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CHAPITRE XXX.

gènes, le premier d’ordre $k+2,$ le second d’ordre $k$ et les deux derniers d’ordre $k+1.$

Nous avons d’ailleurs

${\begin{aligned}\xi _{0}'&={\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{nit+\varpi },&\eta _{0}'&={\sqrt {{\overset {}{u}}_{0}}}e^{-(nit+\varpi )}.\end{aligned}}$

Remplaçons $\xi _{0}',\,\eta _{0}'$ par ces valeurs, et en même temps $\eta _{0}$ par $t,$ dans les équations (5) et (5 bis) où l’on doit supposer que l’on a fait k=1, et servons-nous-en pour déterminer $\xi _{1},\,\eta _{1}$ $u_{1},\,v_{1},$ $\xi _{1}',\,\eta _{1}'.$

Nous avons ainsi les six équations suivantes

(7)

$\left\{{\begin{alignedat}{9}{\frac {d\eta _{1}}{dt}}&=-{\frac {d\Phi _{1}}{d\xi _{0}}}=-{\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}}}-\lambda _{1}\mathrm {H} _{0},&{\frac {d\xi _{1}}{dt}}={\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}}},\;\;&\\[1ex]{\frac {du_{1}}{dt}}&={\frac {d\Theta _{1}}{dv_{0}}},&{\frac {dv_{1}}{dt}}=-{\frac {d\Theta _{1}}{du_{0}}}&-2\mu _{1}\mathrm {B} _{0},\\[1ex]-{\frac {d\xi _{1}'}{dt}}&=\;{\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}\,-in{\frac {du_{1}}{d\eta _{0}'}}\,+2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}{\frac {du_{0}}{d\eta _{0}'}}&=\;\;{\frac {d\Theta _{1}}{d\eta _{0}'}}-in\xi _{1}'&+2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}\xi _{0}',\\[1ex]-{\frac {d\eta _{1}'}{dt}}&=\!-{\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}}+in{\frac {du_{1}}{d\xi _{0}'}}-2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}{\frac {du_{0}}{d\xi _{0}'}}&=\!-{\frac {d\Theta _{1}}{d\xi _{0}'}}+in\eta _{1}'&-2\mathrm {B} _{0}\mu _{1}\eta _{0}'.\end{alignedat}}\right.$

Considérons d’abord la seconde de ces équations ; le second membre est un polynôme entier homogène et du troisième degré par rapport à

${\sqrt {\xi _{0}}},\quad \xi _{0}',\quad \eta _{0}',$

dont les coefficients sont des fonctions périodiques de $\eta _{0}=t,$ de période $2\pi .$ Comme $n$ est commensurable, notre second membre sera aussi une fonction périodique de $t$ dont il dépend de deux manières, par $\eta _{0}$ qui est égal à $t,$ par $\xi _{0}'$ et $\eta _{0}'$ qui sont des fonctions de $nt+\varpi .$

La période sera multiple de $2\pi ,$ c’est-à-dire égale à autant de fois $2\pi$ qu’il y a d’unités dans le dénominateur de $n.$

Notre second membre pourra donc se développer en série de Fourier sous la forme

(8)

$\sum \mathrm {A} e^{i\left[pt+q(nt+\varpi )\right]},$

où $p$ et $q$ sont des entiers. Mais $q$ ne peut dépasser 3 en valeur absolue puisque notre second membre est un polynôme du troisième degré.

Il résulte de là qu’en général la valeur moyenne du second