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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Le coefficient du double produit $2{\frac {d\xi }{dx}}{\frac {d\xi }{dy}}$ est $\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} x\,\mathrm {D} y.$ Il est facile de voir, en développant les carrés de $\mathrm {D} \eta$ et de $\mathrm {D} \zeta ,$ que les produits $2{\frac {d\eta }{dx}}{\frac {d\eta }{dy}},$ $2{\frac {d\zeta }{dx}}{\frac {d\zeta }{dy}},$ ont pour coefficients cette même quantité. Les coefficients des neuf doubles produits qui entrent dans $\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{2}$ se réduisent donc aux trois suivants :

$\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} x\,\mathrm {D} y,\qquad \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} y\,\mathrm {D} z,\qquad \sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\mathrm {D} z\,\mathrm {D} x.$

Par conséquent le premier terme de $\mathrm {W} _{2}$ ne contient que six coefficients arbitraires. Ces six coefficients sont nuls quand on suppose la pression extérieure nulle dans l’état d’équilibre, ainsi que nous l’avons établi au n^o 10.

16. Les deux derniers termes de $\mathrm {W} _{2}$ sont homogènes en $\rho _{1}$ et $\rho '_{1}.$ En remplaçant, dans l’expression de $\rho _{1}$

$\rho _{1}=2\left(\mathrm {D} x\,\mathrm {D} \xi +\mathrm {D} y\,\mathrm {D} \eta +\mathrm {D} z\,\mathrm {D} \zeta \right),$

$\mathrm {D} \xi ,\,\mathrm {D} \eta ,\,\mathrm {D} \zeta$ par leurs valeurs (21), on trouve :

(22)

${\begin{array}{c}{\dfrac {1}{2}}\rho _{1}={\dfrac {d\xi }{dx}}\mathrm {D} x^{2}+{\dfrac {d\eta }{dy}}\mathrm {D} y^{2}+{\dfrac {d\zeta }{dz}}\mathrm {D} z^{2}+\left({\dfrac {d\xi }{dy}}+{\dfrac {d\eta }{dx}}\right)\mathrm {D} x\,\mathrm {D} y\\+\left({\dfrac {d\eta }{dz}}+{\dfrac {d\zeta }{dy}}\right)\mathrm {D} y\,\mathrm {D} z+\left({\dfrac {d\zeta }{dx}}+{\dfrac {d\xi }{dz}}\right)\mathrm {D} z\,\mathrm {D} x\,;\end{array}}$

c’est-à-dire que $\rho _{1}$ est une fonction linéaire et homogène des six quantités

${\frac {d\xi }{dx}},\quad {\frac {d\eta }{dy}},\quad {\frac {d\zeta }{dz}},\quad {\frac {d\xi }{dy}}+{\frac {d\eta }{dx}},\quad {\frac {d\eta }{dz}}+{\frac {d\zeta }{dy}},\quad {\frac {d\zeta }{dx}}+{\frac {d\xi }{dz}}\cdot$