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CHAPITRE XXIX.
ont pour équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=f_{1}(t),&y&=f_{2}(t)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80458f30292053ceae1b2f5dfe703998289ed5b8)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=f_{1}(t)+e^{\alpha t}\varphi _{2}(t),&y&=f_{2}(t)+e^{\alpha t}\psi _{2}(t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57084ff5cafe9a2c0a69a26980d04f0ef5d7bab4)
correspondent à une même valeur de la constante des forces vives.
On verrait de même qu’il en est encore ainsi de la trajectoire
qui a pour équation
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=f_{1}(t)+e^{-\alpha t}\varphi _{2}(t),&y&=f_{2}(t)+e^{-\alpha t}\psi _{2}(t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb81b6db685cf58b2181549e5bf0a034ec11fd9)
Rien n’empêche donc de poser
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{2}&=e^{\alpha t}\varphi _{2},&\eta _{2}&=e^{\alpha t}\psi _{2},\\\xi _{3}&=e^{-\alpha t}\varphi _{3},&\eta _{3}&=e^{-\alpha t}\psi _{3}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c81c9726de298dcc2aa361a2fdf1d9a7964f6a4)
Alors
est de la forme suivante
![{\displaystyle \zeta (t)=e^{2\alpha r}\mathrm {G} (t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07e7cb187f40c92059bf07001b363a043a080c3c)
étant une fonction périodique.
Cas des solutions stables.
347.Nous devons maintenant distinguer deux cas :
1o La solution est stable et
est négatif. Dans ce cas
et
et
sont imaginaires conjugués ;
et
ont pour module
l’unité. Nous allons faire trois hypothèses que nous justifierons
plus loin.
1o Supposons d’abord que
ne devienne jamais ni nul ni infini ;
2o Que la fonction
![{\displaystyle t+{\frac {1}{2\alpha }}\log \mathrm {G} (t)=\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6301069ff972e8f06213900f22565a0e5647f7da)
qui est essentiellement réelle soit aussi constamment croissante ;
3o Supposons de plus que
soit une fonction périodique.
Alors, l’équation (3) pourra s’écrire, en appelant
et
les
deux valeurs de
qui correspondent à
et à
(
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
étant entier).