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INVARIANTS INTÉGRAUX.
La première de ces relations nous apprend que est une intégrale des équations (1).
253 ter.Soit
une intégrale des équations (2) ; la fonction doit être une forme,
c’est-à-dire un polynôme entier et homogène par rapport aux
dont les coefficients dépendent d’ailleurs des d’une façon quelconque.
Soit le degré de ce polynôme. L’expression
(où n’est autre chose que où les ont été remplacés par les
différentielles ), cette expression, dis-je, sera un invariant
intégral des équations (1).
Cela posé, soit un invariant quelconque de la forme
Faisons le changement de variables du no 237, les équations (1)
deviendront
(1 bis)
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et, si l’on désigne par et les variations de et les équations
aux variations de (I bis) se réduiront à
Avec ces nouvelles variables, deviendra une forme entière,
homogène et de degré par rapport aux et à les coefficients
peuvent être des fonctions quelconques des mais d’après le
théorème du no 237, puisque nous avons affaire à un invariant
intégral, ces coefficients ne peuvent pas dépendre de
Les sont des fonctions des et de et l’on en déduit entre
les variations les relations suivantes
(4)
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Les sont donc des fonctions linéaires des et de et le détermi-