Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/337

325

FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

369.Prenons d’abord un cas simple qui sera celui du n^o 199 : soit

$\mathrm {F} =x_{2}+x_{1}^{2}+\mu \cos y_{1}$

avec les équations canoniques

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

ce qui donne

(1)

${\begin{aligned}\;{\frac {dx_{2}}{dt}}&=0,&{\frac {dy_{2}}{dt}}&=-1,&{\frac {dx_{1}}{dt}}&=\mu \sin y_{1},&{\frac {dy_{1}}{dt}}&=-2x_{1}.\end{aligned}}$

La fonction $\mathrm {S}$ de Jacobi s’écrit

$\mathrm {S} =x_{2}^{0}y_{2}+\int {\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}\,dy_{1}$

avec deux constantes $x_{2}^{0}$ et $\mathrm {C} \,;$ et l’on en tire

(2)

$\left\{{\begin{aligned}x_{2}&=x_{2}^{0},&y_{2}&=-t+y_{2}^{0},\\x_{1}&={\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}},&\mathrm {A} -t&=\int {\frac {dy_{1}}{2{\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}}},\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {A}$ et $y_{2}^{0}$ étant deux nouvelles constantes d’intégration.

On voit s’introduire l’intégrale elliptique

(3)

$\int {\frac {dy_{1}}{2{\sqrt {\mathrm {C} -\mu \cos y_{1}}}}}\,;$

cette intégrale possède une période réelle, qui est l’intégrale prise entre $0$ et $2\pi ,$ si $|\mathrm {C} |>|\mu |$ et deux fois l’intégrale prise entre

$\pm \operatorname {arc~cos} \left|{\frac {\mathrm {C} }{\mu }}\right|$

si $|\mathrm {C} |<|\mu |.$

Appelons $\omega$ cette période réelle.

À toute valeur de $\omega$ commensurable avec $2\pi$ correspond une solution périodique ; mais deux cas sont à distinguer.

Si $|\mathrm {C} |>|\mu |,$ $y_{1}$ et $y_{2}$ pendant une période augmentent d’un multiple de $2\pi .$ Les solutions périodiques correspondantes sont des solutions du premier genre.

Si $|\mathrm {C} |<|\mu |,$ $y_{2}$ pendant une période augmente d’un multiple