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CHAPITRE XXI.

Divergence des séries.

225.Nous avons vu au n^o 212 que les séries auxquelles conduit la méthode de M. Bohlin sont généralement divergentes et j’ai cherché à expliquer le mécanisme de cette divergence. Je crois devoir revenir sur ce sujet et étudier avec quelques détails un exemple simple qui fera mieux comprendre ce mécanisme. Soit

$-\mathrm {F} =p+q^{2}-2\mu \sin ^{2}{\frac {y}{2}}-\mu \varepsilon \varphi (y)\cos x,$

où $(p,x\,;\,q,y)$ sont deux paires de variables conjuguées, $\varphi (y)$ une fonction périodique de $y$ de période $2\pi$ et où $\mu$ et $\varepsilon$ sont deux constantes que je supposerai très petites.

Formons les équations canoniques

(1)

$\;\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dp}}=1\;&{\frac {dy}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}=2q,\\{\frac {dp}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dx}}=-\mu \varepsilon \varphi (y)\sin x\,;&{\frac {dq}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy}}=\mu \sin y+\mu \varepsilon \varphi '(y)\cos x,\end{aligned}}\right.$

d’où

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2\mu \sin y+2\mu \varepsilon \varphi '(y)\cos x.$

L’intégration de ces équations est presque immédiate quand $\varepsilon =0.$ Écrivons l’équation aux dérivées partielles de Jacobi et soit

(2)

${\frac {d\mathrm {S} }{dx}}+\left({\frac {d\mathrm {S} }{dy}}\right)^{2}=2\mu \sin ^{2}{\frac {y}{2}}+\mu \varepsilon \varphi (y)\cos x+\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante. Développons $\mathrm {S}$ et $\mathrm {C}$ suivant les puissances de $\varepsilon$ et soit

${\begin{alignedat}{5}\mathrm {S} &=\mathrm {S} _{0}&{}+&{}\mathrm {S} _{1}\varepsilon &{}+&{}\mathrm {S} _{2}\varepsilon ^{2}&{}+&{}\ldots .\\\mathrm {C} &=\mathrm {C} _{0}&{}+&{}\mathrm {C} _{1}\varepsilon &{}+&{}\mathrm {C} _{2}\varepsilon ^{2}&{}+&{}\ldots .\end{alignedat}}$

Pour $\varepsilon =0,$ l’équation (2) devient

(3)

${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dx}}+\left({\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy}}\right)^{2}=2\mu \sin ^{2}{\frac {y}{2}}+\mathrm {C} _{0}.$

L’intégration, ai-je dit plus haut, est presque immédiate, et