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CHAPITRE V.

NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.

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81.Reprenons nos équations canoniques

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots .$

Je suppose d’abord que $\mathrm {F} _{0},$ qui ne dépend pas des $y_{i},$ dépend des $n$ variables $x_{i}$ et que son hessien par rapport à ces $n$ variables n’est pas nul.

Je me propose de démontrer que, sauf dans certains cas exceptionnels que nous étudierons plus loin, les équations (1) n’admettent pas d’autre intégrale analytique et uniforme que l’intégrale $\mathrm {F} =\mathrm {const.}$

Voici ce que j’entends par là :

Soit $\Phi$ une fonction analytique et uniforme des $x,$ des $y$ et de $\mu ,$ qui doit de plus être périodique par rapport aux $y.$

Je ne suis pas obligé de supposer que cette fonction soit analytique et uniforme pour toutes les valeurs des $x,$ des $y$ et de $\mu .$

Je suppose seulement cette fonction analytique et uniforme pour toutes les valeurs réelles des $y,$ pour les valeurs suffisamment petites de $\mu ,$ et pour les systèmes de valeurs des $x$ appartenant à un certain domaine D ; le domaine D peut d’ailleurs être quelconque et être aussi petit qu’on le veut. Dans ces conditions, la fonction $\Phi$ est développable par rapport aux puissances de $\mu$ et je puis écrire

$\Phi =\Phi _{0}+\mu \Phi _{1}+\mu ^{2}\Phi _{2}+\ldots ,$

$\Phi _{0},\,\Phi _{1},\,\Phi _{2},\,\ldots$ étant uniformes par rapport aux $x$ et aux $y$ et périodiques par rapport aux $y.$