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FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Nos équations différentielles s’écrivent alors

(5)

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{k}}{dt}}&={\frac {d\Phi _{k}}{d\eta _{0}}},&{\frac {d\eta _{k}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi _{k}}{d\xi _{0}}},\\{\frac {du_{k}}{dt}}&={\frac {d\Phi _{k}}{dv_{0}}},&{\frac {dv_{k}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi _{k}}{du_{0}}}\cdot \end{aligned}}$

Pour $k=0,$ elles se réduisent à

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{0}}{dt}}={\frac {du_{0}}{dt}}&=0\,;&{\frac {d\eta _{0}}{dt}}&=1\,;&{\frac {dv_{0}}{dt}}=in.\end{aligned}}$

Elles montrent que $\xi _{0}$ et $u_{0}$ sont des constantes, et que

${\begin{aligned}\eta _{0}&=t,&v_{0}&=int+\varpi ,\end{aligned}}$

$\varpi$ étant une constante à déterminer.

Nous pouvons avec avantage adjoindre aux équations (4) et (5) d’autres équations d’une forme analogue et qui n’en sont que des transformations.

Développons $x_{1}$ et $y_{1}$ suivant les puissances de $\varepsilon$ et soient

(4 bis)

$\left\{{\begin{aligned}x_{1}&=\xi _{0}'+\varepsilon \,\xi _{1}'+\varepsilon ^{2}\xi _{2}'+\ldots ,\\y_{1}&=\eta _{0}'+\varepsilon \,\eta _{1}'+\varepsilon ^{2}\eta _{2}'+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Les développements (4 bis) se déduisent d’ailleurs immédiatement des deux derniers développements (4).

Nous voyons alors que $\Phi _{k}$ est un polynôme entier, par rapport aux quantités

(6)

$\xi _{p},\quad \eta _{p},\quad \xi _{p}',\quad \eta _{p}',\quad \lambda _{p},\quad \mu _{p}\qquad$ (en mettant à part $\eta _{0}$),

et que ce polynôme est homogène de degré $k+2,$ si l’on regarde

$\xi _{p}\;$	comme de degré	$\;p+2$
$\xi _{p}',\,\eta _{p}'\;$	comme de degré	$\;p+1$
$\eta _{p},\,\lambda _{p},\,\mu _{p}\;$s	comme de degré	$\;p$.

Nous aurons alors les équations

(5 bis)

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{k}'}{dt}}&={\frac {d\Phi _{k}}{d\eta _{0}'}},&{\frac {d\eta _{k}'}{dt}}&=-{\frac {d\Phi _{k}}{d\xi _{0}'}},\end{aligned}}$

équivalentes aux deux dernières équations (5).

Nous observerons que ${\frac {d\Phi _{k}}{d\eta _{0}}},\,{\frac {d\Phi _{k}}{d\xi _{0}}},\,{\frac {d\Phi _{k}}{d\xi _{0}'}},\,{\frac {d\Phi _{k}}{d\eta _{0}'}}$ sont des polynômes de même forme que $\Phi _{k},$ par rapport aux quantités (6), et qu’avec les conventions faites plus haut au sujet des degrés, ils sont homo-