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INVARIANTS INTÉGRAUX.

Si le mouvement de ce point est défini par les équations (1), $t$ représentant le temps, ce point sera, à l’époque $t=\tau ,$ venu en $\mathrm {M} .$

Si le mouvement est au contraire défini par les équations (2), $t_{1}$ représentant le temps, le point $\mathrm {M} _{0}$ sera, à l’époque $t_{1}=\tau ,$ venu en $\mathrm {M} '.$

Considérons maintenant une figure $\mathrm {F} _{0}$ occupée à l’instant zéro par différents points $\mathrm {M} _{0}.$

Si le mouvement et la déformation de cette figure sont définis par les équations (1), elle sera, à l’époque $t=\tau ,$ devenue une figure nouvelle $\mathrm {F} .$

Si le mouvement est défini par les équations (2), la figure $\mathrm {F} _{0}$ sera, à l’époque $t_{1}=\tau ,$ devenue une figure nouvelle $\mathrm {F} '$ différente de $\mathrm {F} .$

Et non seulement $\mathrm {F} '$ sera différente de $\mathrm {F} ,$ mais elle ne coïncidera pas non plus, en général, avec une des positions occupées par $\mathrm {F}$ à une époque différente de l’époque $t=\tau .$

Il semble donc que l’on ait profondément altéré les données du problème et l’on ne doit pas s’attendre à ce que des invariants de (1) on puisse déduire ceux de (2).

C’est cependant ce qui arrive pour les invariants d’ordre $n.$

Faisons le changement de variables du n^o 237 ; le système (1) deviendra

(1 bis)

$dt={\frac {dy_{1}}{0}}={\frac {dy_{2}}{0}}=\ldots ={\frac {dy_{n-1}}{0}}={\frac {dz}{1}},$

et le système (2)

(2 bis)

$dt_{1}={\frac {dy_{1}}{0}}={\frac {dy_{2}}{0}}=\ldots ={\frac {dy_{n-1}}{0}}={\frac {dz}{\mathrm {Z} }},$

$\mathrm {Z}$ doit alors être supposé exprimé en fonctions des $y$ et de $z.$

Posons alors

$z_{1}=\int {\frac {dz}{\mathrm {Z} }},$

l’intégration se faisant par rapport à $z$ (les $y$ étant regardés comme des constantes), et à partir d’une origine quelconque pouvant dépendre des $y.$

Le système (2) deviendra

(2 ter)

$dt_{1}={\frac {dy_{1}}{0}}={\frac {dy_{2}}{0}}=\ldots ={\frac {dy_{n-1}}{0}}={\frac {dz_{1}}{1}}$

et aura même forme que (1 bis).