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CHAPITRE XXXIII.

Les solutions périodiques (5) et (6) vers lesquelles tendent les solutions hétéroclines pour $t=-\infty$ et $t=+\infty$ sont alors

${\begin{aligned}x&=t,&p&=q=0,&y&=y_{0},\\x&=t,&p&=q=0,&y&=y_{1}.\end{aligned}}$

On remarquera que, pour $\mu =0,$ $\mathrm {F}$ se réduit à $-p-q^{2}.$ Donc, pour $\mu =0,$ la fonction $\mathrm {F}$ dépend seulement des variables de la première série $p$ et $q$ et ne dépend pas des variables de la deuxième série $x$ et $y.$ La fonction $\mathrm {F}$ est donc bien de la forme envisagée aux n^os 13, 125, etc.

Nous ne nous contenterons pas toutefois de cet exemple qui prouve que les équations canoniques de la forme envisagée au n^o 13 peuvent admettre des solutions hétéroclines.

En effet, les deux solutions (5) et (6) correspondent toutes deux à la même valeur des quantités ${\frac {dx}{dt}}$ et ${\frac {dy}{dt}}\,;$ à savoir

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=1,&{\frac {dy}{dt}}&=0.\end{aligned}}$

Or, ces quantités ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}}$ ne sont autre chose que les nombres appelés plus haut $n_{1}$ et $n_{2}.$

Donc, nous voyons bien qu’il existe des solutions doublement asymptotiques qui pour $t=-\infty$ et pour $t=+\infty$ se rapprochent indéfiniment de deux solutions périodiques différentes ; mais ces deux solutions périodiques correspondent aux mêmes valeurs des nombres $n_{1}$ et $n_{2}.$

Je vais donc former un autre exemple où nous verrons des équations de même forme jusqu’au n^o 13, et qui possèdent des solutions doublement asymptotiques se rapprochant indéfiniment de deux solutions périodiques qui non seulement sont différentes, mais correspondent à des valeurs différentes du rapport ${\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cdot$

Malheureusement, je pourrai montrer que ces solutions existent pour les valeurs de $\mu$ voisines de 1, mais je ne suis pas encore en mesure d’établir qu’elles existent également pour les petites valeurs de $\mu .$

405. Nous prendrons les deux paires de variables conjuguées

$\xi _{1},\quad \eta _{1}\,;\quad \xi _{2},\quad \eta _{2}$