$^[10].

Adoptons sans généralisation la définition de Duhamel et Serret. L’intégrale de Duhamel (intégrale D) jouit de certaines des propriétés de l’intégrale de Riemann.

On a

$\mathrm {I} _{a}^{b}+\mathrm {I} _{b}^{c}+\mathrm {I} _{c}^{a}=0$.

La somme de deux fonctions intégrables D est intégrable D et a pour intégrale la somme des intégrales ; mais le produit de deux fonctions intégrables D n’est pas nécessairement intégrable D^[11].

Une série uniformément convergente de fonctions intégrables D est une fonction intégrable D et l’intégration peut être effectuée terme à terme ; c’est la proposition de la page 92. De celle de la page 93 on déduit que si des fonctions intégrables D, $f_{n}(x)$, tendent en croissant vers une fonction intégrable D, $f(x)$, l’intégrale de $f_{n}$ tend vers celle de $f$, en croissant s’il s’agit d’un intervalle d’intégration positif.

La proposition analogue pour les intégrales de Riemann est vraie. Nous en calquerons la démonstration sur celle de la page 93.

Conservons les notations de cette page 93. $f$, $u_{1}$, $u_{2}$, …, sont maintenant des fonctions intégrables positives. ${\mathcal {F}}$, $\mathrm {U} _{1}$, $\mathrm {U} _{2}$, … sont celles de leurs intégrales indéfinies qui s’annulent pour l’origine $a$ de l’intervalle considéré.

On a évidemment ${f\geqq s_{n}}$, d’où ${{\mathcal {F}}\geqq \mathrm {S} _{n}}$, et puisque les $\mathrm {S} _{n}$ croissent la série des $\mathrm {U}$ est convergente. L’accroissement de ${\mathcal {F}}$, dans un intervalle positif quelconque, est au moins égal à celui de $\mathrm {S} _{n}$, donc à celui de $\mathrm {F}$ ; $\mathrm {F}$ est à nombres dérivés bornés. Pour montrer que ${\mathrm {F} ={\mathcal {F}}}$, il suffit de montrer que ces deux fonctions ont même dérivée partout, sauf pour un ensemble de valeurs de $x$ de mesure nulle. En tout point où $f$, $u_{1}$, $u_{2}$, … sont toutes continues, ${\mathcal {F}}$, $\mathrm {U} _{1}$, $\mathrm {U} _{2}$, … ont des dérivées et le raisonnement de la page 94 montre qu’en ces points $\mathrm {F}$ a même dérivée que ${\mathcal {F}}$. Mais les points où $f$ n’est pas continue forment un ensemble de mesure nulle $\mathrm {E} (f)$, les points de discontinuité de $u_{i}$ forment l’ensemble de mesure nulle $\mathrm {E} (u_{i})$ ; la réunion de tous ces ensembles donne un ensemble de mesure nulle $\mathrm {E}$. Et l’on a ${\mathrm {F} '={\mathcal {F}}'}$, sauf peut-être aux points de $\mathrm {E}$.

De là se déduit le théorème :

Lorsque des fonctions intégrables $f_{n}$ tendent en croissant vers une fonction intégrable $f$, l’intégrale de $f_{n}$ tend vers celle de $f$^[12].

Nous devons nous demander maintenant quels services peuvent rendre les intégrales au sens de Duhamel et Serret.

Ces intégrales ne peuvent rendre aucun service dans la recherche des fonctions primitives, puisqu’elles supposent cette recherche effectuée, mais les intégrales au sens de Riemann servent surtout à calculer les limites de somme.

Le raisonnement de la page 84 montre qu’une intégrale D est une limite de somme ; on peut donc espérer se servir de ces intégrales pour le calcul des limites de somme. Nous avons vu (p. 66) que cela était effectivement possible, puisqu’il a été démontré que la longueur d’une courbe était l’intégrale D de ${\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}}$, toutes les fois que cette intégrale existe^[13].

De nouvelles études sur l’intégrale sont cependant nécessaires, car nous n’avons pas encore résolu le problème de la recherche des fonctions primitives ; d’ailleurs, pour le calcul de la longueur d’une courbe ayant des tangentes, l’une et l’autre intégration sont insuffisantes^[14].

J’ajoute encore que si les deux intégrations que nous avons étudiées paraissent en général suffisantes, cela tient uniquement à ce que, presque toujours, on se restreint de parti pris à la considération des fonctions continues, et même souvent à la considération des fonctions analytiques.

1. Cependant il est parfois possible d’effectuer pratiquement la recherche d’une fonction primitive à l’aide d’intégrales définies. On trouvera un exemple d’une telle recherche dans l’Introduction à l’étude des fonctions d’une variable réelle de J. Tannery, p. 284.

