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CHAPITRE XXIX.

DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

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336.Soient

${\begin{array}{llll}x_{1},&x_{2},&\ldots ,&x_{n},\\y_{1},&y_{2},&\ldots ,&y_{n}\end{array}}$

une double série de variables et $\mathrm {F}$ une fonction quelconque de ces variables. Considérons l’intégrale

$\mathrm {J} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(-\mathrm {F} +\sum y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}\right)dt.$

La variation de cette intégrale peut s’écrire

$\delta \mathrm {J} =\int \left(-\delta \mathrm {F} +\sum \delta y_{i}\,{\frac {dx_{i}}{dt}}+\sum y_{i}\,{\frac {d\,\delta x_{i}}{dt}}\right)dt.$

Pour que cette variation s’annule, il faut d’abord que l’on ait

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

ce qui nous donne les équations canoniques, mais cette condition n’est pas suffisante. Si elle est remplie, on a

$\delta \mathrm {J} =\sum {\big [}y_{i}\,\delta x_{i}{\big ]}_{t=t_{0}}^{t=t_{1}}$

et il faut encore que le second membre de cette égalité soit nul. C’est ce qui arrive si l’on suppose que les $\delta x_{i}$ sont nuls aux deux limites, c’est-à-dire que les valeurs initiales et finales des $x_{i}$ sont données. Dans ces conditions, l’intégrale $\mathrm {J}$ qu’on appelle l’action est minimum.

Changeons de variables ; soient $x_{i}',\,y_{i}'$ les nouvelles variables et imaginons qu’elles aient été choisies de telle sorte que

(2)

$\sum y_{i}'\,dx_{i}'-\sum y_{i}\,dx_{i}=d\mathrm {S}$