Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/36

24

CHAPITRE XXII.

aux déterminants formés avec quatre des quantités $\xi _{i}$ et les quantités $\xi _{i}',$ $\xi _{i}'',$ $\xi _{i}'''$ correspondantes.

Je continue, bien entendu, à supposer que $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ sont homogènes et linéaires par rapport aux produits $dx_{i}\,dx_{k}.$

On pourra donc déduire de l’expression (12) un invariant intégral du quatrième ordre.

Il est à remarquer que cet invariant ne devient pas identiquement nul quand on suppose

$\mathrm {F} _{1}=\mathrm {F} _{2}.$

L’expression (12), divisée par 2, se réduit alors à

$\mathrm {F} _{1}(\xi \xi ')\,\mathrm {F} _{1}(\xi ''\xi ''')+\mathrm {F} _{1}(\xi \xi '')\,\mathrm {F} _{1}(\xi '''\xi ')+\mathrm {F} _{1}(\xi \xi ''')\,\mathrm {F} _{1}(\xi '\xi '').$

D’un invariant du deuxième ordre on peut donc toujours en déduire un du quatrième ordre ; par le même procédé, on en obtiendrait un du sixième ordre ; et, plus généralement, on en obtiendrait un d’ordre $2p$ ($2p$ étant un nombre pair quelconque).

248.Soit, en général,

$\int \mathrm {F} _{1},\quad \int \mathrm {F} _{2},$

deux invariants quelconques des équations (1), le premier d’ordre $p,$ le second d’ordre $q.$

Je suppose que $\mathrm {F} _{1}$ et $\mathrm {F} _{2}$ soient des fonctions linéaires et homogènes, la première par rapport aux produits de $p$ différentielles $dx,$ la seconde par rapport aux produits de $q$ différentielles.

Soient

$\xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p+q)},$

$p+q$ solutions des équations (2). Ces solutions satisferont au système d’équations différentielles

(13)

$\;{\frac {d\xi _{k}^{(\mu )}}{dt}}=\sum {\frac {d\mathrm {X} _{k}}{dx_{i}}}\,\xi _{i}^{(\mu )}\quad (i,k=1,\,2,\,\ldots ,\,n\,;\;\mu =1,\,2,\,\ldots ,\,p+q).$

Soit alors $\mathrm {F} _{1}'$ ce que devient $\mathrm {F} _{1}$ quand on y remplace chaque produit de $p$ différentielles par le déterminant correspondant formé à l’aide des $p$ solutions

$\xi _{i}^{(1)},\quad \xi _{i}^{(2)},\quad \ldots ,\quad \xi _{i}^{(p)}.$