   Au reste, les géomètres, et en particulier ceux qui ont utilisé la méthode des indivisibles, ont effectué quantité de quadratures en appliquant ce qui devait devenir la définition de l’intégrale définie. Après l’invention du calcul différentiel et l’introduction des notions de dérivée et de fonction primitive, les quadratures effectuées antérieurement ont formé les premiers éléments du tableau des dérivées et des fonctions primitives. Actuellement, ce tableau est tout d’abord donné sous la forme de tableau des dérivées ; on voit que l’ordre historique est exactement inverse de celui adopté dans nos cours.

2. On pourrait être tenté, pour appliquer le théorème sur les séries uniformément convergentes de dérivées, de s’appuyer sur cette proposition, due à Weierstrass : toute fonction continue est représentable par une série uniformément convergente de polynômes. Pour que cette méthode convienne pour le but que nous avons en vue, il faut avoir soin de démontrer le théorème de Weierstrass sans se servir de l’intégration. La démonstration que j’ai donnée dans le Bulletin des Sciences mathématiques de 1898, dans une Note Sur l’approximation des fonctions, satisfait à cette condition. Dans une autre Note : Remarques sur la définition de l’intégrale, parue au même Bulletin en 1905, j’ai utilisé de façon différente les idées qui viennent de nous servir ici.
3. Ceci ne suppose pas que $f'(x)$ soit finie, mais seulement que $f'(x)$ soit toujours bien déterminée en grandeur et signe.
4. Annales de l’École Normale, 1875.
5. On me permettra de signaler qu’en 1903 on enseignait encore dans un lycée de Paris la définition critiquée dès 1875 par Darboux. Cela est d’autant plus étonnant que la propriété qui est énoncée dans la définition de Cauchy est celle qui intervient directement dans presque toutes les démonstrations, tandis que la propriété des fonctions continues et dérivées n’est guère employée que dans le théorème des substitutions et ses conséquences.
6. Je rappelle que ce théorème a été obtenu sans l’emploi de l’intégration.
7. Il serait plus exact de dire qu’une fonction de classe un est soit continue, soit tout au plus ponctuellement discontinue sur chaque ensemble parfait et qu’elle est effectivement ponctuellement discontinue sur certains ensembles parfaits.

   Nous démontrerons cette proposition et sa réciproque au Chapitre X.

8. En réalité, Duhamel et Serret ne considéraient guère que des fonctions continues. Pour ces fonctions, d’après ce qui précède, leur définition est équivalente à celle de Cauchy ; il n’y a plus alors que des différences d’exposition.
9. M. Köpke a construit des fonctions dérivables à dérivées bornées s’annulant dans tout intervalle. Ces dérivées ne sont évidemment pas intégrables.
10. Comparez avec la page 90, où, dès que $f$ est donnée, on sait en quels points on n’a pas nécessairement ${\mathrm {F} '(x)=f(x)}$ ; ici, au contraire, on ne le sait pas.

    Les différentes fonctions $\mathrm {F} (x)$ correspondant à une même fonction $f(x)$ ne diffèrent que par une constante additive.

    Nous retrouverons ces fonctions sommables bornées aux Chapitres suivants.

11. Par exemple le produit ${x\left(x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\right)'}$ n’est pas intégrable D.
12. On peut remarquer que cette propriété reste vraie s’il s’agit des fonctions dites sommables, qui sont intégrables d’après la généralisation indiquée page 101.
13. Je ne puis que signaler une autre application des intégrales D : lorsqu’une fonction dérivée bornée admet un développement trigonométrique, les coefficients de ce développement sont donnés par les formules connues d’Euler et Fourier, les intégrales qui figurent dans ces formules étant des intégrales D.

    Il existe effectivement des fonctions dérivées bornées, non intégrables au sens de Riemann, qui admettent un développement trigonométrique. Pour la démonstration de ces propriétés, ou pourra se reporter à un Mémoire Sur les séries trigonométriques que j’ai publié dans les Annales de l’École Normale (novembre 1903).

14. Il est facile de voir que ${\sqrt {1+\left[\left(x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\right)'\right]^{2}}}$ n’est pas une dérivée exacte.

    Partant de là, on démontrera sans peine que la quantité ${\sqrt {1+\mathrm {F} '(x)^{2}}}$, où $\mathrm {F}$ est la fonction à dérivée non intégrable de M. Volterra, n’est intégrable ni au sens de Riemann, ni au sens de Duhamel.

    La courbe ${y=\mathrm {F} (x)}$ ne peut donc être rectifiée ni par l’une, ni par l’autre des deux méthodes employées.

    Pour l’application indiquée dans la Note précédente, les deux intégrations sont aussi insuffisantes, comme on le voit en considérant la somme d’une dérivée non intégrable représentable trigonométriquement, et d’une fonction non dérivée représentable trigonométriquement.