Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/406

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.
394
CHAPITRE XXXIII.

toires. L’ensemble de ces courbes formerait une surface, admettant les mêmes connexions que le tore, et cette surface couperait notre demi-plan suivant une certaine courbe fermée

L’ensemble dont nous venons de parler devrait être tout entier extérieur à cette courbe, on tout entier intérieur.

Soient alors et deux points appartenant à deux systèmes différents. Si est intérieur à la courbe et extérieur à cette courbe, l’ensemble relatif à devrait lui être tout entier intérieur, tandis que l’ensemble relatif à lui serait tout entier extérieur.

Ces deux ensembles ne pourraient donc avoir aucun point commun et il ne pourrait exister de solution doublement asymptotique hétérocline allant de à

Or, si l’on admettait l’hypothèse du Tome II, page 104, que je viens de rappeler, c’est-à-dire si la convergence avait lieu pour une infinité de valeurs du rapport par exemple, pour celles dont le carré est commensurable, il existerait une infinité de courbes qui sépareraient les uns des autres les points appartenant à des systèmes périodiques différents. Cette hypothèse est donc incompatible avec l’existence des solutions hétéroclines au moins si les deux points et que l’on considère, ou plutôt les solutions périodiques correspondantes, correspondent à deux valeurs différentes du nombre

Comparaison avec le no 225.

401. Avant d’essayer de former des exemples de solutions' hétéroclines, nous allons revenir sur l’exemple du no 225, où l’existence des solutions doublement asymptotiques homoclines peut être mise en évidence.

Nous avions posé

étant les deux paires de variables conjuguées.