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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
que n’engendrent pas de solutions du second genre,
cela tient à la forme très particulière des équations (1). (Pour ces
solutions, les exposants caractéristiques sont toujours nuls.)
Considérons d’abord les solutions du premier genre, telles
que
Posons la période c’est-à-dire l’intégrale (3)
prise entre et sera développable suivant les puissances de
et de et le terme tout connu se réduira à
Donnons à une valeur commensurable quelconque ; nous
aurons une solution périodique toutes les fois que nous aurons
L’équation est satisfaite pour et de cette équation
on pourra tirer et par conséquent en série procédant suivant
les puissances de Les équations (2) nous donneront alors
et développés suivant les puissances de Ce sont les développements
du Chapitre III.
Passons aux solutions du second genre telles que
Posons nous aurons
On voit que est seulement fonction de d’autre part,
ce qui nous montre que et sont fonctions
de et de doublement périodiques par rapport
à Ce sont donc aussi des fonctions de et
de puisque est fonction de si donc nous donnons
à une valeur constante, commensurable avec nous obtien-