Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/317

305

FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

seront des polynômes de degrés

$k,\quad k+2,\quad k+1,\quad k+1$

par rapport à ces mêmes quantités.

Il en est donc de même des seconds membres des première, deuxième, cinquième et sixième équations (7) ; et, par conséquent, en répétant le raisonnement qui précède, nous verrions aisément qu’il en est encore de même de

$\eta _{k},\quad \xi _{k},\quad \eta _{k}',\quad \xi _{k}'.$C. Q. F. D.

L’intégration des équations (7) a introduit quatre nouvelles constantes d’intégration. En effet, elles nous font connaître $\xi _{1},\,\eta _{1},$ $\xi _{1}',\,\eta _{1}'$ à des termes près

$\gamma _{1},\quad \delta _{1},\quad \gamma _{1}'e^{+i(nt+\varpi )},\quad \delta _{1}'e^{-i(nt+\varpi )},$

contenant les quatre constantes arbitraires

$\gamma _{1},\quad \delta _{1},\quad \gamma _{1}',\quad \delta _{1}'.$

Nous ne conserverons qu’une de ces constantes et nous poserons

$\gamma _{1}=\delta _{1}=0,\qquad \delta _{1}'=-\gamma _{1}'.$

Cela posé, cherchons à déterminer

$\xi _{2},\quad \eta _{2},\quad \xi _{2}',\quad \eta _{2}',$

à l’aide des équations (5) et (5 bis) et en y faisant $k=2.$

Il faut d’abord que le second membre de la première équation (5) ait sa valeur moyenne nulle ; cette valeur moyenne est égale à

$\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}}}\right],$

en employant toujours les crochets pour représenter la valeur moyenne d’une fonction. On devra donc avoir

(9 bis)

$\left[{\frac {d\Theta _{2}}{d\eta _{0}}}\right]=0.$

Supposons $\Theta _{2}$ développé en série de Fourier sous la forme

$\sum \mathrm {A} e^{i(pt+qnt+q\varpi )}.$

Comme $\Theta _{2}$ est un polynôme du quatrième degré, $q$ ne pourra