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INVARIANTS INTÉGRAUX.

réduisent à des lignes ; il peut arriver que l’intégrale

$\int \left(\mathrm {A} _{1}\,dx_{1}+\mathrm {A} _{2}\,dx_{2}+\ldots +\mathrm {A} _{n}\,dx_{n}\right)=\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dx_{i}$

ait même valeur pour $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ et soit invariant intégral ; mais il peut arriver aussi que l’intégrale

$\int {\sqrt {{\textstyle \sum }\,\mathrm {B} _{i}\,dx_{i}^{2}+2{\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}}},$

où les $\mathrm {B}$ et les $\mathrm {C}$ sont comme les $\mathrm {A}$ des fonctions de $x_{1},$ $x_{2},\,\ldots ,$ $x_{n}\,;$ il peut arriver, dis-je, que cette intégrale ait même valeur pour $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{0}$ et il serait facile d’imaginer d’autres exemples analogues.

Le nombre $p$ s’appellera l’ordre de l’invariant intégral.

Relations entre les invariants et les intégrales.

237.Reprenons le système

(1)

${\frac {dx_{1}}{\mathrm {X} _{1}}}={\frac {dx_{2}}{\mathrm {X} _{2}}}=\ldots ={\frac {dx_{n}}{\mathrm {X} _{n}}}=dt,$

Si l’on savait l’intégrer, on saurait former tous ses invariants intégraux.

Si en effet l’intégration était effectuée, on pourrait en mettre le résultat sous la forme

(2)

$\left\{{\begin{aligned}y_{1}&=\mathrm {C} _{1},\\y_{2}&=\mathrm {C} _{2},\\\ldots &\ldots \ldots \\y_{n-1}&=\mathrm {C} _{n-1},\\z&=t+\mathrm {C} _{n},\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {C} _{1},\,\mathrm {C} _{2},\,\ldots ,\,\mathrm {C} _{n}$ étant des constantes arbitraires, les $y$ et $z$ étant des fonctions données des $x.$

Changeons de variables en prenant pour variables nouvelles, au lieu des $x,$ les $y$ et $z.$

Considérons alors un invariant intégral quelconque ; cet invariant devra contenir sous le signe $\textstyle \int$ $($qui sera répété $p$ fois si l’invariant est d’ordre $p),$ il devra contenir, dis-je, une certaine