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DIFFRACTION

$\psi$ désignant toujours l’angle de la normale extérieure à l’élément $d\omega$ avec la droite qui joint cet élément au point $x_{0},y_{0},z_{0}.$

L’intégrale $\int U\,\rho \,d\tau$ se réduira à $\mathrm {U} _{0}$ ($\mathrm {U} _{0}$ étant la valeur de $\mathrm {U}$ au point $x_{0},y_{0},z_{0}$), si ce point est extérieur à $\mathrm {S} .$ Cette intégrale est nulle dans le cas contraire, car elle s’étend à la portion du volume attirant extérieur à $\mathrm {S} ,$ et si le point $x_{0},y_{0},z_{0}$ est intérieur à $\mathrm {S} ,$ il en est de même du volume attirant tout entier. On a donc simplement :

$-4\pi \mathrm {U} _{0}=\int \left(\mathrm {U} {\frac {d\mathrm {V} }{dn}}-\mathrm {V} {\frac {d\mathrm {U} }{dn}}\right)d\omega .$

Si, supprimant les indices, nous appelons $x,y,z$ le point que nous avons appelé $x_{0},y_{0},z_{0}\,;$ $r$ sa distance à l’élément $d\omega ,$ et $\mathrm {U}$ la valeur de la fonction $\mathrm {U}$ en ce point ; il vient simplement :

(15)

$\mathrm {U} =-\int {\frac {\mathrm {U} }{4\pi }}{\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\left(i\alpha -{\frac {1}{r}}\right)\cos \psi \,d\omega +\int {\frac {d\mathrm {U} }{dn}}{\frac {e^{i\alpha r}}{4\pi r}}\,d\omega \cdot$

On voit ainsi que $\mathrm {U} ,$ qui est une fonction quelconque satisfaisant à l’équation (1), est égale à l’expression (11) pourvu qu’on prenne pour la fonction arbitraire $\mathrm {X} _{1}$ la valeur de ${\frac {d\mathrm {U} }{4\pi dn}}$ sur l’élément $d\omega$ et pour la fonction arbitraire $\mathrm {X} _{2}$ la valeur de $-{\frac {\mathrm {U} }{4\pi }}$ sur ce même élément.

82. L’équation (15) est vraie si le point $x,y,z$ est extérieur à $\mathrm {S} .$ Dans le cas contraire le second membre de cette équation