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CHAPITRE XXIII.

qui figure sous le signe devient une différentielle exacte. C’est celui où ce qui arriverait si l’attraction, au lieu de suivre la loi de Newton, s’exerçait en raison inverse du cube de la distance. Alors

est donc un polynôme du premier degré par rapport au temps, et comme

l’expression est un polynôme du second degré par rapport au temps.

C’est le résultat auquel est parvenu Jacobi au début de ses Vorlesungen.

Mais, en général,

n’est pas une différentielle exacte.

Dans le cas particulier de l’attraction newtonienne, notre invariant prend la forme

Les invariants intégraux et les exposants caractéristiques.

257.On peut se demander s’il existe d’autres invariants intégraux algébriques que ceux que nous venons de former.

On pourrait appliquer, soit la méthode de Bruns, soit celle dont j’ai fait usage aux Chapitres IV et V ; en effet, les invariants intégraux correspondent, comme nous l’avons vu, aux intégrales des équations aux variations et l’on pourrait appliquer à ces équations les mêmes procédés qu’aux équations du mouvement elles-mêmes.

Mais il vaut peut-être mieux modifier ces procédés, au moins dans la forme.

Soit un système quelconque d’équations différentielles

(1)