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CHAPITRE XXIII.

La sommation indiquée par le signe ${\textstyle \sum }$ s’étend aux ${\frac {n(n-1)}{2}}$ combinaisons des indices $i$ et $k.$

De même, l’intégrale

$\mathrm {J} _{3}=\int {\textstyle \sum }\,dx_{i}\,dy_{i}\,dx_{k}\,dy_{k}\,dx_{l}\,dy_{l},$

où la sommation s’étend aux ${\frac {n(n-1)(n-2)}{6}}$ combinaisons des trois indices $i,$ $k$ et $l,$ sera encore un invariant, et ainsi de suite.

Nous obtenons ainsi $n$ invariants intégraux si nous avons $n$ paires de variables conjuguées ; l’un de ces invariants $\mathrm {J} _{1}$ sera du second ordre, l’autre $\mathrm {J} _{2}$ du quatrième, l’autre $\mathrm {J} _{3}$ du sixième, …, et le dernier $\mathrm {J} _{n}$ d’ordre $2n.$

Mais il ne faudrait pas croire que ces invariants sont tous distincts. À la fin du n^o 247, j’ai dit, en effet, qu’on peut toujours, d’un invariant du deuxième ordre, en déduire un du quatrième ordre, un du sixième et ainsi de suite. Les invariants $\mathrm {J} _{1},$ $\mathrm {J} _{2},\,\ldots ,$ $\mathrm {J} _{n}$ que je viens de définir ne sont autre chose que ceux que l’on peut déduire ainsi du premier d’entre eux.

Ces invariants peuvent se rattacher à un autre ordre de considérations ; au commencement de la page 169, tome 1, j’ai montré comment on pouvait déduire le théorème de Poisson de l’intégrale (3) de la page 167, ou, ce qui revient au même, de l’invariant intégral $\mathrm {J} _{1}.$

En opérant de même sur l’invariant $\mathrm {J} _{2},$ on trouverait un théorème analogue à celui de Poisson.

Soient

$\Phi ,\quad \Phi _{1},\quad \Phi _{2},\quad \Phi _{3},$

quatre intégrales des équations de la Dynamique.

Soit

$\Delta _{ik},$

le jacobien de ces quatre intégrales par rapport à

$x_{i},\quad y_{i},\quad x_{k},\quad y_{k}.$

L’expression

${\textstyle \sum }\,\Delta _{ik},$

où la sommation s’étend à toutes les combinaisons des indices $i,$ $k,$ sera encore une intégrale.