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CHAPITRE XXII.

Soit alors

$\int \mathrm {M} \,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n},$

un invariant d’ordre $n$ des équations (1) ; par le changement de variables du n^o 237, il deviendra

$\int \mathrm {MJ} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz,$

$\mathrm {J}$ étant le jacobien des $x$ par rapport aux $y$ et à $z,$ $\mathrm {MJ}$ devra être une fonction des $y.$

Alors

$\int \mathrm {MJ} \,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz_{1}$

sera un invariant des équations (2 ter) ;

$\int {\frac {\mathrm {MJ} }{\mathrm {Z} }}\,dy_{1}\,dy_{2}\,\ldots \,dy_{n-1}\,dz$

sera un invariant des équations (2 bis), et enfin

$\int {\frac {\mathrm {M} }{\mathrm {Z} }}\,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{n}$

sera un invariant des équations (2).

Remarques diverses.

253 bis. Considérons un système d’équations différentielles

(1)

$dx_{i}=\mathrm {X} _{i}\,dt,$

et leurs équations aux variations

(2)

$d\xi _{i}=\Xi _{i}\,dt.$

Supposons que les équations (1) admettent un invariant intégral du premier ordre

$\int {\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,dx_{i};$

l’expression ${\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\xi _{i}$ sera une intégrale des équations (2).