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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Dans cette expression, le terme $\mathrm {F(R,R',R'',\dots )}$ ne dépend pas du déplacement ; c’est donc le terme constant $\mathrm {U} '_{0}$ obtenu en développant la fonction $\mathrm {U'}$ par rapport aux $\xi$ ; par suite, ce terme est nul. Comme les quantités $\rho$ sont du même ordre de grandeur que les $\xi$, on peut, dans le développement de $\mathrm {U'} ,$ négliger les termes qui contiennent $\rho$ à un degré supérieur au second ; on a donc :

$\mathrm {U} '=\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho +\sum {\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {F} ^{2}}{d\mathrm {R} ^{2}}}\rho ^{2}+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} \,d\mathrm {R} '}}\rho \rho '.$

En remplaçant $\rho$ par la valeur tirée de la relation (10), on obtient :

(11)

$\mathrm {U} '=\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{1}+\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{2}+\sum {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} ^{2}}}\rho ^{2}+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{d\mathrm {R} \,d\mathrm {R} '}}\rho \rho '.$

Si maintenant on identifie ce développement avec celui de la même fonction par rapport aux $\xi$ (8), on a, pour le second terme $\mathrm {U} '_{1}$,

(12)

$\mathrm {U} '_{1}=\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{1}=2\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}(\mathrm {D} x\,\mathrm {D} \xi +\mathrm {D} y\,\mathrm {D} \eta +\mathrm {D} z\,\mathrm {D} \zeta ).$

10. Dans le cas particulier où la pression extérieure est nulle dans la position d’équilibre, l’expression précédente permet de trouver six relations importantes. En effet, la fonction des forces $\mathrm {U} ''$ relative aux forces extérieures a le second terme $\mathrm {U} ''_{1}$ de son développement égal à zéro, puisque les dérivées partielles de $\mathrm {U} ''$ par rapport aux quantités $\xi$ représentent les composantes de la pression extérieure ; la relation (6) montre que l’on doit avoir identiquement :