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FORMATION DES INVARIANTS.
précédente n’exclut pas la possibilité, n’existent pas ; mais pour
le démontrer, il faudrait recourir à d’autres procédés, par exemple
à des procédés analogues à la méthode de Bruns.
Emploi des variables képlériennes.
261.L’invariant de la quatrième sorte du no 256 peut encore
être mis sous une autre forme.
Soit un système quelconque d’équations canoniques
(1)
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Considérons l’intégrale suivante prise le long d’un arc de courbe
quelconque
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int (x_{1}\,dy_{1}+x_{2}\,dy_{2}+\ldots +x_{n}\,dy_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ce4a2a9c4250a4cbcae010a3830d0541f67539)
Supposons que l’on écrive les équations de l’arc de courbe le long
duquel on intègre en exprimant les
et les
en fonction d’un
paramètre
et que les valeurs de ce paramètre qui correspondent
aux extrémités de l’arc soient
et
L’intégrale
sera égale à
![{\displaystyle \mathrm {J} =\int _{\alpha _{0}}^{\alpha _{1}}\left[{\textstyle \sum }\,x\,{\frac {dy}{d\alpha }}\right]d\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25cdfbd8f28a5cd4a55636f81878a1ace10c1e57)
Supposons que nous considérions notre arc de courbe comme la
figure
du Chapitre précédent qui varie avec le temps et se réduit
à
pour ![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
Alors les
les
et les fonctions des
et des
telles que
seront des fonctions de
et de
Il viendra
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int \left[\sum {\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{d\alpha }}\right]d\alpha +\int \left[{\textstyle \sum }\,x{\frac {d^{2}y}{dt\,d\alpha }}\right]d\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a5638cc46303dc4232e2ee543251f93d6bf85a)
ou
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int \left[\sum {\frac {d\mathrm {F} }{dy}}{\frac {dy}{d\alpha }}\right]d\alpha -\int \left[{\textstyle \sum }\,{\frac {d}{d\alpha }}\!\left({\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\right)\right]d\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15af3c4cc20db3416b6d2b3bb222f6aeceebe430)
en intégrant par parties
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {J} }{dt}}=\int \left[\sum {\frac {d\mathrm {F} }{dy}}{\frac {dy}{d\alpha }}\right]d\alpha +\int \left[\sum {\frac {d\mathrm {F} }{dx}}{\frac {dx}{d\alpha }}\right]d\alpha -\left[{\textstyle \sum }\,x\,{\frac {d\mathrm {F} }{dx}}\right]\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a771611d770ca635c6c94edb8f09831969c7787)