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CHAPITRE XXXIII.

On trouve ensuite

$\psi _{m}=\theta ^{im}\int {\frac {\theta ^{-im}\Phi _{m}\,dy}{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dp}}}+\mathrm {C} _{m}\theta ^{im}$

$\mathrm {C} _{m}$ étant une constante d’intégration, d’où

$\mathrm {S} _{1}=\sum \theta ^{im}e^{imx}\int {\frac {\theta ^{-im}\Phi _{m}\,dy}{\dfrac {d\mathrm {F} _{0}}{dp}}}+\sum \mathrm {C} _{m}\theta ^{im}e^{imx}.$

Pour trouver les équations des surfaces asymptotiques, nous écrirons

${\begin{aligned}p&={\frac {d\mathrm {S} }{dx}}\,;&q&={\frac {d\mathrm {S} }{dy}}\end{aligned}}$

en attribuant aux constantes d’intégration des valeurs convenables.

Négligeons d’abord $\varepsilon$ ; nous prendrons donc $\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0},$ et nous donnerons aux constantes $h$ et $p=p_{0}$ les valeurs qui correspondent à la courbe qui a deux points doubles.

Avec cette approximation, les équations différentielles admettent comme solutions périodiques

(5)

${\begin{aligned}p&=p_{0},&q&=q_{0},&y&=y_{0},\end{aligned}}$

(6)

${\begin{aligned}p&=p_{0},&q&=q_{1},&y&=y_{1},\end{aligned}}$

où $y_{0},\,q_{0}\,;\,y_{1},\,q_{1}$ sont les coordonnées des deux points doubles.

Nous pouvons, pour représenter nos surfaces asymptotiques, prendre le point de l’espace à quatre dimensions dont les coordonnées sont

$(p+a)\cos x,\quad (p+a)\sin x,\quad (q+b)\cos y,\quad (q+b)\sin y,$

$a$ et $b$ étant deux constantes positives assez grandes pour que l’on n’ait à envisager que des valeurs positives de $p+a$ et $q+b.$

Les équations (5) et (6) représentent alors deux courbes fermées de cet espace à quatre dimensions, correspondant aux deux solutions périodiques.

Par chacune de ces courbes passent deux surfaces asymptotiques, une de la première, l’autre de la seconde famille.

Mais au degré d’approximation adopté, c’est-à-dire en négli-