Supposons que le premier de ces conséquents qui rencontre soit le conséquent d’ordre Le nombre dépendra évidemment de la constante et il sera d’autant plus grand que cette constante sera plus petite. Il deviendra infini quand sera nul.
Or, en développant suivant les puissances de et nous arrêtant à un terme quelconque du développement, c’est comme si nous considérions comme infiniment petit.
L’arc ne rencontre plus alors que les conséquents d’ordre infiniment grand de l’autre arc et c’est ce qui fait que la plupart des solutions doublement asymptotiques échappent à notre analyse.
Exemples de solutions hétéroclines.
403. Cherchons à généraliser et posons
est une fonction de et et une fonction de et ces deux fonctions étant d’ailleurs périodiques tant en qu’en
Considérons les courbes
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où nous regarderons comme un paramètre, et comme les coordonnées d’un point.
Parmi ces courbes, celles qui doivent attirer notre attention, ce sont celles qui présentent des points doubles. Ces points doubles en effet correspondent aux solutions périodiques des équations canoniques quand on suppose que est nul et que se réduit à
Nous avons une double infinité de courbes (1) dont l’équation générale est
et qui dépendent de deux paramètres et
Je viens de dire que les plus intéressantes sont celles qui ont un point double ; surtout dans le cas où quelques-unes de ces
