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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

port aux neuf dérivées partielles $\xi '_{x},$ $\xi '_{y},$ $\dots$ elle doit être linéaire et homogène par rapport aux trois polynômes isotropes qui sont eux mêmes homogènes et du second degré par rapport aux neuf dérivées partielles ; elle sera de la forme

(27)

$\mathrm {W} _{2}=\lambda \mathrm {K} +\mu \mathrm {H} +\nu \Theta ^{2}.$

Comparons cette expression au développement (20) de cette même fonction. Le premier terme de ce développement et l’ensemble des deux derniers devront être séparément isotropes, car, dans un milieu isotrope, toute fonction symétrique des distances mutuelles des points occupés par les molécules avant et après le déplacement doit être une fonction isotrope.

Considérons d’abord le premier terme $\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{2}$ de cette expression ; nous allons démontrer qu’il est égal au polynôme $\mathrm {H}$ multiplié par un facteur constant.

Dans l’étude de la fonction $\mathrm {W} _{2}$ (15) nous avons vu que, si on remplaçait dans le premier terme du développement de cette fonction les quantités $\mathrm {D} \xi ,$ $\mathrm {D} \eta ,$ $\mathrm {D} \zeta$ par leurs valeurs données par les relations (21), nous obtenions pour ce terme un polynôme homogène et du second degré par rapport aux neuf dérivées partielles, contenant les carrés de ces dérivées et les neuf doubles produits de la forme ${\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d\xi }{dy}}.$ Mais ce terme, étant une fonction isotrope, ne peut contenir ces doubles produits qui ne rentrent pas dans les quatre groupes des termes subsistant dans le cas des corps à symétrie cubique (18) ; le premier terme de $\mathrm {W} _{2}$ se réduit donc à un polynôme ne contenant que les carrés des dérivées partielles. Il ne peut renfermer ni $\Theta$ ni $\mathrm {K} ,$ car dans la