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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.
ces trois nombres nous seront donnés par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}&=\alpha _{1}n'_{1}+\alpha _{2}n'_{2}+\alpha _{3}n'_{3},\\n_{2}&=\beta _{1}n'_{1}+\beta _{2}n'_{2}+\beta _{3}n'_{3},\\n_{3}&=\gamma _{1}n'_{1}+\gamma _{2}n'_{2}+\gamma _{3}n'_{3};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aaa0807903ae90bea88e7d000ae4597e600857a)
comme
et
sont commensurables entre eux, on peut
évidemment choisir les entiers
et
de telle sorte que
![{\displaystyle n'_{2}=n'_{3}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c99599c1feeb080dee70b3828de87447bda9a7f6)
Il est donc toujours permis de supposer
![{\displaystyle n_{2}=n_{3}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d52041e4bb58f664c57e0a5e3a6dd0b619e30e7)
c’est ce que nous ferons désormais.
Nous allons donc chercher à satisfaire aux équations (1) en faisant
(2)
|
|
|
les
et les
étant des fonctions périodiques du temps de
période
Les
sont des constantes telles que
![{\displaystyle {\frac {d}{dx_{i}^{0}}}\mathrm {F} _{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0},x_{3}^{0})=-n_{i},\qquad n_{2}=n_{3}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/583ecc8ed48db29dfc3915a60d48600c69a87d7e)
et l’on a d’autre part
![{\displaystyle y_{i}^{0}=n_{i}t+\varpi _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f994d8510ef4419455aa533b98d561f445f3194a)
d’où
![{\displaystyle y_{2}^{0}=\varpi _{2},\quad y_{3}^{0}=\varpi _{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb29ac7d74de5dfe441421d08955b34c0ab636a9)
et
étant des constantes que nous nous
réservons de déterminer plus complètement dans la suite.
L’origine du temps restant arbitraire, nous pourrons la choisir
de telle façon que
quel que soit
pour
Il en résulte
que
seront nuls à la fois
pour
et que
Dans
à la place des
et des
substituons leurs valeurs (2),