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USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.

En identifiant les termes semblables on a une série de relations entre les fonctions de Bessel $\mathrm {J} .$

L’étude de l’expression $\mathrm {E}$ nous conduirait à une série de relations analogues où entreraient cette fois les fonctions de Bessel $\mathrm {J}$ et leurs dérivées premières.

271.On pourrait multiplier ces applications particulières ; on pourrait par exemple, après avoir traité comme nous venons de le faire dans le numéro précédent le cas du mouvement képlérien, c’est-à-dire après avoir tenu compte des termes du degré 0 par rapport aux masses troublantes, appliquer les mêmes principes à l’ensemble des termes du degré 1. On serait sans nul doute conduit à des relations intéressantes.

On pourrait également étudier, par le même procédé, les équations des variations séculaires que nous avons traitées au Chapitre X. On aurait alors avantage, au lieu de l’invariant intégral

$\int {\textstyle \sum }\,\left(2x_{i}\,dy_{i}+y_{i}\,dx_{i}\right),$

à se servir des invariants analogues que nous avons définis aux n^os 261, 262, 263.

Nous laisserons toutes ces questions de côté.

Application aux solutions asymptotiques.

272.Appliquons encore ces principes aux solutions asymptotiques. Prenons pour variables les coordonnées $x_{i}$ et les

$y_{i}=m_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\cdot$

Considérons l’invariant

$\mathrm {J} =\int {\textstyle \sum }(2x\,dy+y\,dx)\,;$

nous savons que si $\mathrm {C}$ est la constante des forces vives, et si $\mathrm {C} _{1}$ et $\mathrm {C} _{0}$ sont les valeurs de cette constante aux deux extrémités de la ligne d’intégration, on aura

(1)

$\mathrm {J} -3t(\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{0})=\mathrm {const.}$

Si nous envisageons un système de solutions asymptotiques, il