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CHAPITRE XXXIII.
courbes ont deux ou plusieurs points doubles. C’est alors en effet
que nous rencontrerons les solutions hétéroclines.
Cherchons comme au no 225 à former la fonction de Jacobi
et posons
La fonction se forme immédiatement ; nous aurons
étant une fonction de définie par l’équation (1) et dépendant
des deux paramètres et
On trouve ensuite
(2)
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Dans et on regarde comme une constante et l’on
remplace par sa valeur tirée de l’équation (1). L’équation (2)
est donc une équation linéaire par rapport aux dérivées de
dont les coefficients sont des fonctions données de et de
dépendant en outre des paramètres et
Comme est périodique en je poserai
où de même que les dérivées de ne dépendent que de
Je pose de même
et la fonction sera donnée par l’équation
(3)
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dont les coefficients sont des fonctions données de
Cette équation peut évidemment s’intégrer par quadratures.
Cherchons à déterminer de cette manière nos surfaces asymptotiques.
Nous devrons d’abord choisir les constantes et de telle
sorte que la courbe (1) ait un point double ; je supposerai de plus
que ces constantes soient telles qu’à chaque valeur de correspondent
deux valeurs réelles de (c’est ce qui arrive dans
l’exemple du no 225).