Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/157

143

CALCUL DIRECT DES SÉRIES.

$\Lambda _{p}$ et les $\sigma _{i}^{p}$ ne changent pas, les $\lambda _{p}$ et les $\tau _{i}^{p}$ changent de signe quand les $w$ et les $w'$ changent de signe.

Cela veut dire que le développement des $\Lambda$ et des $\sigma _{i}$ ne contient que des cosinus, tandis que celui des $\lambda$ et des $\tau _{i}$ ne contient que des sinus.

De même tout est symétrique par rapport au plan des $xy$ et l’on peut en tirer d’autres conclusions.

Supposons qu’on ait affaire au Problème des trois Corps dans l’espace, et soient

${\begin{array}{rrrrrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\sigma _{1},&\sigma _{2},&\sigma _{3},&\sigma _{4},\\\lambda ,&\lambda ',&\tau _{1},&\tau _{2},&\tau _{3},&\tau _{4}.\end{array}}$

Les troisième et quatrième paires de variables définissent les excentricités et les périhélies ; les deux dernières paires de variables définissent les inclinaisons et les nœuds.

En vertu de la symétrie que je viens de signaler les équations ne changeront pas si $\sigma _{3},$ $\sigma _{4},$ $\tau _{3}$ et $\tau _{4}$ changent de signe, les autres variables demeurant inaltérées.

On verrait alors, par un raisonnement tout pareil à ceux qui précèdent, que les séries (4) ne changent pas, si l’on change à la fois

$\sigma _{3},\quad \sigma _{4},\quad \tau _{3},\quad \tau _{4},\quad w_{3}',\quad w_{4}'$

en

$-\sigma _{3},\quad -\sigma _{4},\quad -\tau _{3},\quad -\tau _{4},\quad w_{3}'+\pi ,\quad w_{4}'+\pi .$

On doit en conclure que, dans les développements (4) qui procèdent suivant les cosinus et les sinus de

$h={\textstyle \sum }\,m_{i}w_{i}+{\textstyle \sum }\,m_{i}'w_{i}',$

la somme $m_{3}'+m_{4}'$ doit être paire dans le développement de

${\begin{array}{cccc}\Lambda &\Lambda '&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\\lambda &\lambda '&\tau _{1}&\tau _{2}\end{array}}$

et impaire, au contraire, dans le développement de

${\begin{array}{rr}\sigma _{3},&\sigma _{4},\\\tau _{3},&\tau _{4}.\end{array}}$

155.Au n^o 152, j’ai employé pour simplifier l’exposition et les