La définition des solutions singulières, par rapport à ces intégrales, sera encore la même et ces solutions singulières satisferont à un même système de relations invariantes algébriques.
On n’aurait qu’à répéter la démonstration qui précède sans y rien changer. Seulement, les coefficients des quantités qui joueraient dans cette démonstration le même rôle que les pourraient être soit des soit des produits de et de soit des produits de la forme
259.Je ne veux pas entrer ici dans le détail des raisons qui me font regarder comme vraisemblable que, dans le cas du problème des trois corps, toutes les solutions périodiques ne peuvent pas être singulières.
Cela m’entraînerait beaucoup trop loin démon sujet ; j’y reviendrai plus tard ; mais en attendant, je vais provisoirement admettre cette proposition en faisant seulement observer combien il est peu probable que toutes les solutions périodiques du problème des trois corps satisfassent à un système de relations invariantes, ce qui serait nécessaire d’après le numéro précédent pour qu’elles pussent être singulières. Reprenons les notations et le numérotage d’équations du no 257.
Si les équations (1) et (2) admettent intégrales distinctes linéaires par rapport aux et algébriques par rapport aux ces intégrales ne cesseront pas d’être distinctes quand on y remplacera les par les valeurs qui correspondent à une solution périodique non singulière.
En écrivant que ces intégrales sont des constantes, et remplaçant dans les équations ainsi obtenues les par les valeurs correspondant à une solution périodique, on obtiendra équations de la forme (5), mais où l’exposant sera nul. Ces équations devront donc figurer parmi les équations (5). Donc pour que les équations (1) admettent q invariants intégraux distincts linéaires par rapport aux il faut que, pour toute solution périodique non singulière, des exposants caractéristiques soient nuls.
Cherchons maintenant les invariants intégraux de la forme
| (7) |
