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CHAPITRE XXX.

Cela posé, suivons pas à pas le calcul du n^o 44. Nous poserons

(4)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x_{2}&=\xi _{0}&{}+{}&\varepsilon \,\xi _{1}&{}+{}&\varepsilon ^{2}\xi _{2}&{}+{}&\ldots ,\\y_{2}&=\eta _{0}&{}+{}&\varepsilon \,\eta _{1}&{}+{}&\varepsilon ^{2}\eta _{2}&{}+{}&\ldots ,\\u\;&=u_{0}&{}+{}&\varepsilon \,u_{1}&{}+{}&\varepsilon ^{2}u_{2}&{}+{}&\ldots ,\\v\;&=v_{0}&{}+{}&\varepsilon \,v_{1}&{}+{}&\varepsilon ^{2}v_{2}&{}+{}&\ldots .\end{alignedat}}\right.$

Ces formules sont analogues aux formules (2) du n^o 44.

Les $\xi _{k},$ les $\eta _{k},$ les $u_{k},$ les $v_{k}$ sont donc des fonctions périodiques de $t\,;$ $\xi _{0}$ et $u_{0}$ sont des constantes, et l’on a

${\begin{aligned}\eta _{0}&=t,&v_{0}&=nt+\varpi ,\end{aligned}}$

$\varpi$ étant une constante d’intégration que je me réserve de déterminer plus complètement dans la suite.

Substituons alors dans $\mathrm {F} ,$ à la place de $\lambda ,$ de $\mu ,$ de $x_{2},\,y_{2},$ $u$ et $v,$ leurs développements suivant les puissances de $\varepsilon \,;$ alors $\mathrm {F}$ sera également développable suivant les puissances de $\varepsilon ,$ et nous aurons

$\mathrm {F} =\Phi _{0}+\varepsilon \,\Phi _{0}+\varepsilon ^{2}\Phi _{2}+\ldots .$

Je remarquerai d’abord que $\Phi _{k}$ est homogène de degré $k+2,$ si l’on regarde $\xi _{p}$ et $u_{p}$ comme de degré $p+2,$ $\eta _{p}$ et $v_{p}$ comme de degré $p,$ $\lambda _{p}$ et $\mu _{p}$ comme de degré $p.$

C’est d’ailleurs un polynôme entier par rapport à

$\xi _{p},\quad u_{p},\quad \eta _{p},\quad v_{p},\quad \lambda _{p},\quad \mu _{p}\qquad (p>0),$

et, par rapport à

${\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{v_{0}},{\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{-v_{0}}.$

Ces deux dernières quantités sont regardées comme d’ordre 1. Enfin les coefficients de ce polynôme sont des fonctions périodiques de $\eta _{0}$ dont la période est $2\pi .$

Nous trouverons d’autre part

$\Phi _{k}=\Theta _{k}-\xi _{k}-inu_{k}+\lambda _{k}\mathrm {H} _{0}\xi _{0}+2\mathrm {B} _{0}\mu _{k}u_{0},$

où $\mathrm {H} _{0}$ et $\mathrm {B} _{0}$ sont les valeurs de ${\frac {d\mathrm {H} }{d\lambda }}$ et ${\frac {d\mathrm {B} }{d\mu }}$ pour $\lambda =\mu =0.$ ${\bigg (}$Nous pouvons supposer que pour $\lambda =\mu =0$ on a ${\frac {d\mathrm {H} }{d\mu }}={\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}=0{\bigg )}.$ D’autre part, $\Theta _{k}$ dépend seulement de

$\xi _{p},\quad \eta _{p},\quad u_{p},\quad v_{p},\quad \lambda _{p},\quad \mu _{p}\qquad (p\leqq k-1).$