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CHAPITRE XXXI.
Il pourrait arriver enfin que fût un point singulier de plus
compliqué qu’un point de rebroussement ordinaire ; je dirais alors
que c’est un foyer singulier.
Je ferai seulement observer qu’on ne peut passer d’un foyer en
pointe à un foyer en talon que par un foyer singulier ; car, au
moment du passage, doit être de l’ordre de
372.Considérons maintenant une solution périodique quelconque ;
elle correspondra à une trajectoire fermée. Soit
l’exposant caractéristique et la période. Nous avons vu au Chapitre XXIX
comment on parvient à déterminer les foyers cinétiques
successifs (no 347).
Supposons que soit égal à étant un nombre commensurable
dont le numérateur est Dans ce cas l’application de la
règle du no 347 montre que chaque point de coïncide avec
son ième foyer.
Si en effet on prend comme au no 347 une unité de temps telle
que la période soit égale à il vient Si l’on désigne
par la valeur de la fonction au point soient
les valeurs de cette fonction au premier, au second,
au ième foyer de nous aurons d’après la règle du no 347,
Si est le numérateur de on voit que est un multiple
de c’est-à-dire que et son ième foyer coïncident.
La trajectoire issue du point et infiniment voisine de
viendra donc repasser par le point après avoir fait fois
le tour de la trajectoire fermée si est le dénominateur
de
Le point est donc son ième foyer ; mais on peut se
demander à quelle catégorie de foyers il appartient, au point de
vue de la classification du numéro précédent.
Adoptons un système de coordonnées analogues au coordonnées
polaires de telle sorte que l’équation de la trajectoire
fermée soit