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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.

peut s’écrire

$-{\frac {1}{2}}\left(\xi _{1}'{\frac {d\mathrm {F} '}{d\xi _{1}'}}+\eta _{1}'{\frac {d\mathrm {F} '}{d\eta _{1}'}}+\xi _{2}'{\frac {d\mathrm {F} '}{d\xi _{2}'}}+\eta _{2}'{\frac {d\mathrm {F} '}{d\eta _{2}'}}\right)\cdot$

Sous cette forme, on voit aisément que le dénominateur est holomorphe par rapport aux $\xi ',$ aux $\eta '$ et à $\mu .$ Or, pour $\mu =0,$ $\mathrm {F} '$ se réduit à

${\frac {2}{(x_{1}'+x_{2}')^{2}}}+{\frac {x_{2}'-x_{1}'}{2}}$

et il est aisé de vérifier que le dénominateur est toujours positif. Il l’est donc encore pour les petites valeurs de $\mu .$

394.Dans ce qui va suivre, nous adopterons donc les variables définies au numéro précédent. Nous supprimerons d’ailleurs les accents devenus inutiles et nous écrirons $\mathrm {F} ,$ $x_{i}$ et $y_{i}$ au lieu de $\mathrm {F} ',$ $x_{i}'$ et $y_{i}'.$ Nous avons alors l’invariant intégral (au sens du n^o 305),

$\mathrm {J} =\int {\frac {8x_{1}^{2}{\sqrt {z(z+4)}}}{\mathrm {D} }}{\frac {\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}{x_{1}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}+x_{2}{\dfrac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}}}\,d\mathrm {X} \,d\mathrm {Z}$

ou

$\mathrm {D} =\left[(\mathrm {X} -1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right]\left[(\mathrm {X} +1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right].$

J’observerai d’abord que cet invariant intégral, toujours positif, reste fini quand on l’étend au demi-plan tout entier.

En effet, si $\textstyle {\sqrt {(\mathrm {X} -1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}}}$ est un infiniment petit du premier ordre, le numérateur $\textstyle x_{1}^{2}{\sqrt {z(z+4)}}$ est un infiniment petit du second ordre et il en est de même de $\mathrm {D} .$ Si $\textstyle {\sqrt {(\mathrm {X} -1)^{2}+\mathrm {Z} ^{2}}}$ est un infiniment grand du premier ordre, le numérateur reste fini, tandis que $\mathrm {D}$ est très grand du quatrième ordre. Toutes les autres quantités restent finies.

J’appellerai $\mathrm {J} _{0}$ la valeur de l’invariant $\mathrm {J}$ étendue au demi-plan tout entier.

Ce qui caractérise les solutions périodiques et les courbes trajectoires qui les représentent, c’est que ces courbes coupent le demi-plan en des points dont les conséquents successifs sont en nombre fini ; reportons-nous, par exemple, au n^o 312 et, en particulier, à la fig. 7 de la page 194.