Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/306

294

CHAPITRE XXX.

---

CHAPITRE XXX.

FORMATION DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.

---

360.Nous allons voir maintenant comment on peut former effectivement les solutions périodiques du deuxième genre.

Soient

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

un système d’équations canoniques ; et supposons qu’elles admettent une solution périodique du premier genre

(2)

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\psi _{i}(t).\end{aligned}}$

Nous nous proposons d’étudier les solutions périodiques du deuxième genre qui dérivent de la solution du premier genre (2).

L’analyse peut être simplifiée, au moins pour l’exposition, si l’on amène les équations (1) à une forme convenable par une série de changements de variables.

Nous supposerons deux degrés de liberté seulement. Quand $t$ augmentera d’une période, $y_{1}$ et $y_{2}$ augmenteront respectivement de

$2k_{1}\pi ,\quad 2k_{2}\pi ,$

$k_{1}$ et $k_{2}$ étant des entiers.

Je puis d’abord supposer $k_{i}=0\,;$ car, s’il n’en était pas ainsi, j’amènerais $k_{1}$ à s’annuler par le changement de variables du n^o 202.

Je puis ensuite supposer que la solution périodique (2) se réduit à

${\begin{aligned}x_{1}&=0,&x_{2}&=0,&y_{1}&=0,\end{aligned}}$

car, s’il n’en était pas ainsi, je ferais le changement de variables du n^o 208.