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CHAPITRE X.

APPLICATION À L’ÉTUDE DES VARIATIONS SÉCULAIRES.

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Exposé de la question.

130.On peut faire des principes du Chapitre précédent une application importante à l’étude de certaines équations que les astronomes ont souvent considérées.

Soient

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

nos équations canoniques, et soit

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots$

Supposons que nos variables conjuguées $x_{i}$ et $y_{i}$ soient les variables képlériennes du n^o 11, que $\mathrm {F} _{0}$ dépende seulement de $\beta \,\mathrm {L}$ et de $\beta '\,\mathrm {L} ',$ c’est-à-dire des deux grands axes, et qu’en négligeant $\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}$ et les termes suivants $\mu \,F_{1}$ représente la fonction perturbatrice.

Alors $\mathrm {F} _{1}$ est développable suivant les sinus et cosinus des multiples des deux anomalies moyennes $l$ et $l';$ j’appellerai $\mathrm {R}$ la valeur moyenne de cette fonction périodique de $l$ et de $l'.$

On a souvent, pour étudier les variations séculaires des éléments des deux planètes, négligé dans $\mathrm {F} _{1}$ les termes périodiques et réduit, par conséquent, cette fonction à sa valeur moyenne $\mathrm {R} .$ Nos équations deviennent alors

(1 bis)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dy_{i}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{dy_{i}}};&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}-\mu \,{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Est-on certain, en opérant de la sorte, d’obtenir exactement les