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USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.

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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

CHAPITRE XXIV.

USAGE DES INVARIANTS INTÉGRAUX.

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Procédés de vérification.

266.Dans le Tome II nous avons exposé différents procédés pour trouver des séries qui satisfont formellement aux équations du problème des trois Corps. Comme ces séries peuvent avoir une grande importance pratique et qu’on ne les obtient qu’au prix de calculs longs et difficiles, tous les moyens que l’on peut trouver de vérifier ces calculs peuvent être précieux ; la considération des invariants intégraux nous en fournit un qui n’est pas sans intérêt.

Appelons $x_{i}(i=1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6)$ les coordonnées des deux planètes (qui doivent être rapportées, comme nous l’avons dit au n^o 11 et comme nous l’avons toujours fait depuis, la première au Soleil, la seconde au centre de gravité de la première et du Soleil) ; appelons, d’autre part, $y_{i}$ les composantes de leurs quantités de mouvement ; ces quantités $x_{i}$ et $y_{i}$ peuvent être développées en séries de la manière suivante :

Rappelons les résultats des Chapitres XIV et XV, et en particulier ceux du n^o 155. Dans ces Chapitres, au lieu des douze variables $x_{i}$ et $y_{i}$ que je viens de définir, nous avons employé, pour définir les positions des deux planètes, douze autres variables

${\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4},&\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4}.\end{array}}$

Nous avons introduit en outre six arguments

${\begin{array}{rrrrrr}w_{1},&w_{2},&w_{1}',&w_{2}',&w_{3}',&w_{4}',\end{array}}$

en posant

${\begin{aligned}w_{i}&=n_{i}t+\varpi _{i}\,;&w_{i}'&=n_{i}'t+\varpi _{i}',\end{aligned}}$

et six autres constantes d’intégration

${\begin{array}{rrrrrr}\Lambda _{0},&\Lambda _{0}',&x_{1}'^{0},&x_{2}'^{0},&x_{3}'^{0},&x_{4}'^{0},\end{array}}$