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FORMATION DES INVARIANTS.

aux $\xi ,$ et dont les coefficients seront des fonctions des $x$ définies seulement pour les valeurs de $x$ qui correspondent à une solution périodique.

Il reste à savoir si le choix peut être fait de telle façon que les coefficients de $\mathrm {F} ^{\star }$ soient des fonctions algébriques des $x,$ ou même des fonctions continues des $x.$ Je pose le problème sans chercher pour le moment à le résoudre.

Cherchons maintenant les invariants du deuxième ordre, c’est-à-dire ceux qui ont la forme d’une intégrale double

$\iint \mathrm {F} ,$

où $\mathrm {F}$ est une fonction linéaire des produits $dx_{i}\,dx_{k}$ (les coefficients de cette fonction linéaire étant bien entendu des fonctions des $x$). Ces invariants du second ordre auront la signification suivante :

Reprenons les équations (1) et (2) (nous conserverons toujours le numérotage du n^o 257) et formons en outre les équations

(2 a)

${\frac {d\xi _{i}'}{dt}}=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{k}}}\,\xi _{k}'.$

Elles nous conduiront à des équations analogues à (5) et que j’écrirai

(5 a)

$\mathrm {A} _{k}'e^{\alpha _{k}t}={\textstyle \sum }\,\xi _{i}'\theta _{ik}.$

Elles ne différeront d’ailleurs des équations (5) que parce que les lettres y sont accentuées.

Les invariants du second ordre correspondront alors, d’après le Chapitre précédent, à celles des intégrales de (1), (2) et (2 a) qui sont linéaires par rapport aux déterminants

$\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}',$

et algébriques par rapport aux $x.$

Soit

$\mathrm {F} (\xi _{i}\xi _{k}'-\xi _{k}\xi _{i}')$

une de ces intégrales ; si l’on y remplace les $x$ par les valeurs qui correspondent à une solution périodique, on obtiendra une équa-