Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/57

45

FORMATION DES INVARIANTS.

On arriverait à un théorème analogue en partant de l’un quelconque des invariants $\mathrm {J} _{3},$ $\mathrm {J} _{4},\,\ldots ,\,\mathrm {J} _{n}.$

Mais, d’après la remarque que je viens de faire à l’instant, tous ces théorèmes ne sont pas réellement distincts de celui de Poisson.

Cependant, parmi tous ces invariants, il y en a un auquel il convient d’attacher une grande importance, c’est le dernier d’entre eux

$\mathrm {J} _{n}=\int dx_{1}\,dy_{1}\,dx_{2}\,dy_{2}\,\ldots \,dx_{n}\,dy_{n}.$

On aurait pu l’obtenir par le procédé du numéro précédent ; on sait, en effet, que les équations de la Dynamique admettent pour dernier multiplicateur l’unité.

256.Je suppose, maintenant, que les $x$ désignent les coordonnées rectangulaires de $n$ points dans l’espace, et je reprends les notations de la page 169 du Tome 1.

Nous avons trouvé, page 170, l’intégrale suivante des équations aux variations

$\sum {\frac {y\eta }{m}}-\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\xi =\mathrm {const.}$

L’invariant intégral correspondant s’écrit

$\int \sum \left({\frac {y\,dy}{m}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,dx\right).$

De même, à l’intégrale

${\textstyle \sum }\,\eta _{1i}=\mathrm {const.}$

correspond l’invariant

$\int \left(dy_{11}+dy_{12}+\ldots +dy_{1n}\right)\,;$

à l’intégrale

${\textstyle \sum }_{i}\left(x_{1i}\eta _{2i}-y_{1i}\xi _{2i}-x_{2i}\eta _{1i}+y_{2i}\xi _{1i}\right)=\mathrm {const.}$

correspond l’invariant

$\int {\textstyle \sum }\,\left(x_{1i}\,dy_{2i}-y_{1i}\,dx_{2i}-x_{2i}\,dy_{1i}+y_{2i}\,dx_{1i}\right).$

Mais tous ces invariants ne présentent pas grand intérêt puisqu’on peut les déduire immédiatement des intégrales des forces vives, du centre de gravité et des aires.