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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

La continuité des fonctions $\xi$ et de leurs dérivées étant admise, nous pouvons développer ces fonctions suivant les puissances croissantes des variables $x,$ $y,$ $z,$ et nous aurons :

$\mathrm {D} \xi ={\frac {d\xi }{dx}}\mathrm {D} x+{\frac {d\xi }{dy}}\mathrm {D} y+{\frac {d\xi }{dz}}\mathrm {D} z+{\frac {1}{2}}\left[{\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}\mathrm {D} x^{2}+{\frac {d^{2}\eta }{dy^{2}}}\mathrm {D} y^{2}+\ldots \right]\ldots$

Les quantités $\mathrm {D} x,\mathrm {D} y,\mathrm {D} z,$ qui sont les accroissements des coordonnées quand on passe d’une molécule à une molécule voisine, sont de l’ordre du rayon d’activité moléculaire ; les carrés de ces quantités seront des infiniment petits qu’en général on pourra supprimer. Nous verrons cependant qu’on n’a pas toujours le droit de faire disparaître ces carrés, et que l’une des théories données pour l’explication de la dispersion de la lumière nécessite leur conservation. En les supprimant, $\mathrm {D} \xi ,$ $\mathrm {D} \eta ,$ $\mathrm {D} \zeta$ sont données par des fonctions linéaires et homogènes des neuf dérivées partielles :

${\frac {d\xi }{dx}},\;{\frac {d\xi }{dy}},\;{\frac {d\xi }{dz}},\;{\frac {d\eta }{dx}},\ldots$

On a :

(21)

${\begin{aligned}\mathrm {D} \xi &={\frac {d\xi }{dx}}\mathrm {D} x+{\frac {d\xi }{dy}}\mathrm {D} y+{\frac {d\xi }{dz}}\mathrm {D} z\\[1.5ex]\mathrm {D} \eta &={\frac {d\eta }{dx}}\mathrm {D} x+{\frac {d\eta }{dy}}\mathrm {D} y+{\frac {d\eta }{dz}}\mathrm {D} z\\[1.5ex]\mathrm {D} \zeta &={\frac {d\zeta }{dx}}\mathrm {D} x+{\frac {d\zeta }{dy}}\mathrm {D} y+{\frac {d\zeta }{dz}}\mathrm {D} z\\[1.5ex]\end{aligned}}$

15. Étude de la fonction $\mathrm {W} _{2}.$ — Nous avons vu (13) que $\mathrm {W} _{2}$ était une fonction homogène du second degré par rapport