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EXPOSANTS CARACTERISTIQUES.

$-\eta _{i},$ $\xi _{i}$ et faisons la somme de toutes ces équations, il viendra

${\begin{aligned}&\sideset {}{_{i}}\sum \left(\eta '_{i}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}-\xi '_{i}{\frac {d\eta _{i}}{dt}}-\eta _{i}{\frac {d\xi '_{i}}{dt}}+\xi _{i}{\frac {d\eta '_{i}}{dt}}\right)\\&=\;\;\;\sideset {}{_{i}}\sum \sideset {}{_{k}}\sum \left(\xi _{k}\eta '_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\!+\!\eta _{k}\eta '_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\!+\!\xi _{k}\xi '_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\!+\!\eta _{k}\xi '_{i}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\right)\\&\;\;\;-\sideset {}{_{i}}\sum \sideset {}{_{k}}\sum \left(\eta _{i}\xi '_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\!+\!\eta _{i}\eta '_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\!+\!\xi _{i}\xi '_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\!+\!\xi _{i}\eta '_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\right)\\\end{aligned}}$

ou

$\sum {\frac {d}{dt}}\left[\eta '_{i}\xi _{i}-\xi '_{i}\eta _{i}\right]=0$

ou enfin

(3)

$\eta '_{1}\xi _{1}-\xi '_{1}\eta _{1}+\eta '_{2}\xi _{2}-\xi '_{2}\eta _{2}+\ldots +\eta '_{n}\xi _{n}-\xi '_{n}\eta _{n}=\mathrm {const.}$

Voilà une relation qui lie entre elles deux solutions quelconques des équations linéaires (2).

Il est aisé de trouver d’autres relations analogues.

Considérons quatre solutions des équations (2)

${\begin{array}{cccc}\xi _{i},&\xi '_{i},&\xi ''_{i},&\xi '''_{i},\\\eta _{i},&\eta '_{i},&\eta ''_{i},&\eta '''_{i}.\end{array}}$

Considérons ensuite la somme des déterminants

$\sideset {}{_{i}}\sum \sideset {}{_{k}}\sum \left|{\begin{array}{cccc}\xi _{i},&\xi '_{i},&\xi ''_{i},&\xi '''_{i}\\\eta _{i},&\eta '_{i},&\eta ''_{i},&\eta '''_{i}\\\xi _{k},&\xi '_{k},&\xi ''_{k},&\xi '''_{k}\\\eta _{k},&\eta '_{k},&\eta ''_{k},&\eta '''_{k}\end{array}}\right|,\qquad \quad$

où les indices $i$ et $k$ varient depuis 1 jusqu’à $n.$ On vérifierait sans peine que cette somme est encore une constante.

Plus généralement, si l’on forme à l’aide de $2p$ solutions des équations (2) la somme de déterminants

${\begin{array}{c}\sum _{a_{1}\,a_{2}\,\ldots \,a_{p}}\left|\xi _{a_{1}}\eta _{a_{1}}\xi _{a_{2}}\eta _{a_{2}}\ldots \xi _{a_{p}}\eta _{a_{p}}\right|\\\left(a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{p}=1,\,2,\,\ldots ,\,n\right),\end{array}}$

cette somme sera une constante.

En particulier, le déterminant formé par les valeurs des $2n$ quantités $\xi$ et $\eta$ dans $2n$ solutions des équations (2) sera une constante.

Ces considérations permettent de trouver une solution des équa-